Автор работы: Пользователь скрыл имя, 12 Марта 2016 в 11:51, контрольная работа
Математические модели широко используются в экономике, в финансах, в общественных науках. Обычно модели строятся и верифицируются на основе имеющихся наблюдений изучаемого показателя и, так называемых, объясняющих факторов. Язык экономики все больше становится математическим, а саму экономику все чаще упоминают как одну из наиболее математизированных наук. В течение последних десятилетий математические и, в частности, статистические методы в экономике стремительно развиваются. Свидетельством признания эконометрики является присуждение за наиболее выдающиеся работы в этой области Нобелевских премий по экономике: Р.Фришу и Я. Тинбергу (1969) за разработку математических методов анализа экономических процессов, Л. Клейну (1980) за создание эконометрических моделей и их применение к анализу экономических колебаний и экономической политике, Т. Хаавельмо (1989) за работы в области вероятностных основ эконометрики и анализ одновременных экономических структур, Дж. Хекману и Д. Макфаддену (2000) за развитие методов анализа селективных выборок и моделей дискретного выбора.
2. Далее определяют фактическое значение F-критерия:
EQ F = \f(R;1 - R)\f((n - m -1);m)
EQ F = \f(0.2394;1 - 0.2394)\f((99-1-1);1) = 30.53
где m=1 для парной регрессии.
3. Табличное значение
определяется по таблицам
Fтабл - это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости α. Уровень значимости α - вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна. Обычно α принимается равной 0,05 или 0,01.
4. Если фактическое значение F-критерия меньше табличного, то говорят, что нет основания отклонять нулевую гипотезу.
В противном случае, нулевая гипотеза отклоняется и с вероятностью (1-α) принимается альтернативная гипотеза о статистической значимости уравнения в целом.
Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=97, Fтабл = 3.92
Отметим значения на числовой оси.
Принятие H0 |
Отклонение H0, принятие H1 |
95% |
5% |
3.92 |
30.53 |
Поскольку фактическое значение F > Fтабл, то коэффициент детерминации статистически значим (найденная оценка уравнения регрессии статистически надежна).
Связь между F-критерием Фишера и t-статистикой Стьюдента выражается равенством:
EQ t = t = \r(F) = \r(30.53) = 5.53
Показатели качества уравнения регрессии.
Показатель |
Значение |
Коэффициент детерминации |
0.24 |
Средний коэффициент эластичности |
3.67 |
Средняя ошибка аппроксимации |
92.83 |
Имеются данные о продаже
трехкомнатных квартир на
1. Постройте матрицу парных
2. Постройте парные уравнения регрессии, оцените их статистическую значимость и их параметров с помощью критериев Фишера и Стьюдента.
3. Постройте модель формирования
цены квартиры за счет
4. Существует ли разница в ценах квартир, расположенных в Центральном районе и в периферийных районах Кемерово?
N – номер по порядку; price– цена квартиры (тыс. руб.);
totsp – общая площадь квартиры (м2 );
livesp – жилая площадь квартиры (м2);
kitsp – площадь кухни (m2);
flоог – этаж: 1 – крайний этаж. 0 – средний этаж;
balk – наличие балкона/лоджии: 1 – квартира с балконом/лоджией, 0 –
квартира без балкона/лоджии,
raion – квартира расположена в: 1 – Центральном р–не, 2 – Ленинском р–не,
3 – Заводском р–не.
Уравнение множественной регрессии может быть представлено в виде:
Y = f(β , X) + ε
где X = X(X1, X2, ..., Xm) - вектор независимых (объясняющих) переменных; β - вектор параметров (подлежащих определению); ε - случайная ошибка (отклонение); Y - зависимая (объясняемая) переменная.
теоретическое линейное уравнение множественной регрессии имеет вид:
Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βmXm + ε
β0 - свободный член, определяющий значение Y, в случае, когда все объясняющие переменные Xj равны 0.
Прежде чем перейти к определению нахождения оценок коэффициентов регрессии, необходимо проверить ряд предпосылок МНК.
Предпосылки МНК.
1. Математическое ожидание случайного отклонения εi равно 0 для всех наблюдений (M(εi) = 0).
2. Гомоскедастичность (постоянство дисперсий отклонений). Дисперсия случайных отклонений εi постоянна: D(εi) = D(εj) = S2 для любых i и j.
3. отсутствие автокорреляции.
4. Случайное отклонение должно быть независимо от объясняющих переменных: Yeixi = 0.
5. Модель является линейное относительно параметров.
