Модели экономического роста

• обучение работника на практике зависит от уровня капиталовооруженности каждого работника:

 

Зависимость от объема капитала, постоянная отдача от обучения ф = 1.

     Здесь производственная функция экономики  имеет вид: 

     Очевидно, что в этом случае не существует устойчивого роста, темп прироста выпуска  постоянно увеличивается (взрывной рост) и темп прироста капитала выражается уравнением: 

     Устойчивый  рост возможен здесь, только если темп прироста населения равен нулю.

     Соответственно  этот темп прироста может быть эндогенным при оптимизации сбережений, как  в модели Рамсея. Устойчивый темп прироста будет зависеть от поведенческого параметра  — субъективной дисконтной ставки.

     Зависимость от объема капитала, убывающая отдача от обучения  0 < ф < 1.

     Производственная  функция экономики: 

     Устойчивый  темп прироста экономики возможен с  постоянным темпом прироста выпуска  и капитала: 

     И соответственно выпуск на душу населения  и капиталовооруженности: 

     Темп  прироста капиталовооруженности положительно зависит от эффективности обучения на практике и темпа прироста населения.

     При отсутствии прироста населения устойчивые темпы прироста равны нулю. Темп прироста фиксирован, следовательно, имеет  место постоянный, но экзогенный рост.

     Зависимость от уровня капиталовооруженности, постоянная отдача от обучения ф = 1.

     Производственная  функция для экономики в целом  следующая: 

     Для интенсивной формы производственной функции уравнение принимает  следующий вид: 

     В данном случае результат соответствует  элементарной модели эндогенного роста  так называемой АК-модели. Устойчивый темп прироста экономики (выпуска на душу населения и капиталовооруженности) равен: 

     При нулевом приросте населения устойчивый темп прироста экономики составит: 

Зависимость от уровня капиталовооруженности, убывающая отдача от обучения 0 < ф < 1.

     Производственная  функция в интенсивной форме  выражается следующим образом: 

     Как и в модели Солоу, устойчивое состояние  достигается при нулевом темпе  прироста интенсивных переменных.

     Таким образом, постоянный и экзогенный экономический  рост при базовых предположениях модели возможен во втором случае, а  эндогенный рост — в третьем случае, а также в первом, при условии  отсутствия роста населения. 

Оптимизация потребления и  поведение сбережений при конкурентном росте

     Предположим, что поведение потребления выводится  из межвременной оптимизации: 

     Реальная  процентная ставка равна частной  предельной производительности капитала, а именно 

Это условие  является достаточным для определения  общего темпа роста.

В рассмотренных  выше случаях:

• производственная функция фирмы

 

• частная предельная производительность

 

• соответственно  равновесный темп прироста

 

     В данном уравнении , где находится равновесный темп прироста возникает зависимость от поведенческого параметра — субъективной дисконтной ставки. Следовательно, рост в модели зависит от субъективного поведения агентов экономики и является эндогенным.

     Здесь мы впервые сталкиваемся с полученной и отмеченной Полом Ромером зависимостью от величины экономики — численности населения и работников, так называемым эффектом размера экономики. Этот эффект часто возникает в моделях эндогенного роста с экстерналиями. Несмотря на внешнюю парадоксальность данного эффекта (большая по размеру экономика должна иметь и больший рост, Китай вроде бы должен иметь значительно больший рост, чем Гонконг или Сингапур), он имеет достаточно простое объяснение.

     В данном случае речь идет о регионах или экономиках, связанных эффектом растекания знаний, что позволяет  каждой фирме иметь внешний эффект от всего объема капитала и экономики. Для устранения возникающего неправдоподобия  достаточно предположить разную степень  связанности экономик эффектом растекания: для регионов Китая или России эта связь, внутри и между регионами, как и интегрированность в  мировой информационный обмен, может  быть существенно ниже, чем связь  между странами Евросоюза, например, или степень включенности Сингапура  в мировой процесс растекания знаний. Для эмпирических исследований здесь можно ввести коэффициент  степени растекания, распространения  знаний.

