Производственные функции в условиях неопределенности

Деятельность водопотребителя  сопряжена с риском, обусловленным  факторами стохастичности и неопределенности в водообеспечении. Понятия гарантированного водопользования и его надежности дают возможность оценивать такой риск потребителя ущербом – ухудшением экономических результатов его деятельности (например, снижением прибыли или валового дохода) вследствие отклонений реализованных режимов водопользования от гарантированных. Подчеркнем, что, вообще говоря подобные отклонения неизбежны в условиях стохастичности и неопределенности. Конечно, различные водопотребители ранжированы по критичности обеспечения их потребностей, так что в России приоритетное питьевое водоснабжение в крайне редких случаях сталкивается с недоподачей воды относительно гарантированного уровня по количеству, однако его отклонения от гарантированного качества – вполне ординарное явление. Совсем другая ситуация характерна для сельского хозяйства в районах орошаемого земледелия: в засушливые годы, а они случаются не меньше трех раз в десять лет, эта отрасль получает воду в количествах, заметно меньших гарантированного. По этой причине термин гарантированное водопользование представляется не вполне удачным: на самом деле в строгом юридическом понимании расчетное количество гарантированным не является. Невыполнение гарантий допускается только при форс-мажоре, но таковым ни в коем случае не может быть признано событие, априорная вероятность наступления которого оценивалась величиной не менее 30%. В дальнейшем будем использовать этот термин только для водопользования – согласно традиции. Если же – для других отраслей и в общем случае – наряду с переменной состояния системы используется (при необходимости) соответствующая ей расчетная переменная другого типа (например, фактическому поступлению какого-либо ресурса – переменной состояния системы – соответствует расчетное количество этого ресурса), будем называть его ориентиром, ее значения – ориентировочными по отношению к переменной состояния.

Понятия «гарантированное водопользование» и «гарантированное качество» водных ресурсов основывается на возможности, исходя из прошлых наблюдений, выявлять объективные вероятностные  закономерности, характеризующие статистически устойчивые массовые явления, - речной сток и потребности в водных ресурсах некоторых пользователей. В общем случае, рассматриваемом в данной работе, непосредственного использования данных прошлых наблюдений недостаточно, чтобы выявлять закономерности поступления ресурсов. Информация о ситуациях в будущем является неопределенной: она либо не обладает стохастической устойчивостью, либо обладает ею, но ее характеристики неизвестны. Поэтому принят субъективно-вероятностный подход, основанный на экспертных оценках различных возможных условий хозяйственной деятельности. Такие оценки могут предлагаться экспертами как оценки вероятности наступления соответствующих условий, их значимости, желательности или нежелательности, опасности и т.п. в зависимости от поставленной перед нами задачи. Будучи нормированы, эти оценки обладают всеми свойствами вероятностей: они неотрицательны; их сумма равна единице; оценка совокупности различных условий равна сумме оценок условий, входящих в эту совокупность. Такой подход связан с риском отождествления мнений экспертов, отражающих современные представления о возможности наступления будущих условий, с объективной реальностью. Однако другого подхода не существует.

Ниже в данной работе различия между субъективными  и объективными вероятностями не приводятся, - и те и другие называются вероятностями. Заметим, что субъективно-вероятностный подход рассматривается как способ изучения неопределенности. И в этом смысле неопределенность становится частным случаем стохастичности, когда характеризующие ее вероятности получены из экспертных оценок, а не из данных наблюдений (хотя известна и положительная позиция, с которой стохастичность рассматривается как неопределенность, о которой удалось получить данные наблюдений, достаточные для применения объективно-вероятностного подхода).

Подход, при  котором возможные условия хозяйствования и их субъективные вероятности отражают накопленный опыт и знания экспертов, дает возможность перенести методологию  гарантированного водопользования  и его надежности на построение производственных функций, оценивающих результаты использования ресурсов в условиях неопределенности. Значения этих функций зависят от двух групп переменных, соответствующих используемым в хозяйственной деятельности ресурсам x и их ориентирам X. Количество используемых ресурсов может принимать значения при различных реализациях стохастических условий функционирования системы из множества условий . С ориентировочными количествами основных ресурсов связано планирование необходимых подготовительных работ и других ресурсов, не учитываемых явно при оценке результатов производства. Величина X – одна и та же при всех . Отклонение реализуемого количества ресурсов от их ориентира приводит к необходимости корректировки принятых решений и потерям в результатах хозяйственной деятельности.

