Модели стационарных и нестационарных временных рядов, их идентификация

Ковариация.

 

Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

 

1.2. Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии).

 

Линейное уравнение регрессии имеет вид y = 6.42 x  + 112.87

1.3. Коэффициент эластичности.

Коэффициент эластичности находится по формуле:

 

 

1.4. Ошибка аппроксимации.

 

Ошибка аппроксимации в пределах 5%-7% свидетельствует о хорошем подборе уравнения регрессии к исходным данным.

 

1.5. Эмпирическое корреляционное  отношение.

Эмпирическое корреляционное отношение вычисляется для всех форм связи и служит для измерение тесноты зависимости. Изменяется в пределах [0;1].

 

 

где

 

Индекс корреляции.

Для линейной регрессии индекс корреляции равен коэфииценту корреляции rxy = 0.8903.

Для любой формы зависимости теснота связи определяется с помощью множественного коэффициента корреляции:

 

1.6. Коэффициент детерминации.

Чаще всего, давая интерпретацию коэффициента детерминации, его выражают в процентах.

R2= 0.89032 = 0.7926

Для расчета параметров линейной регрессии построим расчетную таблицу (табл.)

 

x	y	x2	y2	x • y	y(x)	(yi-ycp)2	(y-y(x))2	(xi-xcp)2	|y - yx|:y
1	120	1	14400	120	119.29	795.24	0.5	20.25	0.005909
2	123	4	15129	246	125.72	635.04	7.37	12.25	0.0221
3	130	9	16900	390	132.14	331.24	4.58	6.25	0.0165
4	135	16	18225	540	138.56	174.24	12.7	2.25	0.0264
5	170	25	28900	850	144.99	475.24	625.61	0.25	0.15
6	139	36	19321	834	151.41	84.64	154.06	0.25	0.0893
7	150	49	22500	1050	157.84	3.24	61.41	2.25	0.0522
8	162	64	26244	1296	164.26	190.44	5.11	6.25	0.014
9	175	81	30625	1575	170.68	718.24	18.62	12.25	0.0247
10	178	100	31684	1780	177.11	888.04	0.79	20.25	0.005005
55	1482	385	223928	8681	1482	4295.6	890.75	82.5	0.4

 

2. Оценка параметров уравнения  регрессии.

2.1. Значимость коэффициента корреляции.

 

По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=8 находим tкрит:

tкрит (n-m-1;α/2) = (8;0.025) = 2.306

где m = 1 - количество объясняющих переменных.

2.2. Интервальная оценка для коэффициента  корреляции (доверительный интервал).

 

r(0.7391;1.0415)

2.3. Анализ точности определения  оценок коэффициентов регрессии.

Несмещенной оценкой дисперсии возмущений является величина:

 

 

S2y = 111.34 - необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии).

 

Sy = 10.55 - стандартная ошибка оценки (стандартная ошибка регрессии).

Sa - стандартное отклонение случайной величины a.

 

 

Sb - стандартное отклонение случайной величины b.

 

 

2.4. Доверительные интервалы для зависимой переменной.

(a + bxp ± ε)

где

 

Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и Xp = 6

 

Индивидуальные доверительные интервалы для Y при данном значении X.

(a + bxi ± ε)

где

 

 

tкрит (n-m-1;α/2) = (8;0.025) = 2.306

2.5. Проверка гипотез относительно  коэффициентов линейного уравнения  регрессии.

1) t-статистика. Критерий  Стьюдента.

tкрит (n-m-1;α/2) = (8;0.025) = 2.306

 

 

 

 

Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии.

(b - tкрит Sb; b + tкрит Sb)

(a - tкрит Sa; a + tкрит Sa)

2) F-статистика. Критерий  Фишера.

