Вероятностные модели управления запасами

 

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………….3

1.  ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ.…4
1. Типы моделей управления запасами………………………………...…4
2. Модели управления запасами с вероятностным спросом…………….7
3. Модель с непрерывным контролем уровня запаса………………..…10
4. Обобщенная модель управления запасами………………………...…16
2. ПРИМЕНЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МОДЕЛЕЙ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ В РЕШЕНИИ ЗАДАЧ……………...20

ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………...……..26

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ…………...……28

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

В большинстве случаев физически невозможно либо экономически не выгодно, чтобы товары поступали именно тогда, когда на них поступает спрос. При отсутствии запасов потребителями приходилось бы ждать, пока их заказы будут выполнены. Главная причина создания запасов продовольствия и сельскохозяйственного сырья – сезонность его производства. Кроме того, цены на сырье, применяемое изготовителем, могут подвергаться значительным сезонным колебаниям. Когда цена низка, выгодно создавать достаточные запасы сырья, которые в течении всего сезона высоких цен по мере надобности использовались бы в производстве. Другой довод, особенно важный для предприятий розничной торговли, состоит в том, что объем продажи и прибыль возрастут, если имеется некоторый запас товаров, предлагаемых потребителю.

С помощью математических методов можно выработать правила управления запасами. Если для решения задач управления запасами применяются математические методы, то исследуемую систему необходимо описать с помощью математической модели.

В этой курсовой работе рассматриваются как детерминированные, так и стохастические модели управления запасами, которые имеют не только теоретическое, но и практическое значение.

 

 

 

 

 

 

 

 

1. ТЕОРЕТИЧЕНСКИЕ ОСНОВЫ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ

 

1. Типы моделей управления запасами.

Разнообразие моделей определяется характером спроса, который может быть детерминированным (достоверно известным) или вероятностным (задаваемым плотностью вероятности). Типы моделей управления запасами зависят от характера спроса.

Детерминированный спрос может быть статическим, в том смысле, что интенсивность потребления остается неизменной во времени, или динамическим, когда спрос известен достоверно, но изменяется от времени.

Вероятностный спрос может быть стационарным, т.е. функция плотности вероятности спроса не изменяется с течением времени, и нестационарным, когда функция плотности распределения вероятности спроса изменяется со временем. [4, c.150]

 

 

 Рис. 1.1. Типы моделей  управления запасами в зависимости  от характера спроса

 Источник: [4, с.150]

 

В реальных условиях случай детерминированного статического спроса встречается редко. Такой случай можно рассматривать как простейший. Наиболее точно характер спроса может быть описан посредством вероятностных нестационарных распределений. Представленную классификацию можно считать представлением различных уровней абстракции описания спроса.

На первом уровне предполагается, что распределение вероятностей спроса стационарно во времени. Это означает, что для описания спроса в течение всех исследуемых периодов времени используется одна и та же функция распределения вероятностей. Это упрощение означает, что влияние сезонных колебаний спроса в модели не учитывается.

На втором уровне абстракции учитываются изменения от одного периода к другому, но при этом функции распределения не применяются, а потребности в каждом периоде описываются средней величиной спроса. Это упрощение означает, что элемент риска в управлении запасами не учитывается. Однако оно позволяет учитывать сезонные колебания спроса.

На третьем уровне упрощения исключаются как элементы риска, так и изменения спроса. Тем самым спрос в течение любого периода предполагается равным среднему значению известного (по предположению) спроса по всем рассматриваемым периодам. В результате этого упрощения спрос можно оценить его постоянной интенсивностью.[3, c.87]

Хотя характер спроса является одним из основных факторов при построении модели управления запасами, имеются другие факторы, влияющие на выбор типа модели.

1. Запаздывания поставок или сроки выполнения заказов. После размещения заказа он может быть поставлен немедленно или потребуется некоторое время на его выполнение. Интервал времени между моментом размещения заказа и его поставкой называется запаздыванием поставки, или сроком выполнения заказа. Эта величина может быть детерминированной или случайной.

2. Пополнение запаса. Хотя система управления запасами может функционировать при запаздывании поставок, процесс пополнения запаса может осуществляться мгновенно или равномерно во времени. Мгновенное пополнение запаса может происходить при условии, когда заказы поступают от внешнего источника. Равномерное пополнение может быть тогда, когда запасаемая продукция производится самой организацией. В общем случае система может функционировать при положительном запаздывании поставки и равномерном пополнении запаса.

3. Период времени определяет интервал, в течение которого осуществляется регулирование уровня запаса. В зависимости от отрезка времени, на котором можно надежно прогнозировать, рассматриваемый период принимается конечным или бесконечным.

4. Число пунктов накопления запасов. В систему управления запасами может входить несколько пунктов хранения запаса. В некоторых случаях эти пункты организованы таким образом, что один выступает в качестве поставщика для другого. Эта схема иногда реализуется на различных уровнях, так что пункт-потребитель одного уровня может стать пунктом-поставщиком на другом уровне. В таком случае говорят о системе управления запасами с разветвленной структурой.

5. Число видов продукции. В системе управления запасами может фигурировать более одного вида продукции. Этот фактор учитывается при условии наличия некоторой зависимости между различными видами продукции. Так, для различных изделий может использоваться одно и то же складское помещение или же их производство может осуществляться при ограничениях на общие производственные фонды. [2, c.77]

Чрезвычайно трудно построить обобщенную модель управления запасами, которая учитывала бы все разновидности условий, наблюдаемых в реальных системах. Но если бы и удалось построить универсальную модель, она едва ли оказалась аналитически разрешимой. [1, c.129]

 

1.2 Модели управления запасами с вероятностным спросом.

