Типовая задача оптимизации

, , , .

Значение  целевой функции равно:

f( ) = 2000∙ + 7400∙ = 3000+1100 = 4110.

    3) При увеличении объема ресурса  “труд” на 1 ед. общая стоимости  выпускаемой продукции увеличилась  бы  на  у.е., а при увеличении “сырье 2” на   1 ед. целевая функция увеличится на у.е.

А ресурсы  “сырье 1” и “оборудование” являются недефицитными, поскольку y₂ = 0, y₄ = 0. Более дефицитным является ресурс “труд” (y₁ = ), чем “сырье 2” (y₁ = ).

Относительная заменяемость ресурсов определяется соотношением:

, значит 1 ед. ресурса “труд”  можно компенсировать 10 ед. ресурса  “сырье 2” 

    4) При увеличение запаса ресурса  “сырье 1” на 24 ед. имеем:

    - ресурс “сырье 1”  является  недефицитным ( ), значит увеличение запасов этого ресурса не приведет к изменению оптимального плана и значения целевой функции.

f (

) = 4110 

5) a₁ = 8, a₂ = 4, a₃ = 20, a₄ = 6, c = 11

 Определим  целесообразность включения в  план изделия IV вида:

 

> 0, значит данное изделие  выпускать нецелесообразно.

 

     Задача 3.

    Используя балансовый метод  планирования и модель Леонтьева, построить  баланс производства и распределения  продукции предприятий

      Промышленная продукция предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида; второе предприятие – продукции второго вида; третье предприятие – продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов вектора конечной продукции Y.

    Требуется:

    1. Проверить продуктивность технологической  матрицы A = ( ) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).

    2. Построить баланс (заполнить таблицу)  производства и распределения  продукции предприятий холдинга. 

 

Решение: 

1. Оценим продуктивность  матрицы 

A =

 
 

Оценку  произведем по первому признаку: матрица (E – A) неотрицательно обратима, значит, есть обратная матрица.

В = E – А = – =

    Используя формулу  , находим обратную матрицу с помощью MS Excel: 

      
 
 
 
 
 

Получим:

=

Обратная матрица  существует и все ее элементы неотрицательны, значит матрица A – продуктивна.

Найдем  вектор Х величин валовой продукции  по отраслям используя формулу Х = B×Y, где

    В – матрица коэффициентов полных материальных затрат;

    Y – вектор столбец конечной продукции.

 

    В результате получили:

      

. 
 

Таким образом, валовая продукция предприятия 

x₁ = 314,52, x₂ = 416,90, x₃ = 406,90.

Распределение продукции между предприятиями:

x_ij = a_ij·x_ij

x₁₁ = 0,1·314,52 = 31,45

x₂₁ = 0,1·314,52 = 31,45

x₃₁ = 0,1·314,52 = 31,45 

x₁₂ = 0,1·416,90 = 41,69

x₂₂ = 0,2·416,90 = 83,38

x₃₂ = 0,2·416,90 = 83,38 

x₁₃ = 0,2·406,90 = 81,38

x₂₃ = 0,3·406,90 = 122,07

x₂₃ = 0,3·406,90 = 122,07 
 

 
 
 
 
 
 

 

     Задача 4.

    Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного  временного ряда

    В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен ниже в таблице

    Требуется:

    1. Проверить наличие аномальных  наблюдений.

    2. Построить линейную модель  , параметры которой оценить МНК ( – расчетные, смоделированные значения временного ряда).

    3. Построить адаптивную модель  Брауна  с параметром сглаживания α = 0.4 и α = 0,7; выбрать лучшее значение параметра сглаживания.

    4. Оценить  адекватность построенных моделей, используя свойства  независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону  распределения (при использовании - критерия взять табулированные границы 2,7 – 3,7).

    5. Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

    6. По двум построенным моделям  осуществить прогноз спроса на  следующие две недели (доверительный  интервал прогноза рассчитать  при доверительной вероятности  p = 70%).

    7. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Вычисления  провести с одним знаком в дробной  части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах. 

Решение:

1) Используя  метод Ирвина проверим наличие аномальных наблюдений: 

, где

- среднеквадратическое отклонение

 

Выполним  все вычисления, используя MS Excel:

 

В результате получим:

 
 

Так как по всем уровням t значение не превосходит табличное 1,6, то аномальных наблюдений нет.

2) Построим линейную  модель вида Y(t) = a₀+a₁t по методу наименьших квадратов. Коэффициенты а₀ и а₁ линейной модели найдем по следующим формулам:

;      

    Построим  следующую таблицу, используя MS Excel:

 
 

Получим таблицу:

 
 
 
 

    Уравнение регрессии зависимости Y_t  от t_t имеет вид: Y(t) = 31,3 + 2,4t 

    Для получения коэффициентов регрессии  можно использовать настройку MS Excel «Анализ данных». Для этого занесем исходные данные в таблицу: 

 

Воспользуемся пунктом Сервис → Анализ данных → Регрессия: 

 

 
Результат регрессионного анализа: 
 
 

 
 

    Средствами  MS Excel получены коэффициенты уравнения регрессии а₀=31,3, а₁=2,4, стандартные ошибки коэффициентов уравнения регрессии и статистика, используемая для проверки значимости коэффициентов уравнения регрессии.

    Уравнение регрессии имеет вид: Y(t) = 31,3+ 2,4t 

 
 

    3) Для построения адаптивной модели  Брауна воспользуемся схемой  адаптивного прогнозирования.

Начальные оценки параметров получим по первым пяти точкам с помощью метода наименьших квадратов.

 
 
 

;     

;   

а)        

_;   

 

 
 

б)        

_;   

 

    Для того чтобы выбрать лучшее значение α, найдем суммы квадратов отклонений для каждого значения  α.

    При α = 0,4

    При α = 0,7

Т.к. 38,67 < 65,82, то значение α= 0,4 лучше.

    Строим  модели: 

 

    4) Используя свойство случайности  остаточной компоненты (по критерию  пиков – поворотных точек)  оценим адекватность моделей. 

Количество  поворотных точек сравнивается с  величиной в квадратных скобках: