Вероятностные модели управления запасами

Решение.

Для нахождения размера заказа , воспользуемся формулой (1.6):

.

Заказать нужно:

 

Прежде чем решить это уравнение, нам нужно найти  и z. Чтобы найти , мы воспользуемся утверждением, что стандартное отклонение последовательности независимых случайных переменных равняется корню квадратному из суммы дисперсий. Следовательно, стандартное отклонение за период  равняется корню квадратному из суммы дисперсий за каждый день: 

Поскольку каждый день независимый, то

 

Теперь, чтобы найти z, прежде всего нужно найти E(z) и отыскать соответствующее значение в таблице Брауна. В этом случае потребность в течение контрольного периода составит , т.е.

 
 
         Из таблицы Брауна при E(z) = 0,302 путем интерполяции получаем z = 0,21.Таким образом, количество изделий, которое нужно заказать, составит:

 

Чтобы удовлетворить 98%-ную потребность в изделиях, нужно на этот контрольный период заказать 294 изделия.

Пример 3. Вероятностная задача с изменениями во времени.

Предприятие закупает агрегат с запасными блоками к нему. Стоимость одного блока равна 5 ден. ед. В случае выхода агрегата из строя из-за поломки блока, отсутствующего в запасе, простои агрегата и срочный заказ нового блока к нему обойдется в 100 ден. ед. Опытное распределение агрегатов по числу блоков, потребовавших замену, представлено в табл. 2.1:

Таблица 2.1

Статическая вероятность

Число замененных блоков r	0	1	2	3	4	5	6
Статистическая вероятность (доля) агрегатов p(r)	0,90	0,05	0,02	0,01	0,01	0,01	0,00

 

Необходимо определить оптимальное число запасных блоков, которое следует приобрести вместе с агрегатом.

Решение.

По условию c(2) = 5, c(3) = 100. Вычислим плотность убытков из-за нехватки запасных блоков по формуле:

 

          Учитывая F(s) = p(r < s), значения функции распределения спроса:

Таблица 2.2

Значения функции распределения спроса

S	0	1	2	3	4	5	6	>6
R	0	1	2	3	4	5	6	>6
F(s)	0,00	0,00	0,90	0,95	0,97	0,98	0,99	1,00

 

 

 

 

 

Очевидно, что оптимальный запас составит So = 3, ибо он удовлетворяет неравенству F(So) < p < F(So + 1): Р(3) < 0,952 < Р(4).

Пример 4. Вероятностная задача управления запасами.

На заводе трансформаторов потребность станкосборочного цеха в заготовках некоторого типа составляет 34 тыс.шт. в год. Дефицит заготовок не допускается. Издержки размещения заказа - 50 ден. ед., издержки содержания одной заготовки в год равны 5 ден. ед. Среднее время реализации заказа -10 дней.

Определить оптимальную партию поставки, периодичность возобновления поставок, точку размещения заказа, суммарные годовые затраты.

Решение.

За единицу времени выберем год. Введем условные обозначения:

• Спрос (потребность цеха в заготовках): ν = 34 000 шт. в год;
• Издержки размещения заказа: К = 50 ден. ед.;
• Удельные издержки хранения: s = 5 ден. ед.;
• Среднее время реализации заказа: = 10/365.

Так как потребность цеха в заготовках (спрос) ν является постоянным и дефицит не допускается, то имеет место простейшая однопродуктовая модель:

Оптимальный объем партии  q* определим по формуле Уилсона:

 

Оптимальный интервал времени между поставками  * рассчитаем по формуле:

 

Суммарные годовые затраты  L* вычислим как:

 

Заказ должен размещаться в момент времени, когда величина наличного запаса для систем без дефицита составит:

 

Момент времени подачи заявки на новую поставку найдем по формуле:

 

Таким образом, цех должен заказывать по 825 шт. заготовок каждые 9 дней. Заказ на поставку новой партии должен размещаться на 8-й день после предшествующей поставки, когда величина наличного запаса составит 107 шт. заготовок. При этих условиях суммарные годовые затраты будут минимальными и составят 4125 ден. ед.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Запасы различного рода играют важнейшую роль при функционировании любой экономической системы и возникают практически во всех звеньях народного хозяйства.

Ни одно производственное предприятие не может существовать без материально-производственных запасов. От их объема и уровня в значительной мере зависят результаты коммерческой деятельности предприятия. Они чутко реагируют на любые изменения рыночной конъюнктуры, и, в первую очередь, на отношение спроса и предложения.

Управление запасами направленно на повышение рентабельности и скорости обращения вложенного капитала.

Задача управления запасами возникает, когда необходимо создать запас материальных ресурсов или предметов потребления с целью удовлетворения спроса на заданном интервале времени (конечном или бесконечном). Для обеспечения непрерывного и эффективного функционирования практически любой организации необходимо создание запасов. В любой задаче управления запасами требуется определять количество заказываемой продукции и сроки размещения заказа. Спрос можно удовлетворить путём однократного создания запаса на весь рассматриваемый период времени или посредством создания запаса для каждой единицы времени этого периода. Эти два случая соответствуют избыточному запасу (по отношению к единице времени) и недостаточному запасу (по отношению к полному периоду времени).

При избыточном запасе требуется более высокие удельные (отнесённые к единице времени) капитальные вложения, но дефицит возникает реже и частота размещения заказов меньше. С другой стороны, при недостаточном запасе удельные капитальные вложения снижаются, но частота размещения заказов и риск дефицита возрастает. Для любого из указанных крайних случаев характерны значительные экономические потери. Таким образом, решения относительно размера заказа и момента его размещения могут основываться на минимизации соответствующей функции общих затрат, включающих затраты, обусловленные потерями от избыточного запаса и дефицита.

С помощью математических методов можно выработать правила управления запасами. Что и было сделано в курсовой работе. Если для решения задач управления запасами применяются математические методы, то исследуемую систему необходимо описать с помощью математической модели.

В этой курсовой работе были рассмотрены как детерминированные, так и стохастические модели управления запасами, которые имеют не только теоретическое, но и практическое значение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Эддоус М., Стэнсфилд Р. Методы принятия решений.- М.: Аудит, 1997
2. Хедли Дж., Уайтин Т. Анализ систем управления запасами — М.: Наука, 1969.
3. Таха Х. Введение в исследование операций. М.: Издательский дом “Вильямс”, 2001
4. Первозванский А.А., Первозванская. Т.Н. Финансовый рынок: расчет и риск. -М.: ИНФРА-М, 1994
5. Лотоцкий В.А., Мандель A.C. Модели и методы управления  запасами. - М.: Наука, 1991
6. Кофман А., Анри-Лабордер А. Методы и модели исследования операций — М.: Мир, 1966.
7. Колемаев В.А., Староверов О.В., Турундаевский В.Б. Теория вероятностей и математическая статистика. -М.: Статистика, 1991
8. Колемаев В.А. «Математические методы принятия решений в экономике»
9. Исследование операций в экономике /Под ред.Н.Ш.Кремера.- М.: Банки и биржи, ЮНИТИ,1997 г.
10. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н.. Математические методы в экономике. -М.: ДИС, 1997
11. Балашевич В.А., Андронов А.М.. Экономико-математическое моделирование производственных систем- Мн: Университетское, 1995
12. E. Silver, D. Pyke and R. Peterson, Decision Systems for Inventory Management and Production Planning and Control, 3rd ed. (New York, 1997).
13. Donald W. Fogarty, John H. Blackstone and Thomas R. Hoffmann, Production and Inventory Management, 2nd ed. (Cincinnati, 1991).