Пример 2. (Орлянка). Игрок 1 выкладывает монету на стол,  а игрок 2,  не видя монеты,  угадывает,  какой стороной (т.е. “орлом” (О)  или “решкой” (Р)) вверх она положена. В случае угадывания он получает от игрока 1  одну единицу выигрыша,  в противном случае уплачивает ему единицу. Данная игра является матричной.   Матрица выигрышей представлена в таблице 3.

 

Таблица 3

 

В этой игровой задаче нет  доминируемых стратегий, поэтому её нельзя проанализировать  алгоритмом удаления строго доминируемых стратегий.  В этой задаче нет и ситуации равновесия. Этот пример выявляет негативное свойство определения равновесия по Нэшу. Существуют игры, в которых равновесия нет².

Существование равновесия по Нэшу

в бескоалиционной игре

Изучение бескоалиционной  игры и равновесия по Нэшу, как её решения,  с неизбежностью выдвигает проблему нахождения условий   существования такого решения. Если в игре ни одна ситуация не является равновесием по Нэшу, то выходом является расширение условия задачи  (рассмотреть её как подмножество более широкой задачи), где решение уже будет. В этом и состоит суть смешанного расширения бескоалиционной игры. Использование при изучении игр такого расширения вызвано необходимостью существования равновесия по Нэшу. В новых условиях может быть найдено равновесие по Нэшу,  но только в смешанных стратегиях.

Доказательство существования  равновесия в бескоалиционной игре основано на определении специального многозначного отображения множества ситуаций в себя. Это отображение имеет свойства,   гарантирующие существование у него неподвижной точки.  Эта неподвижная точка и является равновесием по Нэшу.   В этом плане доказательство схоже с методом решения биматричной игры по нахождению неподвижной точки и определения по ней равновесия.

Теорема³.  Пусть в бескоалиционной игре конечное число игроков n.  Для каждого игрока множество его стратегий -  компактное множество в евклидовом пространстве . Функция выигрышей непрерывна на множестве ситуаций  X.   При любом наборе стратегий

всех игроков, кроме ,   функция выигрышей вогнута на пространстве стратегий . Тогда в бескоалиционной игре существует ситуация равновесия по Нэшу.

Доказательство основано на применении теоремы о неподвижной точке.  Существует несколько таких теорем.  Приведём схему доказательства, основанную на теореме Какутани.

Теорема  (Какутани)⁴.  Пусть X   –   непустое,   компактное, выпуклое подмножество евклидового пространства . Многозначное отображение имеет значениями компактные, выпуклые множества и является полунепрерывным сверху по включению.  Тогда отображение имеет неподвижную точку, т.е.  , что .

Рассмотрим бескоалиционную игру и ситуацию Для каждого обозначим                                                  (4)

Так как функция  вогнута на и неравенства в (4) нестрогие, то множество стратегий игрока является замкнутыми выпуклым подмножеством в . Тогда и декартово произведение

будет замкнутым и выпуклым в пространстве всех ситуаций X.

Рассмотрим многозначное отображение . Оно является полунепрерывным сверху по включению ввиду того, что в неравенствах из (4) стоят непрерывные функции от ситуации ,   а при переходе к пределу неравенство сохраняется. Тогда выполнены все условия теоремы Какутани и,  значит, существует неподвижная точка , что . Для этой ситуации перепишем неравенство из (4). Получаем

Выполнено условие (1)  определения  и,  значит,  ситуация является равновесием по Нэшу в бескоалиционной игре . Теорема доказана.

Для отыскания равновесий в смешанных стратегиях можно  воспользоваться следующим их свойством.

Назовем носителем смешанной стратегии supp(q) множество чистых стратегий, которые используются в ней с положительной вероятностью.

Утверждение 3. Ситуация является равновесием Нэша в смешанных стратегиях тогда и только тогда, когда выполнено:

• Для любой чистой стратегии ;
• Для любой чистой стратегии .

Данные свойства говорят  о том, что в равновесии игрокам безразлично, какую чистую стратегию, входящую в носитель смешанной оптимальной, использовать. Конкретные же вероятности их использования будут определяться только из условий безразличия остальных игроков. В то же время использование любой стратегии, не входящей в , приводит к тому, что ожидаемый выигрыш i-ого игрока не увеличится.

Доказательство. Из того, что  ситуация является равновесием Нэша, следует, что для любого выполнено неравенство . Таким образом, остается доказать, что для чистых стратегий данное неравенство не может быть выполнено строго.

Допустим противное, то есть предположим, что существует , такое, что . Так как

 и 

то найдется хотя бы одно такое, что , что противоречит тому, что ситуация является равновесием Нэша.

Доказанный результат  позволяет найти вероятности  использования стратегий игроками в равновесии, если известны носители входящих в него смешанных стратегий.⁵

 

Задача

Определить равновесие Нэша во вполне смешанных стратегиях в биматричной игре:

Решение:

Вполне смешанной называют смешанную стратегию, носитель которой  совпадает со множеством всех чистых стратегий игрока. Следовательно, во вполне смешанном равновесии для любой чистой стратегии игрока i должны быть выполнены следующие условия-равенства

Обозначим через  ожидаемые выигрыши первого и второго игроков в равновесии. Тогда при использовании вторым игроком своей равновесной смешанной стратегии q, выигрыш на любой чистой стратегии первого игрока составит:

Для стратегии A1:                

Для стратегии A2:                  

Для стратегии А3:                   

Составим и решим систему  уравнений, учитывая, что  , получим:

Решение этой системы в  виде вектора  и выигрыша представляет собой равновесную стратегию второго игрока и ожидаемый выигрыш первого.

Аналогично, рассматривая второго  игрока ,получим следующую систему:

Решение данной системы  , представляет собой равновесную стратегию первого игрока и ожидаемый выигрыш второго.

 

Заключение

В работе была представлена теория равновесия по Нэшу в бескоалиционных играх,  а конкретнее равновесие по Нэшу в смешанных стратегиях, а также показано его применение на практике. Так же было приведено несколько известных примеров по этой теории. Применение равновесия по Нэшу на практике показало, делает возможным нахождение ситуации при которой ни одному из игроков не выгодно изменять свою стратегию, если другой игрок при этом продолжает придерживаться выбранной стратегии.