Типовая задача оптимизации

P >

P >

P > 2

Так как  число повторных точек для  всех моделей равно 6 и больше 2, то свойство случайности выдержано  и все модели считаются адекватными.

Для оценки адекватности моделей используем свойство независимости остаточной компоненты.

Применим метод  Дарбина – Уотсона. Критерий рассчитывается по формуле:

 

 

Получим:

 
 

Для линейной модели:

Для модели Брауна с α = 0,4:

Для модели Брауна с α = 0,7: 

Полученные  значения сравним с табличными.

Для линейной модели и модели Брауна с α = 0,4 значения d попадают в интервал (d_в; 4 - d_в), т.е. (1,36 < d < 2,64), значит гипотеза о независимости остаточной компоненты принимается.

Значение  d модели Брауна с α = 0,7 попадает в интервал (4 – d_н < d < 4), т.е. (2,92 < d < 4), поэтому принимается альтернативная гипотеза об отрицательной автокорреляции. 

Оценим  адекватность моделей, определив соответствие ряда остатков нормальному закону распределения.

Используем  - критерий, где

R = E_max – E_min - размах выборки

S = - среднеквадратическое отклонение

для линейной модели:

E_max = 1,7;  E_min = -3,1

R = 1,7 – (-3,1) = 4,8

S =

= = 3,2

Расчетное значение - критерия попадает в интервал [2,7; 3,7], значит гипотеза о нормальном распределении ряда остатков принимается.

Для модели Брауна с α = 0,4:

E_max = 2,0;  E_min = -5,2

R = 2,0 – (-5,2) = 7,2

S =

= = 3,3

Гипотеза  принимается.

Для модели Брауна с α = 0,7:

E_max = 5,3;  E_min = -4,7

R = 5,3 – (-4,7) = 10,0

S =

= = 3,4

Гипотеза  принимается. 

    5) Для оценки точности моделей  применим среднюю относительную  ошибку аппроксимации:

 

Для линейной модели:

E_отн =

Для модели Брауна с α = 0,4:

E_отн =

Для модели Брауна с α = 0,7:

E_отн =

Так как  для всех моделей ошибка не превосходит 15%, то их точность считается приемлемой.

    6) Доверительный интервал:

 

Прогноз на неделю вперед:

- линейная  модель:

Точечный  прогноз:

y = 31,3 + 2,4·10 = 55,3

Интервальный  прогноз:

нижняя  граница = 55,3 – 1,95 = 53,35

верхняя граница = 55,3 + 1,95 = 57,25 

- модель  Брауна с α = 0,4:

Точечный  прогноз:

y = 52,9 + 2,4·1 = 55,3

Интервальный  прогноз:

нижняя  граница = 55,3 – 2,9 = 52,4

верхняя граница = 55,3 + 2,9 = 58,2 

- модель  Брауна с α = 0,7:

Точечный  прогноз:

y = 53,0 + 2,7·1 = 55,7

Интервальный  прогноз:

нижняя  граница = 55,7 – 3,8 = 51,9

верхняя граница = 55,7 + 3,8 = 59,5

Прогноз на две недели вперед:

- линейная  модель:

Точечный  прогноз:

y = 31,3 + 2,4·11 = 57,7

Интервальный  прогноз:

нижняя  граница = 57,7 – 2,1 = 55,6

верхняя граница = 57,7 + 2,1 = 59,8 

- модель  Брауна с α = 0,4:

Точечный  прогноз:

y = 52,9 + 2,4·2 = 57,7

Интервальный  прогноз:

нижняя  граница = 57,7 – 3,0 = 54,7

верхняя граница = 57,7 + 3,0 = 60,7 

- модель  Брауна с α = 0,7:

Точечный  прогноз:

y = 53,0 + 2,7·2 = 58,4

Интервальный  прогноз:

нижняя  граница = 58,4 – 4,0 = 54,4

верхняя граница = 58,4 + 4,0 = 62,4 

    Представим  графически результаты моделирования  и прогнозирования 

    - для линейной модели:

- для  модели Брауна с α = 0,4:

- для  модели Брауна с α = 0,7: 

Список  использованной литературы. 

  1. Орлова И.В., Половников В.А. Экономико-математические  методы и модели: компьютерное  моделирование: Учеб. пособие. –  М.: Вузовский учебник, 2007. – 365 с.

  2. Экономико-математические методы  и прикладные модели. Задания для выполнения контрольной и лабораторной работ. – М.: ВЗФЭИ, 2006. – 40 с.

  3.  Экономико-математические методы  и прикладные модели. Методические  указания по выполнению контрольной  работы, темы и задачи. – М.: ВЗФЭИ, 2002. – 104 с.

  4. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов; Под ред. В.В. Федосеева. – М.: ЮНИТИ, 2001. – 391 с.