Планирование и организация эксперимента

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное  учреждение высшего профессионального  образования

«ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ  УНИВЕРСИТЕТ»

 

 

 

Наименование факультета - Электрофизический

Наименование направления-Метрология, стандартизация и сертификация

Наименование кафедры - КИСМ

 

 

 

 

 

Планирование  и организация Экспиремента

Курсовая работа

 

Студент гр. 1Г40           ___________________              Т. А. Букрина

     ^{(подпись)}

      ___________________

   ^(дата)

Руководитель               ____________________             В. Ю. Казаков

^{(подпись)}

      ____________________

^(дата)

 

 

                                                      

Томск 2007

 

 

 

 

Содержание

 

		С.
	Введение	4
1	Определение характеристик случайной величины	5
	1.1 Определение объема выборки	5
	1.2 Определение вида распределения	5
	1.3 Определение точечных и интервальных оценок	14
2	Определение регрессионной  зависимости	16
	2.1 Проведение эксперимента	16
	2.2 Определение регрессионной зависимости	17
	Заключение	24
	Список использованных источников	25
	Приложение А	26

 

 

 

Введение

 

В настоящее время математическую статистику можно определить как науку о принятии решений в условиях неопределенности.

Главной задачей экспериментатора является сокращение времени и затрат на проведение эксперимента. Этих цели можно достигнуть, используя методы математической статистики и приемы планирования.

Статистические выводы относятся к процессу получения какого-либо заключения относительно генеральной совокупности по свойствам выборки из этой совокупности. Обычно совокупность характеризуется одним или несколькими параметрами.

Математическая статистика основывается на допущении, что выборки, взятые из генеральной совокупности, являются случайными, то есть каждый элемент совокупности может с одинаковой вероятностью оказаться включенным в выборку, и что извлечение n элементов не влияет на модель изменчивости совокупности.

Эксперимент – это совокупность операций совершаемых над объектом исследования, с целью получения информации о его свойствах. Эксперимент состоит из составления плана, выбора модели и осуществления эксперимента.

Основная цель планирования эксперимента – достижение максимальной точности измерений при минимальном количестве проведенных опытов и сохранении статистической достоверности результатов

В данной курсовой работе необходимо получить заключение относительно генеральной совокупности по свойствам  выборки полученной из этой совокупности. Спланировать и провести компьютерный эксперимент, проанализировать результат и получить регрессионную модель зависимости отклика от факторов. 

 

 

 

 

1 Определение  характеристик случайной величины

1.1 Определение  объема выборки

 

Объем выборки  определяется по формуле (1).

      (1)

где  n – объем выборки;

 – квантиль нормального распределения [1];

α – уровень значимости;

 – абсолютная погрешность.

Зададим уровень  значимости α = 0,01 и допустимую абсолютную погрешность = 0,115, тогда = 2,58, следовательно, объем выборки         n = 500. Полученная выборка представлена в приложение А.

 

1.2 Определение  вида распределения

Построим гистограмму  по полученной выборке.

Для построения гистограммы разобьем область данных на 10 интервалов согласно формуле (2).

     (2)

где ∆ – количество интервалов;

  n – объем выборки.

Из априорной информации известно, что программа генерирует выборки заданного объема для  непрерывной случайной величины. При этом возможны распределения вида: нормальное, равномерное, экспоненциальное, Рэлея. Построим гистограмму – рисунок 1.

 

Анализируя гистограмму  можно предположить, что выборка  распределена по нормальному закону или по закону Рэлея. Для наглядности  построим гистограммы, на которые нанесем функцию плотности распределения вероятностей. На рисунке 2 представлена гистограмма с функцией плотности распределения вероятностей для выборки, распределенной по нормальному закону, на рисунке 3 представлена гистограмма с функцией плотности распределения вероятностей для выборки, распределенной по закону Рэлея.

 

Определим закон распределения для полученной выборки с помощью критерия Пирсона (критерий «хи-квадрат»). [2]

Выдвинем основную гипотезу Н₀ и альтернативную гипотезу Н₁.

Гипотеза Н₀:  Выборка распределена по нормальному закону в интервале (1,6; 65,4) при уровне значимости a = 0,01

Гипотеза Н₁: Выборка распределена не по нормальному закону в интервале (1,6; 65,4) при уровне значимости a = 0,01

Интервал значений величины рассчитываем по формуле (3).

    (3)

где x_max – верхняя граница интервала;

x_min – нижняя граница интервала.

Рассчитываем число частичных интервалов по формуле (4).

     (4)

где ∆ – количество интервалов (формула 2).

В качестве критерия согласия принимают случайную величину (критерий «хи-квадрат») формула (5).

          (5)

где n_i – фактическая частота попадания в частичный интервал;

n_i* – теоретическая частота попадания в частичный интервал.

Теоретические частоты  попадания в частичный интервал рассчитываем по формуле (6).

     (6)

где  n – объем выборки;

р_i*– теоретическая вероятность  попадания случайной величины в частичный интервал.

Результаты расчетов фактической частоты попадания в частичный интервал и теоретической частоты приведены в таблице 1.

