(1.12)
Следовательно, размер резервного запаса
должен удовлетворять неравенству
B≥σL
.
Величина спроса на протяжении срока выполнения
заказа L обычно описывается плотностью
распределения вероятностей, отнесенной
к единице времени (например, ко дню или
неделе), из которой можно определить распределение
спроса на протяжении периода L. В частности,
если спрос за единицу времени является
нормально распределенной случайной величиной
со средним D и стандартным отклонением
σ, то общий спрос на протяжении срока
выполнения заказа L будет иметь распределение
N(μL, σL), где μL=DL и σL=
. Формула для σL получена
на основании того, что значение L является
целым числом (или же округлено до целого
числа).[11, c.67]
Вероятностный вариант
модели экономичного размера заказа.
"Рандомизированная" модель
экономичного размера заказа не дает оптимальную
политику управления запасами. Информация,
имеющая отношение к вероятностной природе
спроса первоначально не учитывается,
а используется лишь независимо на последнем
этапе вычислений. Рассмотрим более точную
модель, в которой вероятностная природа
спроса учитывается непосредственно в
постановке задачи.[5, c. 39]
В новой модели допускается
неудовлетворенный спрос (рис. 1.6). Заказ
размером у размещается
тогда, когда объем запаса достигает уровня R. Как и в детерминированном
случае, уровень R, при котором
снова размещается заказ, является функцией
периода времени между размещением заказа
и его выполнением. Оптимальные значения у и R определяются
минимизацией ожидаемых затрат системы
управления запасами, отнесенных к единице
времени; они включают как расходы на размещение
заказа, на хранение, так и потери, связанные
с неудовлетворенным спросом.[8, c.163]
Рис. 1.6 Неудовлетворенный спрос.
Источник: [8, c.163]
В рассматриваемой модели приняты
три допущения:
1. Неудовлетворенный в течение срока
выполнения заказа спрос накапливается.
2. Разрешается не более одного невыполненного
заказа.
3. Распределение спроса в течение
срока выполнения заказа является стационарным
(неизменным) во времени.
Для определения функции, отражающей
суммарные затраты, отнесенные к единице
времени, введем следующие обозначения:
- f(x) — плотность распределения спроса х в течение срока выполнения заказа;
- D — ожидаемое значение спроса в единицу времени;
- h — удельные затраты на хранение (на единицу продукции за единицу времени);
- р — удельные потери от неудовлетворенного спроса (на единицу продукции за единицу времени);
- К — стоимость размещения заказа.
Основываясь на этих определениях,
вычислим компоненты функции затрат.
- Стоимость размещения
заказов. Приближенное число заказов в единицу времени равно D/y, так что стоимость размещения заказов в единицу времени равна KD/y.
-
Ожидаемые затраты
на хранение. Средний уровень запаса равен:
(1.13)
Следовательно, ожидаемые затраты на хранение
за единицу времени равны hI.
Приведенная формула получена
в результате усреднения ожидаемых запасов
в начале и конце временного цикла, т.е.
величин у + M{R-х} и M{R-х} соответственно.
При этом игнорируется случай, когда величина
R - М{х} может быть отрицательной, что является
одним из упрощающих допущений рассматриваемой
модели.
-
Ожидаемые потери,
связанные с неудовлетворенным спросом.
Дефицит возникает при х > R. Следовательно, ожидаемый дефицит за единицу времени равен
(1.14)
Так
как в модели предполагается, что р пропорционально
лишь объему дефицита, ожидаемые потери,
связанные с неудовлетворенным спросом,
за один цикл равны pS. Поскольку
единица времени содержит D/y циклов, то
ожидаемые потери, обусловленные дефицитом,
составляют pDS/y за единицу
времени.
Результирующая функция общих
потерь за единицу времени TCU имеет следующий
вид.
(1.15)
Оптимальные значения у* и R*
определяются из представленных ниже
уравнений:
(1.16)
(1.17)
Следовательно, имеем
(1.18)
(1.19)
Так как из уравнений (1.18) и (1.19)
у* и R* нельзя определить в явном виде,
для их нахождения используется численный
алгоритм, предложенный Хедли и Уайтин
(Hadley, Whitin). Доказано, что алгоритм сходится
за конечное число итераций при условии,
что допустимое решение существует.