Подготовка  полей к орошению включает гидротехнические меры в оросительной сети, технику, выбор структуры посевов и другие работы. Такая подготовка проводится до конкретных реализаций стохастических условий и поступления водных ресурсов в расчете на их ориентировочные значения (ориентиры). Поступление водных ресурсов в объеме, меньше ориентировочного, означает недополив при орошении и, следовательно, снижение урожайности, а также делает лишней часть подготовительных работ. Потребление водных ресурсов сверх их ориентировочного значения не всегда возможно. Если оросительная сеть и состав сельскохозяйственных культур допускают такую возможность, то включение дополнительной техники, персонала и организация дополнительных работ осуществляются со значительно меньшей эффективностью, чем использование объема водных ресурсов, на который ориентируется оросительная сеть.

Перспективным направлением является создание рынка  генерирующих мощностей электроэнергии. Каждая электростанция берет обязательство, что поставляемая ею мощность в течение  расчетного периода будет не меньше определенной величины. Величина мощности, на которую ориентируется система, покупающая электроэнергию, оплачивается. При нарушении своего обязательства электростанция платит штраф, величина которого значительно превышает прибыль от продаваемой мощности. Финансовый результат работы электростанции зависит от двух переменных – продаваемой мощности и вырабатываемой электроэнергии. Электроэнергия (при проданной мощности) производится в условиях, когда неопределенными являются как спрос, зависящий от погоды, хозяйственной ситуации и других причин (вроде трансляции интересного футбольного матча), так и возможности поставки электроэнергии, связанные с готовностью агрегатов станции к работе, исправностью электросетей, наличием топлива на ТЭС и водных ресурсов у ГЭС и т.п.

Иногда аналогом (в рассматриваемом аспекте) ресурса выступает спрос на продукцию или услуги. Например, частная школа ориентируется на определенное число и основную специализацию учеников, оплачивающих обучение. Этому способствуют площади арендуемых помещений, оборудование классов, преподавательский состав, закупаемые технические средства обеспечения учебного процесса и т.п. Затраты на организацию работы школы, заключение контрактов с педагогами и обслуживающим персоналом и т.п. производятся при заранее не известном конкретном числе учеников. Если реальное число учеников не достигает ориентировочного, прибыль школы снизится относительно той величины, которая соответствует случаю, когда ориентир был бы выбран меньшим и совпал со значением переменной состояния – реальным числом учеников. Это произойдет как из-за уменьшения валового дохода, так и вследствие дополнительных затрат (расторжение контрактов с оказавшимся лишним персоналом и т.п.). Если число учеников больше ориентировочного, то дополнительные издержки, связанные с необходимостью оперативно скорректировать материально-техническое обеспечение и организацию учебного процесса, нанять дополнительный персонал и т.п., будут превосходить прирост затрат, который соответствует увеличению ориентира на то же количество учеников.

Примеры хозяйственных систем, результаты работы которых зависят от двух групп переменных: ориентировочных объемов ресурсов (или спроса) и их реализуемых значений, можно продолжить. Труднее оказалось найти противоположные примеры. Нам не удалось обнаружить хозяйственные системы, при оценке результатов деятельности которых не было бы необходимости, наряду с величинами используемых ресурсов, учитывать их ориентировочные значения. По-видимому, таковых нет.

1.3. Производственные функции, зависящие от переменных состояния и их ориентиров

Функцию, оценивающую результат использования ресурсов, без нарушения общности можно представить в виде суммы функций

.                                      (1)

Функция характеризует результат использования ресурсов в объеме, равном ориентиру. Зависимость , обычно называемая функция ущербов, описывает потери результата, обусловленные отклонениями объемов потребляемых ресурсов от его ориентировочного значения. Для определенности подфункцией будем понимать математическое ожидание ущербов, обусловленных функционированием потребителей ресурсов в различных стохастических условиях:

,                (2)

Где - вероятность исхода стохастических условий . Множество стохастических условий полагаем конечным. Из соотношений (I) и (2) следует, что функция представляет собой математическое ожидание производственных функций, оценивающих результат деятельности системы в различных стохастических условиях:

.                           (3)

При потреблении ориентировочного объема ресурсов, когда , нет необходимости проводить коррекцию запланированного решения, поэтому . Утилизация избыточных ресурсов (т.е. случай ) возможна только при наличии потребности в них и условий ее удовлетворения (например, речной транспорт может использовать избыточные глубины только при наличии судов с большой осадкой и дополнительных грузов, которые необходимо перевезти). Неравенство означает, что все координаты вектора неотрицательны и хотя бы одна - больше нуля. т.е. и , где N - множество видов ресурсов, потребление которых оценивается функцией .

