Типовая задача оптимизации

Федеральное агентство по образованию

Филиал

Государственное образовательное учреждение  высшего  профессионального образования

Всероссийский заочный финансово-экономический  институт

в городе Тула 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 

по дисциплине: «Экономико-математические методы и прикладные модели» 

Вариант 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Тула 2009г.

 

     Содержание:

    1. Задача 1……………………………………………………….………..3

    2. Задача 2………………………………………………………………...7

    3. Задача 3………………………………………………………………..13

    4. Задача 4………………………………………………………………..17

    Список  использованной литературы…………………………………..30

 

     Задача 1.

    Решить  графическим методом  типовую задачу оптимизации.

    Фирма производит два широко популярных безалкогольных напитка – «Лимонад» и «Тоник». Фирма может продать всю продукцию, которая будет произведена. Однако объем производства ограничен количеством основного ингредиента и производственной мощностью имеющегося оборудования. Для производства 1 л «Лимонада» требуется 0,02 ч работы оборудования, а для производства 1 л «Тоника» - 0,04 ч. Расход специального ингредиента составляет 0,01 кг и 0,04 кг на 1 л «Лимонада» и «Тоника» соответственно. Ежедневно в распоряжении фирмы имеется 24 ч времени работы оборудования и 16 кг специального ингредиента. Прибыль фирмы составляет 0,10 ден. ед. за 1 л «Лимонада» и 0,30 ден. ед. за 1 л «Тоника». Сколько продукции каждого вида следует производить ежедневно, если цель фирмы состоит в максимизации ежедневной прибыли?

    Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к  ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему?

    Решение:

    Обозначим через x₁ и x₂ количество напитка «Лимонад» и «Тоник» соответственно (в литрах). Составим математическую модель задачи. 

max f (

) = 0,10x₁ + 0,30x₂ 

при условии  выполнения ограничений:

x₁ ≥0, x₂ ≥0. 

Решаем задачу графическим методом:

 

Областью  допустимых решений системы является многоугольник ОАВС.

    Построим  линию уровня 0,10 x₁  + 0,30 x₂ и вектор .

    При перемещении линии уровня в направлении  вектора  значении функции возрастает.  Наибольшее значение достигается в точке B.

B =    (× 100) 

B =     

 

 

- 4 x₂ = - 800

x₂ = 200

x₁ + 4·200 = 1600

x₁ = 800 

B (800; 200)

 

Проверим правильность расчетов с помощью средств MS Excel: 

1. Ввели зависимость  для целевой функции и ограничений: 

 

3. Из меню  Сервис выберали Поиск решения.

Назначили целевую  функцию, ввели ограничения и  на вкладке Параметры установили Линейная модель и Неотрицательные  значения. 

 

4. Щелкнули  Выполнить. 

 

    Значит, требуется изготовить 800 л. напитка «Лимонад» и 200 л. напитка «Тоник», что обеспечит получение прибыли 140 ден. ед.

    При решении задачи на min линию уровня следует сдвигать в противоположную сторону от вектора .  Наименьшее значение будет достигнуто в точке О (0;0). Значит x₁ = 0, x₂ = 0, . Это значит, что не надо ничего выпускать и прибыль будет равна 0.

 

     Задача 2.

    Использовать  аппарат теории двойственности для экономико-математического  анализа оптимального плана задачи линейного  программирования.

    Для изготовления трех видов продукции  используют четыре вида ресурсов. Запасы ресурсов, нормы расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

    Требуется:

    1. Сформулировать прямую оптимизационную  задачу на максимум выручки  от реализации готовой продукции,  получить оптимальный план выпуска продукции.

    2. Сформулировать двойственную задачу  и найти ее оптимальный план  с помощью теорем двойственности.

    3. Пояснить нулевые значения переменных  в оптимальном плане.

    4. На основе свойств двойственных  оценок и теорем двойственности:

• проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
• определить, как изменяется выручка и план выпуска продукции при увеличении запаса ресурса первого вида на 24 единицы;
• оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 11 единиц, если нормы затрат ресурсов 8, 4, 20 и 6 единиц.

Решение:

    1) Обозначим  - план выпуска продукции I, II, III вида соответственно.

    Так как требуется получить максимум выручки от реализации готовой продукции, то математическая модель будет иметь вид:

max f (

) = 6x₁ + 10x₂ + 9x₃

при условии  выполнения ряда ограничений: 

x₁ ≥ 0, x₂ ≥, 0 x₃ ≥ 0 

    Решаем  задачу симплексным методом.

    Вводим  дополнительные неотрицательные переменные x₄, x₅, x₆, x₇ и сводим систему ограничений-неравенств к системе уравнений, т.е. приводим задачу к каноническому виду: 

max f (

) = 6x₁ + 10x₂ + 9x₃

x_j ≥ 0, j =

 
 

Решим задачу с использованием симплекс-таблицы: 
 

 

    Все оценки свободных переменных положительны, следовательно, найденное опорное  решение является оптимальным.

 

max f (

) = 6·520 + 10·0 + 9·110 = 4110

Решим данную задачу используя средства MS Excel:

   1. Ввели  исходные данные и указали адреса ячеек, в которые будет помещен результат.

 

2. Ввели зависимость  для целевой функции и ограничений:

 

3. Из меню  Сервис выберали Поиск решения.

Назначили целевую  функцию, ввели ограничения и  на вкладке Параметры установили Линейная модель и Неотрицательные значения. 

 

4. Щелкнули  Выполнить. 

 

    Основные  переменные показывают, что продукции  I вида надо выпускать 520 ед., продукции III вида надо выпускать 110 ед, а продукцию II вида выпускать нецелесообразно.

    Проверим  как удовлетворяется система функциональных ограничений оптимальным планом x₁ = 520, x₂ = 0, x₃ = 110

                   3·520 + 6·0 + 4·110 = 2000

                   20·520 + 15·0 + 20·110 = 10400 + 2200 = 16600 < 15000  (*)

                   10·520 + 15·0 + 20·110 = 5200 + 2200 = 7400

                   0·520 + 3·0 + 5·110 = 550 < 1500

Значение  целевой функции при этом плане  f ( ) = 4110. 
 

2) Двойственная  задача имеет вид: 

min f(

) = 2000y₁ + 15000y₂ + 7400y₃ +1500y₄ 

y₁ ≥ 0, y₂ ≥ 0, y₃ ≥ 0, y₄ ≥ 0 

    Для нахождения  значений y₁, y₂, y₃, y₄ используем вторую теорему двойственности. Так как второе и четвертое ограничение в (*) выполняются как строгие равенства, то y₂ = 0, y₄ = 0. Так как x₁ > 0 и x₃ > 0, то

 

Решаем  систему уравнений: