Модель простой регрессии

χтабл2(15;0.05) = 24.99579

 

Проверим переменные на мультиколлинеарность по второму виду статистических критериев (критерий Фишера).

Определяем обратную матрицу D = R-1:

 

 

1.4	0.32	-0.57	0.12	0.37	0.28	0.38
0.32	1.26	-0.59	0.18	-0.0505	0.0819	-0.12
-0.57	-0.59	1.58	-0.49	0.11	-0.00659	-0.0676
0.12	0.18	-0.49	1.27	0.0963	-0.22	-0.14
0.37	-0.0505	0.11	0.0963	1.62	0.85	0.28
0.28	0.0819	-0.00659	-0.22	0.85	1.53	0.18
0.38	-0.12	-0.0676	-0.14	0.28	0.18	1.18

 

 

Вычисляем F-критерии Фишера:

 

где dkk - диагональные элементы матрицы.

Рассчитанные значения критериев сравниваются с табличными при v1=n-m и v2=m-1 степенях свободы и уровне значимости α. Если Fk > FТабл, то k-я переменная мультиколлинеарна с другими.

v1=86-6 = 80; v2=6-1 = 5. FТабл(80;5) = 4.4

 

Поскольку F1 > Fтабл, то переменная y мультиколлинеарна с другими.

 

Поскольку F2 ≤ Fтабл, то переменная x1  немультиколлинеарна с другими.

 

Поскольку F3 > Fтабл, то переменная x2  мультиколлинеарна с другими.

 

Поскольку F4 ≤ Fтабл, то переменная x3  немультиколлинеарна с другими.

 

Поскольку F5 > Fтабл, то переменная x4  мультиколлинеарна с другими.

 

Поскольку F6 > Fтабл, то переменная x5  мультиколлинеарна с другими.

 

Поскольку F7 ≤ Fтабл, то переменная x6  немультиколлинеарна с другими.

 

Проверим переменные на мультиколлинеарность по третьему виду статистических критериев (критерий Стьюдента). Для этого найдем частные коэффициенты корреляции.

Частные коэффициенты корреляции.

Коэффициент частной корреляции отличается от простого коэффициента линейной парной корреляции тем, что он измеряет парную корреляцию соответствующих признаков (y и xi) при условии, что влияние на них остальных факторов (xj) устранено.

На основании частных коэффициентов можно сделать вывод об обоснованности включения переменных в регрессионную модель. Если значение коэффициента мало или он незначим, то это означает, что связь между данным фактором и результативной переменной либо очень слаба, либо вовсе отсутствует, поэтому фактор можно исключить из модели.

Можно сделать вывод, что при построении регрессионного уравнения следует отобрать факторы x2 , x6  .

 

Модель регрессии в стандартном масштабе.

Модель регрессии в стандартном масштабе предполагает, что все значения исследуемых признаков переводятся в стандарты (стандартизованные значения) по формулам:

 

где хji - значение переменной хji в i-ом наблюдении.

 

Таким образом, начало отсчета каждой стандартизованной переменной совмещается с ее средним значением, а в качестве единицы изменения принимается ее среднее квадратическое отклонение S.

Если связь между переменными в естественном масштабе линейная, то изменение начала отсчета и единицы измерения этого свойства не нарушат, так что и стандартизованные переменные будут связаны линейным соотношением:

ty = ∑βjtxj

Для оценки β-коэффциентов применим МНК. При этом система нормальных уравнений будет иметь вид:

rx1y=β1+rx1x2•β2 + ... + rx1xm•βm

rx2y=rx2x1•β1 + β2 + ... + rx2xm•βm

...

rxmy=rxmx1•β1 + rxmx2•β2 + ... + βm

Для наших данных (берем из матрицы парных коэффициентов корреляции):

-0.136 = β1 + 0.329β2 + 0.00271β3 + 0.0489β4 -0.0724β5 + 0.161β6

0.32 = 0.329β1 + β2 + 0.351β3 -0.209β4 + 0.087β5 + 0.0643β6

0.0325 = 0.00271β1 + 0.351β2 + β3 -0.255β4 + 0.264β5 + 0.149β6

-0.191 = 0.0489β1 -0.209β2 -0.255β3 + β4 -0.544β5 -0.134β6

-0.034 = -0.0724β1 + 0.087β2 + 0.264β3 -0.544β4 + β5 + 0.0194β6

-0.264 = 0.161β1 + 0.0643β2 + 0.149β3 -0.134β4 + 0.0194β5 + β6

Данную систему линейных уравнений решаем методом Гаусса: β1 = -0.227; β2 = 0.404; β3 = -0.0823; β4 = -0.262; β5 = -0.201; β6 = -0.272; 

Стандартизированная форма уравнения регрессии имеет вид:

y0 = -0.227x1 + 0.404x2 -0.0823x3 -0.262x4 -0.201x5 -0.272x6 

Найденные из данной системы β–коэффициенты позволяют определить значения коэффициентов в регрессии в естественном масштабе по формулам:

 

 

3. Анализ параметров уравнения регрессии.