 

 

 

 

 

 

Таблица 1

 

 

№ интервала	Границы интервала		ni	рi*	ni*
	от	до
1	1,60	7,98	31	0,049075	24,5375
2	7,98	14,36	68	0,092687	46,3435
3	14,36	20,74	74	0,142065	71,0325
4	20,74	27,12	88	0,176715	88,3575
5	27,12	33,5	81	0,178401	89,2005
6	33,5	39,88	62	0,146167	73,0835
7	39,88	46,26	43	0,097191	48,5955
8	46,26	52,64	24	0,052447	26,2235
9	52,64	59,02	19	0,022966	11,483
10	59,02	65,4	10	0,008161	4,0805

 

 

 

 

 

 

 

 

Теоретическую вероятность р_i* попадания случайной величины в частичный интервал рассчитываем с помощью вероятностного калькулятора программы STATISTICA 6.0, для этого по формулам (7, 8) определяем среднее арифметическое выборки и оценку СКО.

     (7)    

где  n – объем выборки;

       x_i – i-ый элемент выборки.

= 27,41

                      (8)           

= 13,84

 

По формуле (5) рассчитаем значение  c².

c² = 28,72

Число степеней свободы  К = 7

По таблице определим  критическое значение c_кр² = 18,5 [1]

Так как c² > c_кр²,  то нулевую гипотезу следует отклонить.

Следовательно, выборка распределена не по нормальному закону.

Выдвинем другие гипотезы Н₀ и Н₁.

Гипотеза Н₀:  Выборка распределена по закону Рэлея в интервале       (1,6; 65,4) при уровне значимости a = 0,01

Гипотеза Н₁: Выборка не распределена по закону Рэлея в интервале       (1,6; 65,4) при уровне значимости a = 0,01

Новые гипотезы также проверим с  помощью критерия Пирсона.

Распределение по закону Рэлея является частным случаем распределения  по закону Вейбулла, функция плотности распределения вероятностей φ(х) для выборки, распределенной по закону Вейбулла, описывается формулой (9). [3]

    (9)     

При β = 2 распределение Вейбулла переходит  в распределение Рэлея, параметр α становится равным  , параметр b рассчитываем по формуле (10).    

     (10)           

где  n – объем выборки;

       x_i – i-ый элемент выборки.

b = 21,7121

Результаты расчетов фактической частоты попадания в частичный интервал и теоретической частоты для элементов выборки распределенных по закону Рэлея приведены в таблице 2.

 

 

 

 

 

 

Таблица 2

№ интервала	Границы интервала		ni	рi*	ni*
	от	до
1	1,60	7,98	31	0,062599	31,2995
2	7,98	14,36	68	0,131137	65,5685
3	14,36	20,74	74	0,169884	84,942
4	20,74	27,12	88	0,175304	87,652
5	27,12	33,5	81	0,154234	77,117
6	33,5	39,88	62	0,119028	59,514
7	39,88	46,26	43	0,081764	40,882
8	46,26	52,64	24	0,050419	25,2095
9	52,64	59,02	19	0,028061	14,0305
10	59,02	65,4	10	0,014147	7,0735

 

По формуле (5) рассчитаем значение  c².

c² = 4,94

 

Число степеней свободы  К = 8

По таблице определим  критическое значение c_кр² = 20,1 [1]

Так как c² < c_кр²,  то нулевую гипотезу следует принять.

Следовательно, выборка распределена по закону Рэлея.

Построим функцию плотности  распределения вероятностей φ(х) – рисунок (4)  и функцию распределения вероятностей F(x) – рисунок (5). φ(х) и F(x) рассчитываем по формулам (11, 12).

 

    (11)     

     

    (12)           

где  b – параметр распределения по закону Рэлея, рассчитываемый по формуле (10).

 

 

Построим теоретическую  функцию распределения вероятностей F(x) – рисунок (6).

 

 

 

Построим эмпирическую функцию распределения – рисунок (7).

 

 

 

1.3 Определение точечных  и интервальных оценок

В качестве оценки математического ожидания будем считать величину М(Х) определяемую формулой (13). [2]

М(Х) = = 1,253b     (13)

М(Х) = 27,205

В качестве оценки дисперсии будем считать величину D(Х) определяемую формулой (14).

D(Х) = = 0,429b²            (14)

D(Х) = 202,237

В качестве оценки СКО будем считать величину s(Х) определяемую формулой (15).

s (Х) = = 0,655b   (15)

s(Х) = 14,221

В качестве оценки медианы будем считать величину М_е(Х) определяемую формулой (16).

М_е(Х) = = 1,117b      (16)

М_е(Х) = 24,252

В качестве оценки моды  будем считать величину М_о(Х) определяемую формулой (17).

М_о(Х) = b        (17)

М_о(Х) = 21,712

где  b – параметр распределения, рассчитываемый по формуле (10).

Для определения  интервальных оценок воспользуемся программным продуктом MATLAB R2006.

Для определения  доверительного интервала, в котором  с вероятностью  р = 0,95% находится  параметр b воспользуемся командой «[p,ci] = raylfit(x)», где x исследуемая выборка. Параметр b находится в границах 20,801 < b < 22,707.

Оценим параметр α по формуле (18).

α =       (18)