Потребление избыточных ресурсов осуществляется со значительно меньшей эффективностью, чем предполагаемых (т.е. ориентира), поэтому при составляющая функции неотрицательна и ее значения возрастают незначительно. Использование ресурсов при их дефиците, т.е. в случае , характеризуется увеличением стоимости вырабатываемой продукции, а при превышении некоторого предела - невозможностью ее производить. Дополнительные затраты на поддержание данного уровня производства (в первом случае) и компенсации потерь от недодачи продукции (во втором) значительно превосходят эффект от потребления предполагаемых объемов ресурсов. Это означает, что в диапазоне значений функция отрицательна и ее значения резко убывают с ростом . В терминах производственных функций это означает, что при одном и том же значении модуля приращения аргумента значения приращения функции связаны неравенствами:

    (4)

                 

Как правило, для хотя бы одно из неравенств (4) усиливается и заменяется на строгое.

Неравенства (4) являются основными соотношениями, показывающими целесообразность включения ориентировочных величин ресурсов в оценке результатов функционирования производства. Первое неравенство в (4) указывает, что результат потребления дополнительных ресурсов не превосходит результата использования того же ориентировочного количества. Последнее неравенство в (4) означает, что снижение результата производства при непредусмотренном дефиците ресурсов не меньше, чем то, которое является следствием уменьшения ориентировочной величины ресурса. Вся цепочка неравенств (4) демонстрирует, что результат утилизации ресурсов в ориентировочных объемах (это - "идеальные" условия) выше результата использования ресурсов в тех объемах, которые получаются в реальных стохастических условиях, когда поставляемые объемы отклоняются от ориентиров.

Функции вогнуты по каждой из переменных и в силу закона об убывающей эффективности, в соответствии с которым с увеличением количества ресурса падает эффективность вовлечения дополнительной единицы его объема. Однако это не гарантирует вогнутость по их совокупности. Этим же свойством обладают функции . сформированные по правилу (3).

Пример функции , оценивающей использование одного ресурса в стохастических условиях, иллюстрирует рис. 1. В этом частном случае функция ущерба - одна и та же для всех . При рассмотрении этой же функции двух переменных Х и как семейства функций одной переменной , зависящей от параметра X, составляющая функции является верхней огибающей этого семейства. Указанная особенность следует из неравенств (4) и свойства функций ущербов . Все функции указанного семейства и его огибающая, как отмечено выше, вогнутые. Такую трактовку функции иллюстрирует рис. 2, на котором прослеживается вся цепочка неравенств (4). В частности, сравнение графиков 1 и 4 на рис. 2 показывает, что при ориентировочном объеме водных ресурсов X = 360 млн. м³.

прибыль, получаемая с орошаемых полей при использовании реализуемого объема водных ресурсов млн. м³, на 10 млн. руб. меньше, чем от использования того же реализуемого объема при условии, что в качестве ориентировочного был бы взят Х = 720 млн. м³ . Неподача воды в оросительную сеть при ориентировочном объеме X = 360 млн. м³ приводит к большему снижению прибыли (на 28 млн. руб.), чем переход к ориентировочному объему X= 0. Включение в производственные функции не только величин используемых ресурсов, но и их ориентиров дает возможность вырабатывать решения, предусматривающие коррекции стратегии управления при всех возможных реализациях неопределенных условий. Математические модели, позволяющие строить такие стратегии, адаптированные к возможным изменениям условий функционирования производства, получаются более сложными, чем без учета ориентиров, но не настолько, чтобы по ним нельзя было проводить расчеты на современных компьютерах (в том числе персональных).

Глава 2. Применение производственных функции

2.1 Производственная функция для ГЭС

В качестве примера рассмотрим Токтогульскую ГЭС.

Токтогульская ГЭС, строительство  которой было начато в 1962 году, является крупнейшей электрической станцией страны и имеет двойное назначение. Раньше, в советское время, в качестве основы рассматривалась ее ирригационная эффективность – обеспечение бесперебойной поливной водой всех земельных угодий Ферганской долины. На Токтогульское водохранилище, объемом 19,5 млрд. кубометров воды, было официально возложено миллион двести тысяч гектаров поливных земель одной только Ферганской долины. Вторым эффектом Токтогульского гидроузла является его энергетическая эффективность — обеспечение электроэнергией всей республики.