Для номера зачетной книжки Э-09-040 Тюм. число δ=542.

     Задание 1

     Производственные  функции

 

     1.1. Дайте понятие производственной функции и изокванты. Что означает взаимозаменяемость ресурсов?

     Пусть для производства некоторого продукта в количестве y единиц используются различные ресурсы:  х₁, х₂, …, х_n, выраженные в соответствующих им единицах. Если понята закономерность получения продукта у из ресурсов = (х₁, х₂, …, х_n), т.е. если в явном виде выражена зависимость у = f(), то такая функция f() называется производственной.

     Пусть зафиксировано некоторое число  у₀. Множество в n - мерном пространстве, определяемое равенством

       = {: f() = y₀},

     называется  изоквантой функции f() уровня y₀.

     Из  самого определения изокванты следует, что если , , то ресурсы и обеспечивают производство одного и того же количества продукта y₀, т.е. являются в этом смысле взаимозаменяемыми. Для организаторов производства знание изокванты позволяет недостаток одних ресурсов компенсировать увеличением других.

     1.2. Производственная функция для райпо имеет вид f(x₁,x₂)= 10 , где f – товарооборот, млн. руб.; x₁ – производственная площадь, тыс.кв. м; x₂ – численность работников, сотни чел. Рассмотрите изокванту уровня                     y₀ = и найдите на ней точку с координатами С₁ с координатами , , где = , и точку С₂ с координатами , , где = . Сделайте вывод о возможности замены ресурсов (, ) и (, ). Полученные результаты изобразите графически. 

     Решение:

     Число δ=542. Тогда уравнение изокванты

     10 =   = .

     Возводя обе части в квадрат и деля их на 100, получим:

       = 6,42.

     Найдем  координаты точки С₁. Так как = = 4,42 , то из уравнения изокванты находим = = 1,45. Аналогично находим координаты точки С₂. Так как = = 2,42 , то =  = 2,65.

     Итак, 147 работников райпо, используя 4,42 тыс. кв. метров производственной площади, обеспечат товарооборот ≈ 25.34 (млн. руб.), и такой же товарооборот могут обеспечить 223 работника, используя площадь 2,65 тыс. кв. метров. (рис.1) 
 
 
 
 
 
 
 

       
 
 
 
 
 
 
 

     Задание 2

     Функция покупательного спроса

     1.1. Дайте понятие малоэластичных, среднеэластичных и высокоэластичных товаров. Какие товары называются взаимозаменяемыми? 

     Обозначим = (у₁,у₂,…,у_n) – спрос на товары, выраженный в некоторых единицах, и = (р₁,р₂,…,р_n) – цены на эти товары, т.е. р_i  - цена на i-й товар; y_i – спрос на i-й товар. Пусть рассматривается некоторый потребитель, например типичный представитель определенной социальной группы, и если для него удается выразить через , т.е.

     =(),

     то  называется функцией спроса.

     Определим эластичность формулой

      = .

     Величина  является математической идеализацией процентного изменения спроса на i-й товар при увеличении на 1% цены на j-й товар.

     Эластичность  при i = j называется прямой, и она показывает, на сколько процентов изменится спрос на i-й товар при увеличении на 1% цены на этот же товар.

     Эластичность  при i ≠ j называется перекрестной, и она показывает влияние изменения цены одного товара на спрос другого.

     Классификация товаров на основе прямой и перекрестной эластичности сводится к следующему:

1. если | | < 1, то i-й товар называется малоэластичным;
2. если | | ≈ 1, то i-й товар называется среднеэластичным;
3. если | | > 1, то i-й товар называется высокоэластичным;
4. если увеличение цены на j-й товар приводит к увеличению спроса на i-й товар и наоборот, то эти товары называются взаимозаменяемыми. Типичный пример таких товаров: сливочное масло и маргарин.

 

     1.2. Произведите классификацию товаров по следующей таблице эластичностей:

 

     Решение:

     Число δ=542. Тогда таблица эластичностей принимает вид:

 

     Так как | ε₁₁ | = 0,68, то первый товар малоэластичный;

     так как | ε₂₂ | = 0,017 > 1, то второй товар высокоэластичный;

     так как | ε₃₃ | = 0,237> 1, то третий товар высокоэластичный.

     Поскольку ε₁₂  = 0,085 > 0 и ε₂₁ = 0,98 > 0, то 1-й и 2-й товары взаимозаменяемые.

