Будем считать, что очередь не ограничена и требования обслуживаются в  порядке поступления.

     Для обслуживания примем предположения, что  все n каналов одинаковы и для каждого из них время обслуживания одного требования есть случайная величина Y, распределенная по показательному закону, т.е. ее интегральная функция имеет вид:

     F(t)=1-ℓ^-μt, t≥0. 

     Число μ (треб./ед. времени) называется интенсивностью обслуживания, и она показывает, сколько в среднем требований обслуживается одним каналом в единицу времени.

     Обозначим (α – параметр загрузки СМО) и предположим, что выполняется условие стационарности 

                                      α < n или λ <μ·n.                                         (1) 

     Условие (1) означает, что интенсивность входящего  потока меньше, чем суммарная интенсивность  обслуживания.

     При сформулированных предположениях можно  рассчитать некоторые экономические  показатели работы СМО, такие, например, как Р_к – доля времени работы К – каналов, К = 0,1,…,n; L – средняя длина очереди и другие. Формулы для вычисления р₀,…,р_n, L в общем случае довольно громоздки, поэтому приведем их для случая n = 2:

                   

     1.2. В магазине самообслуживания работают две кассы с интенсивностью     μ = (δ+300)/100 (треб./мин.). Входящий поток требований имеет интенсивность λ = (δ+400)/100 (треб./мин.). Рассчитайте долю времени простоя касс и среднюю длину очереди. Если интенсивность входящего потока станет равной                  λ = (700-δ)/10 (треб./мин.), то будет ли выполнено условие стационарности? Если будет, то во сколько раз увеличится средняя длина очереди?

     Решение:

     Т.к. δ = 542, то μ = 8,23 (треб./мин.), а первоначальное значение λ равно 9,23 (треб./мин.).

             () 

      (треб.)

     Если  интенсивность λ станет равной (700-542)/10 = 17,7 (треб./мин.), то в силу неравенства 17,7 > 16,46 условие стационарности СМО не выполнено(λ < μ·n), следовательно среднюю длину очереди в данном случае рассчитать нельзя.

     Итак, при интенсивности обслуживания μ=8,23 (треб./мин.) и интенсивности  входа λ=9,23 (треб./мин.) доля времени  простоя касс составляет 28,1% времени, а средняя длина очереди равна 0,517 (треб.).

 

     Задание 5

     Модели  управление запасами

 

     1.1. Сформулируйте задачу оптимального управления запасами.

     Задача  оптимального управления запасами будет  формулироваться следующим образом: определить объем q заказываемой партии товара, при котором достигается минимум затрат на складские операции в единицу времени в предположении, что темп поступления заказанного товара превышает норму спроса на него. 

     1.2. Дайте экономическую интерпретацию предельной арендной платы.

     Экономически  λ интерпретируется как предельная (максимальная) арендная плата за использование  дополнительных складских емкостей. Если фактическая арендная плата  α меньше либо равна предельной λ , т.е. α≤λ, то аренда выгодна и объем заказываемой партии вычисляется по формуле . Если же α > λ, то аренда невыгодна и тогда объем заказа надо уменьшать, и он рассчитывается в этом случае по формуле , где

     С_x – затраты на хранение единицы товара в единицу времени;

     С_з – затраты на заказ партии товара;

     r – норма спроса;

     k – Темп поступления заказанного товара;

     Q – Емкость склада;

     u – Количество товара, размещаемого в единице емкости склада. 

     1.3. Сделайте вывод о целесообразности аренды дополнительных складских емкостей или о необходимости сокращения объема заказываемой партии товара с учетом имеющихся складских емкостей при сравнении фактической α и предельной λ арендной платы за хранение единицы товара в единицу времени.

                 

     Решение:

     При δ=542,             α=0,039         λ=0,035

     α > λ

     Вывод: фактическая арендная плата больше предельной арендной платы. Следовательно, аренда дополнительных складских емкостей невыгодна, и тогда объем заказываемой партии надо сократить до таких пределов, чтобы возникший товарный запас  можно было разместить в имеющихся  складских емкостях.