6. отсутствие
7. Ошибки εi имеют нормальное распределение. Выполнимость данной предпосылки важна для проверки статистических гипотез и построения доверительных интервалов.
Эмпирическое уравнение множественной регрессии представим в виде:
Y = b0 + b1X1 + b1X1 + ... + bmXm + e
Здесь b0, b1, ..., bm - оценки теоретических значений β0, β1, β2, ..., βm коэффициентов регрессии (эмпирические коэффициенты регрессии); e - оценка отклонения ε.
При выполнении предпосылок МНК относительно ошибок εi, оценки b0, b1, ..., bm параметров β0, β1, β2, ..., βm множественной линейной регрессии по МНК являются несмещенными, эффективными и состоятельными (т.е. BLUE-оценками).
Для оценки параметров уравнения множественной регрессии применяют МНК.
1. Оценка уравнения регрессии.
Определим вектор оценок коэффициентов регрессии. Согласно методу наименьших квадратов, вектор s получается из выражения: s = (XTX)-1XTY
К матрице с переменными Xj добавляем единичный столбец:
1 |
62 |
41 |
6 |
0 |
1 |
1 |
1 |
86 |
54 |
10 |
0 |
1 |
1 |
1 |
60 |
45 |
6 |
1 |
0 |
1 |
1 |
58 |
44 |
6 |
1 |
0 |
1 |
1 |
59 |
43 |
6 |
1 |
0 |
1 |
1 |
57 |
43 |
6 |
0 |
1 |
1 |
1 |
60 |
42 |
6 |
0 |
0 |
1 |
1 |
80 |
50 |
9 |
1 |
0 |
1 |
1 |
60 |
42 |
6 |
0 |
0 |
1 |
1 |
57 |
39 |
6 |
1 |
1 |
1 |
1 |
64 |
39 |
9 |
0 |
1 |
1 |
1 |
61 |
43 |
6 |
1 |
0 |
1 |
1 |
58 |
43 |
6 |
1 |
0 |
1 |
1 |
58 |
43 |
6 |
1 |
0 |
1 |
1 |
60 |
51 |
7 |
0 |
0 |
1 |
1 |
88 |
54 |
10 |
1 |
1 |
1 |
1 |
78 |
54 |
12 |
0 |
1 |
1 |
1 |
87 |
57 |
12 |
1 |
0 |
1 |
1 |
80 |
52 |
9 |
1 |
0 |
1 |
1 |
55 |
40 |
6 |
1 |
0 |
1 |
1 |
47 |
34 |
6 |
1 |
1 |
1 |
1 |
47 |
34 |
6 |
1 |
1 |
1 |
1 |
47 |
34 |
6 |
1 |
0 |
1 |
1 |
47 |
34 |
6 |
1 |
1 |
1 |
1 |
48 |
34 |
6 |
1 |
0 |
1 |
1 |
62 |
45 |
6 |
1 |
0 |
1 |
1 |
58 |
40 |
6 |
1 |
1 |
1 |
1 |
56 |
40 |
6 |
1 |
0 |
1 |
1 |
54 |
40 |
6 |
1 |
0 |
1 |
1 |
57 |
41 |
6 |
0 |
1 |
1 |
1 |
74 |
48 |
9 |
1 |
1 |
2 |
1 |
62 |
45 |
6 |
1 |
0 |
2 |
1 |
62 |
45 |
6 |
1 |
0 |
2 |
1 |
47 |
33 |
6 |
0 |
1 |
2 |
1 |
38 |
27 |
6 |
0 |
1 |
2 |
1 |
62 |
45 |
6 |
1 |
0 |
2 |
1 |
62 |
45 |
6 |
1 |
0 |
2 |
1 |
60 |
45 |
6 |
1 |
0 |
2 |
1 |
62 |
45 |
6 |
1 |
0 |
2 |
1 |
62 |
45 |
6 |
1 |
0 |
2 |
1 |
61 |
45 |
6 |
1 |
0 |
2 |
1 |
62 |
45 |
6 |
1 |
1 |
2 |
1 |
62 |
43 |
7 |
0 |
1 |
2 |
1 |
69 |
47 |
9 |
0 |
1 |
1 |
1 |
61 |
43 |
7 |
1 |
0 |
2 |
1 |
64 |
43 |
7 |
0 |
0 |
2 |
1 |
70 |
48 |
9 |
0 |