     Поскольку ε₁₃ = 0,285 > 0 и ε₃₁ = 0,215 > 0, то 1-й и 3-й товары взаимозаменяемые.

     Поскольку ε₂₃ = -0,215 < 0 и ε₃₂ = -0,1,38 < 0, то 2-й и 3-й товары взаимодополняемые. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Задание 3

     Межотраслевой баланс

    1.1. Дайте определение коэффициентов прямых затрат. Где они могут быть использованы? 

     Пусть народное хозяйство представлено n отраслями сферы материального производства. Каждая из отраслей производит один агрегированный продукт. Валовой выпуск этих продуктов отраслями обозначим х₁, х₂, …, х_n. Вся продукция х_i отрасли i, i=1,2,…,n, делится на промежуточную Z_i  и конечную y_i. Промежуточную продукцию потребляют в процессе производства сами отрасли. Конечная продукция выходит из сферы материального производства и предназначается для непроизводственного потребления.

     На  основе отчетных данных о деятельности отраслей за определенный период можно  составить межотраслевой баланс. Обозначим х_ij – объем продукта i-й отрасли, используемый за отчетный период j-й отраслью. Если представить, как распределяется валовая продукция каждой отрасли по другим отраслям и в сфере потребления, то получится система уравнений.

              (1)

     Преобразуем систему уравнений:

          (2)

     Отношение называется коэффициентом прямых затрат и содержательно означает объем продукции i-й отрасли, который требуется передать j-й отрасли, чтобы последняя произвела единицу своей валовой продукции.

     Учитывая  это, система уравнений примет вид:

         (3)

     Модель  межотраслевого баланса может использоваться в планировании деятельности отраслей материального производства. Если технологии производства продуктов не меняются, то коэффициенты прямых затрат остаются неизменными.

     Используя систему уравнений межотраслевого баланса при известном плановом значении конечной продукции у отраслей, можно вычислить плановое производство валовой продукции х этих отраслей. 

     1.2. За отчетный период имел место следующий баланс продукции:

     х₁=х₁₁+х₁₂+у₁

     х₂=х₂₁+х₂₂+у₂

     х₁₁=800-δ            х₁₂=700-δ

     х₂₁=750-δ            х₂₂=850-δ

     у₁=300            у₂=220

     а) Вычислите коэффициенты прямых затрат

     б) Вычислите плановый объем валовой  продукции отраслей, если план выпуска  конечной продукции  у^П₁=350; у^П₂=250 при условии неизменности технологии производства.

     Решение:

     При δ=542          х₁₁ = 800-542 = 258           х₁₂ = 700-542 = 158

                                 х₂₁ = 750-542 = 208          х₂₂ = 850-542 = 308

     х₁ = 258+158+300 = 716

     х₂ = 208+308+220 = 736

     а) Вычислим коэффициенты прямых затрат.

                          

                        

     б) Вычислим плановый объем валовой  продукции отраслей. 
 
 

     Выразим из первого уравнения :

     0,633=350+0,229 
 

       = 552,923 + 0,362 – и подставим во второе уравнение: 

     -0,301(552,923+0,362)+=250 

     -166,43-0,109+0,578=250 

     0,578-0,109=250+166,43 

     0,469=416,43 

       = = 887,91 

       = 552,923 + 0,362887,91 = 552,923 + 321,423 = 874,346

     Таким образом, х^П₁  = 874,346 – плановый объем валовой продукции первой отрасли;

     х^П₂  = 887,91 – плановый объем валовой продукции второй отрасли.

 

Задание 4

     Системы массового обслуживания (СМО)

 

     1.1. Дайте описание входящего потока требований и каналов обслуживания. Какие экономические показатели характеризуют работу СМО?

     К системам массового обслуживания относятся  магазины, рестораны, автозаправочные  станции, аэродромы, автоматизированные телефонные станции и многие другие объекты. Общую схему СМО можно  представить в следующем виде:

     

     Для входящего потока требований предположим, что интервалы между поступлениями  соседних требований есть случайная  величина Х с показательным законом  распределения, т.е. интегральная функция  F(t) имеет вид:

     F(t)=1-ℓ^-λt, t ≥ 0. 

     Число λ (треб./ед. времени) называется интенсивностью входящего потока, и она показывает, сколько в среднем требований поступает в единицу времени.