Вероятностные модели управления запасами, основаны на пополнении уровня обслуживания.

Резервный запас – это величина, постоянно поддерживаемая дополнительно к ожидаемой потребности.

Уровень обслуживания – это доля или процент от общей величины спроса, которые можно реально получить из резервного запаса.

Если наибольшая годовая потребность в каком-либо изделии составляет 1000 штук, то 95% уровень обслуживания будет означать, что 950 штук можно будет получить из наличного запаса, а 50 штук не хватит.

Концепция уровня обслуживания основана на статистической характеристике, называемой ожидаемая «z», или E (z).

E (z) – это ожидаемое количество изделий, которых может не хватать на протяжении каждого интервала времени выполнения заказа.

Значения E (z) сведены в таблицу. Статистическая таблица (таблица Брауна) показывает зависимость ожидаемого дефицита изделий E (z) от резервного запаса, выраженная в стандартных отклонениях спроса. Табличные значения приведены к стандартному отклонению спроса = 1.[9, c.235]

Модель с фиксированным объёмом заказа и концепция уровня обслуживания.

Рис. 1.2. Диапазон отклонений в модели с фиксированным размером заказа

Источник: [12, с.58]

 

Важнейшее различие между моделью, в которой спрос является постепенным, и вероятностной моделью заключается в порядке выполнения точки заказа. Объём партии (q) будет одинаков, а элемент неопределённости учитывается путём установления резервного запаса.

Точка заказа S определяется по формуле:            

    ,                                            (1.1)

где  - средняя потребность в единицу времени;

- средняя продолжительность  заготовительного периода в днях;

z - число стандартных отклонений спроса в резервном запасе для заданного уровня обслуживания;

- стандартное  отклонение спроса в течение  заготовительного периода.

Значение  определяется в зависимости от условий задачи по одной из 3 формул. Первая формула применяется, если изменяется только спрос, а продолжительность заготовительного периода постоянна.

 ,                                            (1.2)

где    - стандартное отклонение спроса в единицу времени.

Если изменяется только заготовительный период, а спрос постоянен, то:                                                                                             (1.3)

Когда изменяется и спрос и заготовительный период, то:

                                          (1.4)

Чтобы определить значение z вычисляется E(z) – величина дефицита, удовлетворяющая данному уровню обслуживания, затем по таблице Брауна определяется величина z.

,               (1.5)

 

где E(z) - ожидаемый дефицит изделий в каждом цикле заказа;

 

 - требуемый уровень обслуживания;

 – объем партии, рассчитанный по формуле Уилсона. [12, с.58]

 

Модель с фиксированной периодичностью и концепция уровня обслуживания.

Рис. 1.3. Вероятностная модель с фиксированной периодичностью заказа

       Источник: [13, с.98]

 

Рассмотренную ситуацию с переменным спросом и с постоянной продолжительностью заготовительного периода. Объемов заказов такой модели можно представить:

Рис. 1.4. Объём заказов модели с фиксированной периодичностью.

Источник: [13, с.98]

 

 

                                       (1.6)

(1.7)

         ,                                  (1.8)

где l – промежуток времени между подачей заявок;

 

 – отклонение спроса в период времени в течении цикла заказа и заготовительного периода;

Z – текущий уровень запаса. [13, c.98]

 

1.3 Модель с непрерывным контролем уровня запаса.

  Рассмотрим две модели управления запасами:

• обобщенная детерминированная модель экономичного размера заказа на вероятностный случай, в которой используется буферный запас, отвечающий за случайный спрос;
• вероятностная модель экономичного размера заказа, учитывающая вероятностный характер спроса непосредственно в постановке задачи.[7, c.113]

«Рандомизированная» модель экономичного размера заказа.

Адаптируем детерминированную модель экономичного размера заказа  для    вероятностного спроса.  Используем  приближенный метод, который предполагает существование постоянного буферного запаса на протяжении всего планового периода. Размер резерва устанавливается так, чтобы вероятность истощения запаса в течение периода выполнения заказа (интервала между моментом размещения заказа и его поставкой) не превышала наперед заданной величины.

Введем следующие обозначения:

• L — срок выполнения заказа, т.е. время от момента размещения заказа до его поставки;
• X1— случайная величина, представляющая величину спроса на протяжении срока выполнения заказа;
• m1  — средняя величина спроса на протяжении срока выполнения заказа;
• σ1 — среднеквадратическое отклонение величины спроса на протяжении срока выполнения заказа;
• В — размер резервного запаса;
• α — максимально возможное значение вероятности истощения запаса на протяжении срока выполнения заказа.

Основным предположением при построении модели является то, что величина спроса Х1 на протяжении срока выполнения заказа L является нормально распределенной случайной величиной со средним μ1 и стандартным отклонением σ1 т.е. имеет распределение N(μ1,σ1)

На рис. 1.5 показана зависимость между размером резервного запаса В и параметрами детерминированной модели экономичного размера заказа, которая включает срок выполнения заказа L, среднюю величину спроса μ1 на протяжении срока выполнения заказа и экономичный размер заказа у*. Заметим, что L должно быть равно эффективному времени выполнения заказа. [2, c.80]

Уровень запаса

Время

Рис. 1.5 Зависимость между размером резервного запаса и параметрами детерминированной модели экономичного размера заказа.

Источник: [2, с.80]

 

Вероятностное условие, которое определяет размер резервного запаса В, имеет вид:

                                                                                                                    (1.9)

 

По определению случайная величина

 

                                          (1.10)

является нормированной нормально распределенной случайной величиной, т.е. имеет распределение N(0,1). Следовательно,

 

                                                                                                                         (1.11)

Величина          , которая определяется из таблицы стандартного нормального распределения, так что: