Типовая задача оптимизации

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 10 Ноября 2010 в 20:43, Не определен

Описание работы

1. Задача 1
2. Задача 2
3. Задача 3
4. Задача 4
Список использованной литературы

Файлы: 1 файл

Контрольная работа вариант 10.doc

— 837.00 Кб (Скачать файл)

Федеральное агентство по образованию

Филиал

Государственное образовательное учреждение  высшего  профессионального образования

Всероссийский заочный финансово-экономический  институт

в городе Тула 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 

по дисциплине: «Экономико-математические методы и прикладные модели» 

Вариант 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Тула 2009г.

 

     Содержание:

    1. Задача 1……………………………………………………….………..3

    2. Задача 2………………………………………………………………...7

    3. Задача 3………………………………………………………………..13

    4. Задача 4………………………………………………………………..17

    Список  использованной литературы…………………………………..30

 

     Задача 1.

    Решить  графическим методом  типовую задачу оптимизации.

    Фирма производит два широко популярных безалкогольных напитка – «Лимонад» и «Тоник». Фирма может продать всю продукцию, которая будет произведена. Однако объем производства ограничен количеством основного ингредиента и производственной мощностью имеющегося оборудования. Для производства 1 л «Лимонада» требуется 0,02 ч работы оборудования, а для производства 1 л «Тоника» - 0,04 ч. Расход специального ингредиента составляет 0,01 кг и 0,04 кг на 1 л «Лимонада» и «Тоника» соответственно. Ежедневно в распоряжении фирмы имеется 24 ч времени работы оборудования и 16 кг специального ингредиента. Прибыль фирмы составляет 0,10 ден. ед. за 1 л «Лимонада» и 0,30 ден. ед. за 1 л «Тоника». Сколько продукции каждого вида следует производить ежедневно, если цель фирмы состоит в максимизации ежедневной прибыли?

    Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к  ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему?

    Решение:

    Обозначим через x1 и x2 количество напитка «Лимонад» и «Тоник» соответственно (в литрах). Составим математическую модель задачи. 

max f (

) = 0,10x1 + 0,30x2 

при условии  выполнения ограничений:

x1 ≥0, x2 ≥0. 

Решаем задачу графическим методом:

 

Областью  допустимых решений системы является многоугольник ОАВС.

    Построим  линию уровня 0,10 x1  + 0,30 x2 и вектор .

    При перемещении линии уровня в направлении  вектора  значении функции возрастает.  Наибольшее значение достигается в точке B.

B =    (× 100) 

B =     

 

 

- 4 x2 = - 800

x2 = 200

x1 + 4·200 = 1600

x1 = 800 

B (800; 200)

 

Проверим правильность расчетов с помощью средств MS Excel: 

1. Ввели зависимость  для целевой функции и ограничений: 

 

3. Из меню  Сервис выберали Поиск решения.

Назначили целевую  функцию, ввели ограничения и  на вкладке Параметры установили Линейная модель и Неотрицательные  значения. 

 

4. Щелкнули  Выполнить. 

 

    Значит, требуется изготовить 800 л. напитка «Лимонад» и 200 л. напитка «Тоник», что обеспечит получение прибыли 140 ден. ед.

    При решении задачи на min линию уровня следует сдвигать в противоположную сторону от вектора .  Наименьшее значение будет достигнуто в точке О (0;0). Значит x1 = 0, x2 = 0, . Это значит, что не надо ничего выпускать и прибыль будет равна 0.

 

     Задача 2.

    Использовать  аппарат теории двойственности для экономико-математического  анализа оптимального плана задачи линейного  программирования.

    Для изготовления трех видов продукции  используют четыре вида ресурсов. Запасы ресурсов, нормы расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

Вид ресурсов Нормы расхода  ресурсов на единицу продукции Запасы  ресурсов
I вид II вид III вид
труд 3 6 4 2000
сырье 1 20 15 20 15000
сырье 2 10 15 20 7400
оборудование 0 3 5 1500
цена  изделия 6 10 9  

    Требуется:

    1. Сформулировать прямую оптимизационную  задачу на максимум выручки  от реализации готовой продукции,  получить оптимальный план выпуска продукции.