При R = 0 последние
два уравнения соответственно дают следующее.
(1.20)
(1.21)
Если ≥
, тогда существуют единственные оптимальные
значения для у и R. Вычислительная
процедура определяет, что наименьшим
значением у* является
, которое достигается при S = 0.
Алгоритм состоит из следующих шагов:
Шаг 0. Принимаем начальное решение
и считаем R0 = 0. Полагаем i = 1 и переходим
к шагу i.
Шаг i. Используем значение уi для определения Ri, из уравнения
(1.19). Если Ri≈ R i-1, вычисления
заканчиваются; оптимальным решением
считаем у* = уi и R* = Ri. Иначе
используем значение Ri в уравнении
(1.18) для вычисления уi. Полагаем i=i+1 и повторяем
шаг i. [10, c. 229]
1.4 Обобщенная модель
управления запасами.
Задача управления запасами
возникает, когда необходимо создать запас
материальных ресурсов или предметов
потребления с целью удовлетворения спроса
на заданном интервале времени.
Для обеспечения непрерывного
и эффективного функционирования
практически любой организации
необходимо создание запасов. В
любой задаче управления запасами требуется
определить количество заказываемой продукции
и сроки размещения заказов.[1, c. 127]
Спрос можно
удовлетворить 2 способами:
1. путем однократного
создания запаса на весь рассматриваемый
период времени;
2. посредством создания
запаса для каждой единицы
времени этого периода.
Эти два случая соответствуют избыточному запасу
(по отношению к единице времени) и недостаточному запасу
(по отношению к полному периоду времени).
При избыточном запасе
требуются более высокие удельные (отнесенные
к единице времени) капитальные вложения,
но дефицит возникает реже и частота размещения
заказов меньше.
При недостаточном запасе
удельные капитальные вложения снижаются,
но частота размещения заказов и риск
дефицита возрастают.
Для любого из этих двух крайних
случаев характерны значительные экономические
потери. Таким образом, решения относительно
размера заказа и момента его размещения
могут основываться на минимизации соответствующей
функции общих затрат, включающих затраты,
обусловленные потерями от избыточного
запаса и дефицита.[,c.58]
Любая модель управления запасами
в конечном счете должна дать ответ на
два вопроса:
1. Какое количество продукции
заказывать?
2. Когда заказывать?
Ответ на первый вопрос выражается
через размер заказа,
определяющего оптимальное количество
ресурсов, которое необходимо поставлять
всякий раз, когда происходит размещение
заказа. В зависимости от рассматриваемой
ситуации размер заказа может меняться
во времени.
Ответ на второй вопрос зависит
от типа системы управления запасами.
Если система предусматривает периодический контроль состояния
запасами через равные промежутки времени
(еженедельно или ежемесячно), момент поступления
нового заказа обычно совпадает с началом
каждого интервала времени. Если же в системе
предусмотрен непрерывный контроль состояния
запаса, точка заказа обычно
определяется уровнем запаса,
при котором необходимо размещать новый
заказ.
Таким образом, решение обобщенной
задачи управления запасами определяется
следующим образом:
1. В случае периодического
контроля состояния запаса следует
обеспечивать поставку нового количества
ресурсов в объеме размера заказа через
равные промежутки времени.
2. В случае непрерывного
контроля состояния запаса необходимо
размещать новый заказ в размере объема запаса,
когда его уровень достигает точки заказа.
Размер и точка заказа обычно
определяются из условий минимизации
суммарных затрат системы управления
запасами, которые можно выразить в виде
функции этих двух переменных.[6, c.247]
Суммарные затраты системы
управления запасами выражаются в виде
функции их основных компонент:
Суммарные затраты системы
управления запасами |
= |
Затраты на приобретение |
+ |
Затраты на оформление заказа |
+ |
Затраты на хранение заказа |
+ |
Потери от дефицита |
Таблица 1.1
Таблица 1.1
Суммарные затраты
системы управления запасами
Источник: [6, c. 248].
Затраты на приобретение становятся важным фактором,
когда цена единицы продукции зависит
от размера заказа, что обычно выражается
в виде оптовых скидок в
тех случаях, когда цена единицы продукции
убывает с возрастанием размера заказа.
Затраты на оформление
заказа представляют собой постоянные
расходы, связанные с его размещением.
При удовлетворении спроса в течение заданного
периода времени путем размещения более
мелких заказов (более часто) затраты возрастают
по сравнению со случаем, когда спрос удовлетворяется
посредством размещения более крупных
заказов (и, следовательно реже).
Затраты на хранение
запаса, которые представляют собой
расходы на содержание запаса на складе
(затраты на переработку, амортизационные
расходы, эксплуатационные расходы) обычно
возрастают с увеличением уровня запаса.
Потери от дефицита представляют собой расходы,
обусловленные отсутствием запаса необходимой
продукции.
Модель управления запасами
не обязательно должна включать все четыре
вида затрат, так как некоторые из них
могут быть незначительными, а иногда
учет всех видов затрат чрезмерно усложняет
функцию суммарных затрат. На практике
какую-либо компоненту затрат можно не
учитывать при условии, что она не составляет
существенную часть общих затрат. [9, с.150]
2. Применение
вероятностных моделей управления
запасами в решении задач
Пример 1. Экономичный
размер заказа. (Пример решения вероятностной задачи,
рассмотренной в п.1.2 (Модель с фиксированным объемом
и концепция уровня обслуживания)).
Пусть годовая потребность D=1000 единиц, экономичный размер заказа =200 единиц, требуемый уровень обслуживания = 0,95, стандартное отклонение потребности
в течение периода выполнения заказа = 25 единиц, в году 250 рабочих дней, а период
выполнения заказа = 15 дней. Требуется определить точку
очередного заказа.
Решение.
В нашем примере = 4 (1000 изделий в год, деленные на 250 рабочих дней). Для нахождения
точки запаса S воспользуемся формулой
(1.1):
Следовательно, S=4*15+z*25.
Чтобы найти z, воспользуемся формулой для E(z) (1.5)
и найдем соответствующее значение в
таблице Брауна. В нашем примере = 200, уровень обслуживания =0,95, а стандартное отклонение потребности
в течение периода выполнения заказа =25.
Следовательно,
Из таблицы Брауна по E(z) = 0,4 находим, что z = 0. Подставляя это значение в выражение
для S, получаем
S=4*15+z*25=60+0*25=60 единиц
Это говорит о том, что, когда текущий
запас снижается до 60 единиц, нужно заказать
еще 200 единиц.
Теперь вычислим потребность в изделиях,
которая фактически удовлетворяется в
течение года. Это даст нам возможность
увидеть, действительно ли получается
95%-ный уровень обслуживания.
E(z) — ожидаемый дефицит по каждому заказу
при стандартном отклонении, равном 1.
Дефицит по каждому заказу в нашем случае
составит:
E(z) = 0,4*25 = 10.
Поскольку каждый год размещаются пять
заказов (1000/200), это означает дефицит 50
единиц.
Такой результат подтверждает, что нам
действительно удалось обеспечить 95%-ный
уровень обслуживания, поскольку из запаса
можно получить 950 единиц при общей потребности
в 1000 единиц.
Пример 2. Величина заказа.
(Пример решения вероятностной задачи,
рассмотренной в п.1.2 (Модель с фиксированным периодом
и концепция уровня обслуживания)).
Ежедневная потребность в определенном
изделии составляет 10 единиц; стандартное
отклонение— три единицы. Контрольный
период — 30 дней, а период выполнения заказа
— 14 дней. Руководство фирмы приняло решение
создавать запас, обеспечивающий 98%-ное
удовлетворение потребности. В начале
данного контрольного периода в запасе
есть 150 изделий. Сколько изделий нужно
заказать?