 

     Задание 6

     Использование метода теории игр  в торговле

 

1. Объясните смысл элементов  платежной таблицы  и способы выбора стратегий с позиций  крайнего пессимизма, крайнего оптимизма  и оптимизма-пессимизма.

 

     Рассмотрим  проблему уценки неходового товара с  целью получения возможно большей  выручки от реализации. Предположим, что эластичность спроса в зависимости  от цены неизвестна, т.е. неясно, как  отреагирует рынок на то или иное снижение цены.

     Иными словами, нужно принять решение  в условиях неопределенности. В таком  случае можно использовать методы теории игр. Обозначим А₁,А₂,…,А_m – стратегии снижения цены на товар на α₁%, α₂%,…, α_m% соответственно. Возьмем достаточно подробный перечень возможных значений эластичности ε₁, ε₂,…, ε_n. Если выбрать определенную стратегию А_i и знать эластичность товара ε_j, то, используя еще некоторые величины, можно подсчитать выручку от реализации товара a_ij. Проделав это для всех А_i и для всех ε_j, получим платежную таблицу: 

 

     В таблице представлен подробный  перечень различных ситуаций. Для  принятия решения можно использовать следующие способы.

     Подход  с позиции крайнего пессимизма

     Он  заключается в том, чтобы считать, что при выборе любой стратегии  A_i эластичность товара будет самая неблагоприятная и выручка α_i будет минимально возможной, т.е.

     α_i = min (α_i1, α_i2,…, α_im).

     Вычислив  все величины α_i (α_i1, α_i2,…, α_im), нужно взять наибольшую из них α: 

     α = max(α_i).

     Та  стратегия, которая соответствует  числу α, и есть стратегия крайнего пессимизма. Иначе говоря, такая  стратегия есть наилучший выбор  из плохих ситуаций, и эта стратегия  гарантирует, что, как бы не сложилась  действительная ситуация, выручка будет  не меньше, чем α. 

     Подход  с позиции крайнего оптимизма

     Он  заключается в том, чтобы считать  при выборе любой стратегии A_i эластичность будет наиболее благоприятной и выручка β_i наибольшая, т.е.

     β_i= max(β_i1, β_i2,…, β_im).

     Вычислив  все β_i, нужно взять наибольшую из них:

     β=max(β_i).

     Та  стратегия, которая соответствует  величине β, и есть искомая. 

     Подход  с позиции пессимизма- оптимизма

     Рассмотрим  величину Н:

     Н = max[(1-λ) α_i+λ β_i],

     где λ – числовой параметр, 0≤ λ  ≤1.

     Предполагается  выбирать стратегию, соответствующую  величину Н.

     При λ = 0: Н = max α_i = α, и этот подход превращается в подход с позиции крайнего пессимизма.

     При λ=1: Н = max β_i = β, и этот подход превращается в подход с позиции крайнего оптимизма.

     Вообще, величина Н при изменении λ  от 0 до 1 непрерывно изменяется от α  до β, и выбор некоторого промежуточного λ соответствует сочетанию пессимизма и оптимизма при выборе стратегии. Возьмем, например, λ=0,5 и вычислим

     γ_i= ,

     а затем выберем наибольшее из них

     γ=max(γ_i).

     Стратегию, на которой достигается величина γ, будем называть соответствующей  подходу с позиции пессимизма-оптимизма. 

     1.2. Выберите стратегии позиций крайнего пессимизма, крайнего оптимизма и оптимизма-пессимизма для следующей платежной таблицы. Укажите соответствующие выигрыши.

 

     Решение:

     Для числа δ=542 таблица приобретает вид:    

 

     Выберем по каждой строке таблицы минимальное  из чисел α_i, максимальное β_i, а затем вычислим их полусумму γ_i.