    2. Сформулировать двойственную задачу  и найти ее оптимальный план  с помощью теорем двойственности.

    3. Пояснить нулевые значения переменных  в оптимальном плане.

    4. На основе свойств двойственных  оценок и теорем двойственности:

    • проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
    • определить, как изменяется выручка и план выпуска продукции при увеличении запаса ресурса первого вида на 24 единицы;
    • оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 11 единиц, если нормы затрат ресурсов 8, 4, 20 и 6 единиц.

Решение:

    1) Обозначим  - план выпуска продукции I, II, III вида соответственно.

    Так как требуется получить максимум выручки от реализации готовой продукции, то математическая модель будет иметь вид:

max f (

) = 6x1 + 10x2 + 9x3

при условии  выполнения ряда ограничений: 

x1 ≥ 0, x2 ≥, 0 x3 ≥ 0 

    Решаем  задачу симплексным методом.

    Вводим  дополнительные неотрицательные переменные x4, x5, x6, x7 и сводим систему ограничений-неравенств к системе уравнений, т.е. приводим задачу к каноническому виду: 

max f (

) = 6x1 + 10x2 + 9x3

xj ≥ 0, j =

 
 

Решим задачу с использованием симплекс-таблицы: 
 

Сj Базисные переменные Свободные члены x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
0 x4 2000 3 6 4 1 0 0 0
0 x5 15000 20 15 20 0 1 0 0
0 x6 7400 10 15 20 0 0 1 0
0 x7 1500 0 3 5 0 0 0 1
  f (
)
0 -6 -10 -9 0 0 0 0
9 x3 300 0
1 0 0 0
0 x4 800 3
0 1 0 0 -
0 x5 9000 20 3 0 0 1 0 -4
0 x6 1400 10 3 0 0 0 1 -4
  f (
)
2700 -6 -
0 0 0 0
6 x1 140 1
0 0 0
-
9 x3 300 0
1 0 0 0
0 x4 380 0
0 1 0 -
0 x5 6200 0 -3 0 0 1 -2 4
  f (
)
3540 0 -
0 0 0
-
6 x1 520 1
0 1 0 -
0
9 x3 110 0 -2 1 -
0
0
0 x5 2400 0 -55 0 -10 1 1 0
0 x7 950 0 13 0
0 -
1
  f (
)
4110 0 5 0
0
0
 

    Все оценки свободных переменных положительны, следовательно, найденное опорное  решение является оптимальным.

 

max f (

) = 6·520 + 10·0 + 9·110 = 4110

Решим данную задачу используя средства MS Excel:

   1. Ввели  исходные данные и указали адреса ячеек, в которые будет помещен результат.

 

2. Ввели зависимость  для целевой функции и ограничений:

 

3. Из меню  Сервис выберали Поиск решения.

Назначили целевую  функцию, ввели ограничения и  на вкладке Параметры установили Линейная модель и Неотрицательные значения. 

 

4. Щелкнули  Выполнить. 

 

    Основные  переменные показывают, что продукции  I вида надо выпускать 520 ед., продукции III вида надо выпускать 110 ед, а продукцию II вида выпускать нецелесообразно.

    Проверим  как удовлетворяется система функциональных ограничений оптимальным планом x1 = 520, x2 = 0, x3 = 110

                   3·520 + 6·0 + 4·110 = 2000

                   20·520 + 15·0 + 20·110 = 10400 + 2200 = 16600 < 15000  (*)

                   10·520 + 15·0 + 20·110 = 5200 + 2200 = 7400

                   0·520 + 3·0 + 5·110 = 550 < 1500

Значение  целевой функции при этом плане  f ( ) = 4110. 
 

2) Двойственная  задача имеет вид: 

min f(

) = 2000y1 + 15000y2 + 7400y3 +1500y4 

y1 ≥ 0, y2 ≥ 0, y3 ≥ 0, y4 ≥ 0 

    Для нахождения  значений y1, y2, y3, y4 используем вторую теорему двойственности. Так как второе и четвертое ограничение в (*) выполняются как строгие равенства, то y2 = 0, y4 = 0. Так как x1 > 0 и x3 > 0, то

 

Решаем  систему уравнений:

Информация о работе Типовая задача оптимизации