 

 

 

Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=8, Fтабл = 5.32

 

 

Заключение

Временным рядом называют серию числовых величин, полученных через регулярные промежутки времени. Например, временными рядами будут:

• серия ежедневных наблюдений в течение некоторого периода за ценами товаров при закрытии торгов на бирже;
• дневные объемы выпуска товара;
• месячные показатели инфляции или индекса потребительских цен;
• ежеквартальные оценки ВНП (принятые в США) или средних зарплат (принятые в России для ежеквартального индексирования пенсий);
• ежегодные данные об объеме, выручке и прибыли компании.

Временные ряды, естественно, не ограничиваются исключительно экономическими величинами; известно их применение при анализе процессов в энергосистемах, атомной промышленности, химических и нефтехимических производствах, причем в этом случае часто используются более мелкие дискретности времени, чем в экономике, - минуты и даже секунды при обработке данных о быстропротекающих процессах в атомной энергетике или при исследовании переходных процессов в химической кинетике.

Известно даже успешное применение анализа временных рядов при слежении за подводными лодками «вероятного противника» в 1970-80-х гг., и при обработке данных наблюдений в системах ПВО, и при прогнозах проходимости радиосигналов в атмосфере и ионосфере, и при моделировании транспортных потоков на автотрассах.

Основным положением, на котором базируется использование временных рядов для прогнозирования, является то, что факторы, влияющие на отклик изучаемой системы, действовали некоторым образом в прошлом и настоящем, и ожидается, что они будут действовать сходным образом и не в слишком далеком будущем. Поэтому основной целью анализа временных рядов будет оценка и вычленение этих влияющих факторов с целью прогноза дальнейшего поведения системы и выработки рациональных управленческих решений.

В свое время были разработаны многие методы вычленения влияющих факторов и оценки их взаимодействия и влияния на отклик системы, но, пожалуй, наиболее фундаментальной является классическая мультипликативная модель временного ряда, широко используемая при анализе ежемесячных, ежеквартальных и ежегодных данных и, следовательно, в экономических исследованиях.

 

 

Список использованной литературы

 

1. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая  теория статистики. - М.: Финансы и  статистика., 1998. - 368 с.

2. Общая теория статистики. Статистическая  методология в изучении коммерческой  деятельности. / Под ред.А.А. Спирина, О.Э.Башиной. - М,: Финансы и статистика, 1994. - 296 с.

3. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная  статистика и основы эконометрики. - М.: Юнити, 1998. - 1022 с.

4. Доугерти К. Введение в эконометрику. - М.: МГУ, 1999. - 402 с.

5. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий  А.А. Эконометрика. Начальный курс. - М.: Дело, 1997. - 248 с.

6. Андерсон Т. Статистический анализ  временных рядов. - М.: Мир, 1976.

7. Журбенко И.Г. Спектральный анализ  временных рядов. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1982.

8. Кендалл М.Дж., Стъюарт А. Многомерный  статистический анализ и временные  ряды. - М.: Наука, 1976.

9. Кендэл М. Временные ряды. - М.: Финансы и статистика, 1981.

10. Крамер Г., Лидбеттер М. Стационарные  случайные процессы. - М.: Мир, 1969.

11. Статистический анализ экономических  временных рядов и прогнозирование. (Серия "Ученые записки по статистике", тт.22-23.) - М.: Наука, 1973.

12. Хеннан Э. Многомерные временные ряды. - М.: Мир, 1974.

13. Цветков Э.И. Основы теории  статистических измерений. - Л.: Энергоатомиздат, 1986. - 256 с.

14. Николаев А.В. Структура исторического  цикла. // Математическое и компьютерное  моделирование в науках о человеке  и обществе. Тезисы докладов Всероссийской  конференции. - М.: Госуд. ун-т управления, 1999. - С.54-54.

15. Тейл Г. Эконометрические прогнозы  и принятие решений. - М.: Статистика, 1971. - 488 с.

16. Френкель А.А. Математические  методы анализа динамики и  прогнозирования производительности  труда. - М.: Экономика, 1972. - 190 с.

17. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ  временных рядов: Прогноз и управление. - М.: Мир, 1974.

18. Гренджер К., Хатанака М., Спектральный  анализ временных рядов в экономике. - - М.: Статистика, 1972.