Оглавление

Введение 3

Ситуация  равновесия по Нэшу в бескоалиционных  играх 4

Существование равновесия по Нэшу 8

в бескоалиционной  игре 8

Задача 12

Заключение 14

Список литературы 15

Собственные мысли 16

 

 

Введение

Сегодня теория некооперативных  игр Нэша признана одним из наиболее выдающихся интеллектуальных достижений XX в. Определение равновесия по Нэшу стало важнейшим поворотом в экономической теории и социальных науках, сравнимым с открытием двойной спирали ДНК в биологии.

Концепция равновесия Нэша (РН) не совсем точно придумана Нэшем; Антуан Огюст Курно показал, как найти то, что мы называем равновесием Нэша, в игре Курно. Соответственно, некоторые авторы называют его равновесием Нэша-Курно. Однако Нэш первым показал в своей диссертации Некооперативные игры (1950), что равновесия Нэша должны существовать для всех конечных игр с любым числом игроков. До Нэша это было доказано только для игр с 2 участниками с нулевой суммой Джоном фон Нейманом и Оскаром Моргенштерном (1947).

Целью данной работы является изучение теории равновесия по Нэшу в бескоалиционных играх и его практическое применение. Для достижения цели были поставлены следующие задачи: ознакомление с равновесием Нэша, его изучение и применение на практике, а также решение практической задачи.

 

 

Ситуация  равновесия по Нэшу в бескоалиционных играх

Бескоалиционная игра - в теории управления модель конфликтной ситуации, каждый участник которой принимает решения, не вступая в сговор с другими игроками.

Равновесие Нэша (англ. Nash equilibrium) названо в честь Джона Форбса Нэша — в теории игр называется тип решений игры двух и более игроков, в котором ни один участник не может увеличить выигрыш, изменив своё решение в одностороннем порядке, когда другие участники не меняют решения. Такая совокупность стратегий выбранных участниками и их выигрыши называются равновесием Нэша¹.

Рассмотрим пример.

Пример 1. Проанализировать рациональное поведение игроков в биматричной игре, представленной в таблице 1.

Таблица 1

 

В этой игре представлены два  игрока:  N = {1,2}. Множества их стратегий , . В ячейках таблицы указаны выигрыши первого и второго игроков: левое число в скобках - это выигрыш первого игрока,  в правое – второго игрока.

Предположим, игроки каким-то образом выбрали единственную ситуацию в качестве решения.  Для того,   чтобы игроки не уклонились от своего выбора эта ситуация должна быть стратегически устойчивой,   т.е.   каждый отдельный игрок, уклоняясь от этого выбора не сможет увеличить свой выигрыш. В такой ситуации действие каждого отдельного игрока является наилучшей реакцией на выбор остальных. Этот подход к решению формализуется в концепции равновесия.

Определение 1. Ситуация в бескоалиционной игре в нормальной форме называется равновесием по Нэшу,  если выполнены неравенства

                                                                                       (1)                   

где ситуация

Замечание 1. Неравенство (1)  означает,   что стратегия игрока входит в равновесную по Нэшу ситуацию тогда и только тогда,  когда                 (2)                                   

Выбор равновесия по Нэшу мотивирован тем,  что если в качестве решения будут предложено не равновесное решение, то найдётся игрок,  который,  уклонившись в одностороннем порядке от предложенной ситуации,  получит больший выигрыш.  Таким образом,   рациональный игрок будет придерживаться только равновесной ситуации.

В игре примера  1   ситуация является равновесием по Нэшу.  Действительно, и  

Другой такой ситуации в предложенной игре нет. Равновесной по Нэшу ситуацией является пара . В этом случае игроки получают выигрыши .

Утверждение 1. Пусть в бескоалиционной игр после применения алгоритма удаления строго доминируемых стратегий осталась одна ситуация , тогда эта ситуация является единственным равновесием по Нэшу в игре.

Утверждение 2. Пусть в бескоалиционной игре  ситуация является равновесием по Нэшу,  тогда каждая входящая в эту ситуацию стратегия не может быть удалена алгоритмом удаления строго доминируемых стратегий. Приведённые утверждения показывают,  что равновесие по Нэшу является    уточнением решения,   получаемого после алгоритма удаления строго доминируемых стратегий. Пример 1 устанавливает,  что это строгое уточнение. В этом примере шесть ситуаций  (т.е.  все ситуации исходной игры)  пережили процедуру удаления строго доминируемых стратегий.  Алгоритм удаления не может предсказать поведение игроков в конфликте.  В тоже время равновесие по Нэшу выделяет одну ситуацию,   т.е. предсказывает действия сторон.

Рассмотрим пример 2 – семейный спор. Эта биматричная игра представлена матрицами выигрыша первого и второго игрока

Здесь Он и Она независимо решают, куда пойти вечером –  на балет (Б) или на футбол (Ф). Если они вместе пойдут на  футбол, то Он получит большее удовольствие, чем Она; если они вместе пойдут на балет, то –наоборот. Наконец, если они окажутся в разных местах, то они не получат никакого удовольствия.  Проанализировать проблему наилучшего проведения вечера семьёй. Положим, что совместный поход на футбол приносит Ему 2 единицы удовольствия, а Её – только 1 единицу. Совместный поход на балет наоборот приносит Ему и Ей удовольствие в 1 и 2 единицы соответственно.   Раздельное проведение вечера доставляет  0 удовольствия обоим. В этом случае проблема проведения вечера с наибольшей пользой может быть смоделирована биматричной игрой,  представленной в таблице 2.

В этой задаче две ситуации удовлетворяют определению 1 равновесия по Нэшу. Это ситуации . Особенность состоит в том, что каждая из ситуаций даёт больший выигрыш одному из игроков.  В тоже время игра симметрична относительно них.   В такой задаче в силу симметрии следует ожидать решения с равными выигрышами.

 

Таблица 2

 

Далее будет рассмотрено  расширение понятия бескоалиционной игра,  и в этом расширении будет положительно решена проблема,  связанная с симметрией. Антагонистическая игра (где X и Y – множества стратегий первого и второго игроков функция выигрыша первого игрока) и матричная игра являются специальным видом бескоалиционной игры.  К ним применимо определение равновесие по Нэшу. В таких играх равновесная по Нэшу ситуации имеет специальное название – седловая точка.

Определение 2. Ситуация в антагонистической игре называется седловой точкой, если     (3)

В матричной игре ситуация соответствующая строке и столбцу матрицы выигрышей является седловой точкой тогда и только тогда, соответствующий выигрыш является наибольшим в столбце и наименьшим в строке этой матрицы.  В игре примера 1 таким свойством обладает ситуация  .