Перейдем к статистическому анализу полученного уравнения регрессии: проверке значимости уравнения и его коэффициентов, исследованию абсолютных и относительных ошибок аппроксимации

Для несмещенной оценки дисперсии проделаем следующие вычисления:

Несмещенная ошибка ε = Y - Y(x) = Y - X*s (абсолютная ошибка аппроксимации)

 

 

Y	Y(x)	ε = Y - Y(x)	ε2	(Y-Yср)2	|ε : Y|
820	1155.44	-335.44	112522.19	34091.76	0.41
2310	1399.96	910.04	828169.83	1703965.94	0.39
1550	1211.43	338.57	114632.45	297418.04	0.22
1530	1186.4	343.6	118063.12	276003.62	0.22
1600	1157.2	442.8	196073.44	354454.08	0.28
870	1218.01	-348.01	121111.13	18127.8	0.4
870	1374.78	-504.78	254804.7	18127.8	0.58
1440	1259.94	180.06	32420.46	189538.73	0.13
1100	1374.78	-274.78	75505.06	9093.62	0.25
730	859.99	-129.99	16898.14	75426.87	0.18
1020	1034.32	-14.32	204.98	235.94	0.014
800	1154.42	-354.42	125612.42	41877.34	0.44
800	1158.59	-358.59	128585.41	41877.34	0.45
750	1158.59	-408.59	166944.22	64841.29	0.54
850	1604.15	-754.15	568743.99	23913.39	0.89
1350	1150.4	199.6	39840.33	119273.85	0.15
1350	1369.26	-19.26	371.01	119273.85	0.0143
1350	1382.15	-32.15	1033.4	119273.85	0.0238
2460	1315.56	1144.44	1309741.25	2118074.08	0.47
1000	1079.33	-79.33	6293.47	21.53	0.0793
830	734.85	95.15	9053.93	30498.97	0.11
820	734.85	85.15	7250.89	34091.76	0.1
820	923.6	-103.6	10732.52	34091.76	0.13
930	734.85	195.15	38084.36	5571.06	0.21
820	922.21	-102.21	10446.47	34091.76	0.12
1100	1208.65	-108.65	11803.97	9093.62	0.0988
870	886.41	-16.41	269.35	18127.8	0.0189
800	1077.94	-277.94	77251.5	41877.34	0.35
980	1080.72	-100.72	10144.78	607.11	0.1
870	1162.39	-292.39	85493.49	18127.8	0.34
870	870.22	-0.22	0.0466	18127.8	0.000248
800	1054.95	-254.95	64997.95	41877.34	0.32
790	1054.95	-264.95	70196.88	46070.13	0.34
700	800.12	-100.12	10024.46	92805.25	0.14
740	645.78	94.22	8877.68	70034.08	0.13
820	1054.95	-234.95	55200.07	34091.76	0.29
830	1054.95	-224.95	50601.13	30498.97	0.27
870	1057.73	-187.73	35241.32	18127.8	0.22
850	1054.95	-204.95	42003.25	23913.39	0.24
790	1054.95	-264.95	70196.88	46070.13	0.34
990	1056.34	-66.34	4400.58	214.32	0.067
820	866.2	-46.2	2134.16	34091.76	0.0563
980	1036.45	-56.45	3186.84	607.11	0.0576
980	1249.84	-269.84	72812.48	607.11	0.28
1200	979.81	220.19	48483.78	38165.71	0.18
1130	1222.42	-92.42	8541.89	15715.25	0.0818
1070	1122.56	-52.56	2762.31	4271.99	0.0491
3960	1527.26	2432.74	5918205.83	8734155.48	0.61
860	1015.54	-155.54	24193.46	20920.6	0.18
1100	1035.06	64.94	4216.92	9093.62	0.059
1250	882.01	367.99	135418.2	60201.76	0.29
910	1100.79	-190.79	36398.93	8956.64	0.21
850	1054.95	-204.95	42003.25	23913.39	0.24
900	1054.95	-154.95	24008.56	10949.43	0.17
1400	1101.55	298.45	89073.89	156309.9	0.21
950	635.23	314.77	99082.93	2985.48	0.33
960	825.37	134.63	18126.45	1992.69	0.14
1600	1072.15	527.85	278627.96	354454.08	0.33
1300	1095.79	204.21	41702.99	87237.8	0.16
1150	477.36	672.64	452448.88	21129.66	0.58
980	1253.91	-273.91	75024.89	607.11	0.28
1000	1154.73	-154.73	23940.82	21.53	0.15
820	927.09	-107.09	11468.17	34091.76	0.13
800	970.3	-170.3	29001.63	41877.34	0.21
1250	1427.72	-177.72	31584.34	60201.76	0.14
1120	1045.29	74.71	5582.31	13308.04	0.0667
660	616.2	43.8	1918.48	118776.41	0.0664
680	587	93	8648.82	105390.83	0.14
790	896.71	-106.71	11387.69	46070.13	0.14
800	834.08	-34.08	1161.78	41877.34	0.0426
920	703.28	216.72	46967.67	7163.85	0.24
630	635.67	-5.67	32.14	140354.78	0.009
800	805.15	-5.15	26.53	41877.34	0.00644
720	852.58	-132.58	17577.38	81019.66	0.18
900	914.28	-14.28	203.89	10949.43	0.0159
970	1316.59	-346.59	120121.36	1199.9	0.36
780	955.11	-175.11	30663.67	50462.92	0.22
850	571.56	278.44	77528.04	23913.39	0.33
79	237	-158	24965.43	856808.55	2
1200	848.41	351.59	123615.5	38165.71	0.29
610	863.66	-253.66	64343.18	155740.36	0.42
670	952.54	-282.54	79831.63	111983.62	0.42
630	991.26	-361.26	130507.72	140354.78	0.57
700	641.13	58.87	3465.9	92805.25	0.0841
710	620.22	89.78	8060.72	86812.46	0.13
520	591.17	-71.17	5065.25	234875.48	0.14
		0	13123967.15	18395389.83	21.06

Средняя ошибка аппроксимации

 

Оценка дисперсии равна:

se2 = (Y - X*Y(X))T(Y - X*Y(X)) = 13123967.15

Несмещенная оценка дисперсии равна:

 

Оценка среднеквадратичного отклонения (стандартная ошибка для оценки Y):

 

Найдем оценку ковариационной матрицы вектора k = S • (XTX)-1

313.71	0.12	-5.03	-4.57	-45.98	-20.88	-14.81
0.12	0.000991	-0.00431	0.00518	-0.0171	0.00227	-0.0155
-5.03	-0.00431	0.14	-0.17	0.37	0.15	0.0747
-4.57	0.00518	-0.17	1.81	0.35	-1.29	-0.54
-45.98	-0.0171	0.37	0.35	29.96	15.2	2.16
-20.88	0.00227	0.15	-1.29	15.2	28.78	1.19
-14.81	-0.0155	0.0747	-0.54	2.16	1.19	7.58

 

 

Дисперсии параметров модели определяются соотношением S2i = Kii, т.е. это элементы, лежащие на главной диагонали

Показатели тесноты связи факторов с результатом.

Если факторные признаки различны по своей сущности и (или) имеют различные единицы измерения, то коэффициенты регрессии bj при разных факторах являются несопоставимыми. Поэтому уравнение регрессии дополняют соизмеримыми показателями тесноты связи фактора с результатом, позволяющими ранжировать факторы по силе влияния на результат.

К таким показателям тесноты связи относят: частные коэффициенты эластичности, β–коэффициенты, частные коэффициенты корреляции.

Частные коэффициенты эластичности.

С целью расширения возможностей содержательного анализа модели регрессии используются частные коэффициенты эластичности, которые определяются по формуле:

 

Частный коэффициент эластичности показывает, насколько процентов в среднем изменяется признак-результат у с увеличением признака-фактора хj на 1% от своего среднего уровня при фиксированном положении других факторов модели.

 

Частный коэффициент эластичности |E1| < 1. Следовательно, его влияние на результативный признак Y незначительно.

 

Частные коэффициент эластичности |E2| > 1. Следовательно, он существенно влияет на результативный признак Y.

 

Частный коэффициент эластичности |E3| < 1. Следовательно, его влияние на результативный признак Y незначительно.

 

Частный коэффициент эластичности |E4| < 1. Следовательно, его влияние на результативный признак Y незначительно.

 

Частный коэффициент эластичности |E5| < 1. Следовательно, его влияние на результативный признак Y незначительно.

 

Частный коэффициент эластичности |E6| < 1. Следовательно, его влияние на результативный признак Y незначительно.

Стандартизированные частные коэффициенты регрессии.

Стандартизированные частные коэффициенты регрессии - β-коэффициенты (βj) показывают, на какую часть своего среднего квадратического отклонения S(у) изменится признак-результат y с изменением соответствующего фактора хj на величину своего среднего квадратического отклонения (Sхj) при неизменном влиянии прочих факторов (входящих в уравнение).

По максимальному βj можно судить, какой фактор сильнее влияет на результат Y.

По коэффициентам эластичности и β-коэффициентам могут быть сделаны противоположные выводы. Причины этого: а) вариация одного фактора очень велика; б) разнонаправленное воздействие факторов на результат.

Коэффициент βj может также интерпретироваться как показатель прямого (непосредственного) влияния j-ого фактора (xj) на результат (y). Во множественной регрессии j-ый фактор оказывает не только прямое, но и косвенное (опосредованное) влияние на результат (т.е. влияние через другие факторы модели).

Косвенное влияние измеряется величиной: ∑βirxj,xi, где m - число факторов в модели. Полное влияние j-ого фактора на результат равное сумме прямого и косвенного влияний измеряет коэффициент линейной парной корреляции данного фактора и результата - rxj,y.