1 |
2 |
1 |
95 |
51 |
1 |
0 |
0 |
2 |
1 |
62 |
43 |
8 |
0 |
1 |
2 |
1 |
63 |
43 |
7 |
0 |
1 |
2 |
1 |
63 |
39 |
9 |
0 |
1 |
2 |
1 |
74 |
48 |
7 |
1 |
0 |
2 |
1 |
62 |
45 |
6 |
1 |
0 |
2 |
1 |
62 |
45 |
6 |
1 |
0 |
2 |
1 |
80 |
50 |
12 |
0 |
1 |
2 |
1 |
63 |
39 |
9 |
1 |
1 |
2 |
1 |
62 |
39 |
9 |
1 |
0 |
2 |
1 |
62 |
39 |
9 |
0 |
0 |
2 |
1 |
65 |
40 |
9 |
0 |
0 |
2 |
1 |
66 |
39 |
9 |
1 |
1 |
3 |
1 |
85 |
59 |
9 |
0 |
1 |
3 |
1 |
82 |
50 |
11 |
0 |
0 |
3 |
1 |
65 |
47 |
10 |
0 |
1 |
3 |
1 |
64 |
47 |
8 |
0 |
1 |
3 |
1 |
100 |
66 |
9 |
0 |
1 |
3 |
1 |
80 |
52 |
10 |
0 |
1 |
3 |
1 |
47 |
34 |
6 |
1 |
0 |
3 |
1 |
48 |
33 |
6 |
1 |
0 |
3 |
1 |
67 |
43 |
6 |
0 |
1 |
3 |
1 |
57 |
41 |
7 |
0 |
1 |
3 |
1 |
61 |
38 |
9 |
0 |
1 |
3 |
1 |
53 |
35 |
6 |
1 |
0 |
3 |
1 |
66 |
44 |
9 |
1 |
0 |
3 |
1 |
57 |
43 |
6 |
1 |
0 |
3 |
1 |
65 |
39 |
9 |
0 |
0 |
3 |
1 |
90 |
60 |
7 |
0 |
1 |
3 |
1 |
65 |
45 |
6 |
0 |
1 |
3 |
1 |
74 |
36 |
9 |
1 |
0 |
3 |
1 |
760 |
56 |
6 |
1 |
0 |
3 |
1 |
60 |
43 |
6 |
1 |
0 |
3 |
1 |
74 |
45 |
7 |
1 |
0 |
3 |
1 |
80 |
50 |
9 |
1 |
0 |
3 |
1 |
59 |
46 |
6 |
0 |
1 |
3 |
1 |
59 |
37 |
8 |
1 |
0 |
3 |
1 |
59 |
37 |
9 |
1 |
0 |
3 |
1 |
45 |
33 |
6 |
1 |
0 |
3 |
Матрица Y
820 |
2310 |
1550 |
1530 |
1600 |
870 |
870 |
1440 |
1100 |
730 |
1020 |
800 |
800 |
750 |
850 |
1350 |
1350 |
1350 |
2460 |
1000 |
830 |
820 |
820 |
930 |
820 |
1100 |
870 |
800 |
980 |
870 |
870 |
800 |
790 |
700 |
740 |
820 |
830 |
870 |
850 |
790 |
990 |
820 |
980 |
980 |
1200 |
1130 |
1070 |
3960 |
860 |
1100 |
1250 |
910 |
850 |
900 |
1400 |
950 |
960 |
1600 |
1300 |
1150 |
980 |
1000 |
820 |
800 |
1250 |
1120 |
660 |
680 |
790 |
800 |
920 |
630 |
800 |
720 |
900 |
970 |
780 |
850 |
79 |
1200 |
610 |
670 |
630 |
700 |
710 |
520 |
Делаем матрицу XT , а затем перемножаем матрицы, (XTX)
86 |
6192 |
3751 |
625 |
51 |
36 |
168 |
6192 |
936314 |
284459 |
45032 |
3828 |
2360 |
12952 |
3751 |
284459 |
167493 |
27630 |
2165 |
1595 |
7358 |
625 |
45032 |
27630 |
4827 |
351 |
282 |
1240 |
51 |
3828 |
2165 |
351 |
51 |
10 |
95 |
36 |
2360 |
1595 |
282 |
10 |
36 |
71 |
168 |
12952 |
7358 |
1240 |
95 |
71 |
386 |
В матрице, (XTX) число 86, лежащее на пересечении 1-й строки и 1-го столбца, получено как сумма произведений элементов 1-й строки матрицы XT и 1-го столбца матрицы X
Умножаем матрицы, (XTY)
86399 |
5812150 |
3854104 |
630254 |
47509 |
35500 |
160167 |