       В третьем анализируемом случае  производственная функция, частная  предельная производительность  и равновесный темп прироста  равны: 
 
 
 

Из уравнения  равновесного конкурентного роста  с оптимизацией потребления 

и уравнения  устойчивого равновесного роста, которое здесь также справедливо 

можно выразить устойчивую норму сбережений, которая для третьего случая будет  равна: 

     Соответственно  для первого рассматриваемого случая норма сбережений будет следующей: 

     Норма сбережений здесь величина постоянная, поскольку в правой части уравнений (3-46, 3-47) все параметры и переменные — константы. Поскольку при положительном  темпе прироста выражение в квадратных скобках — положительное, зависимость  от параметра о (межвременной эластичности замещения функции полезности) —  тоже положительная. Это означает, что  при более высокой эластичности (способности перемещать полезность во времени) потребитель предпочтет сберегать большую долю своего дохода, т.е. отложить потребление. При отрицательном  выражении в квадратных скобках  ситуация обратная. Таким образом, параметр межвременной эластичности играет роль усиливающего коэффициента при выражении  в квадратных скобках.

     Зависимость нормы сбережений от доли капитала в доходе — положительная, а от субъективной дисконтной ставки —  отрицательная, что также соответствует  экономическому смыслу данных параметров.

     Зависимость от нормы амортизации и численности  населения для общего случая не определена.

     Зависимости для нормы сбережений в третьем  случае те же за одним исключением: добавилась положительная зависимость  от темпа прироста населения.

Оптимальный рост и неоптимальность конкурентного роста⁵

     Полученный  выше темп конкурентного роста можно  сравнить с оптимальным темпом роста.  
 

     Из  решения данной системы следует  условие первого порядка для  оптимального экономического роста: 

или

1. случай:

 

2.  случай:

 

Очевидно, оптимальный темп прироста выше равновесного g_opt>g_eq. Причина заключается в том, что социальный планер принимает во внимание социальную предельную производительность капитала, которая выше, чем частная, вследствие наличия экстерналии.

     Графически  это можно показать, отображая (в  координатах «процентная ставка — устойчивый темп прироста») два уравнения: сбережений, полученное из стандартного условия оптимизации потребления (соответственно и сбережений) Рамсея 

и отдачи (социальной и частной процентных ставок), которая находится из условия:

Модель  Роберта Солоу⁶

     Неоклассические модели роста преодолевали ряд ограничений  кейнсианских моделей и позволяли  более точно описать особенности  макроэкономических процессов.

     Р. Солоу показал, что нестабильность динамического равновесия в кейнсианских моделях была следствием невзаимозаменяемости факторов производства. Вместо функции Леонтьева он использовал в своей модели производственную функцию Кобба—Дугласа, в которой труд и капитал являются субститутами. Другими предпосылками анализа в модели Солоу являются: убывающая предельная производительность капитала, постоянная отдача от масштаба, постоянная норма выбытия, отсутствие инвестиционных лагов.

     Взаимозаменяемость  факторов (изменение капиталовооруженности) объясняется не только технологическими условиями, но и неоклассической  предпосылкой о совершенной конкуренции  на рынках факторов.

     Совокупный  спрос в модели Солоу определяется инвестициями и потреблением: 

     где i и c инвестиции и потребление на одного занятого.

     Доход делится между потреблением и сбережениями в соответствии с нормой сбережения, так что потребление можно представить как 

где s – норма сбережения (накопления), тогда 

откуда. В условиях равновесия инвестиции равны сбережениям и пропорциональны доходу.

     Условия равенства спроса и предложения  могут быть представлены как 

     Производственная  функция определяет предложение  на рынке товаров, а накопление капитала – спрос на произведенный продукт.

     Динамика  объему выпуска зависит от объема капитала (в нашем случае — капитала в расчете на одного занятого, или  капиталовооруженности). Объем капитала меняется под воздействием инвестиций и выбытия: инвестиции увеличивают запас капитала, выбытие — уменьшает.

     Инвестиции  зависят от фондовооруженности и  нормы накопления, что следует  из условия равенства спроса и  предложения в экономике: i= sf(k). Норма накопления определяет деление продукта на инвестиции и потребление при любом значении k: 

     Амортизация учитывается следующим образом: если принять, что ежегодно вследствие износа капитала выбывает его фиксированная часть d (норма выбытия), то величина выбытия будет пропорциональна объему капитала и равна dk.

     На  графике эта связь отражается прямой, выходящей из точки начала координат, с угловым коэффициентом  d.

Влияние инвестиций и выбытия на динамику запасов капитала можно представить  уравнением, или, используя равенство инвестиций и сбережений, Запас капитала (k) будет увеличиваться(Ak>0),до уровня, при котором инвестиции будут равны величине выбытия, т.е. sf(k)=dk.  После этого запас капитала на одного занятого (фондовооруженность) не будет меняться во времени, поскольку две действующие на него силы уравновесят друг друга(Ak=0).

     Уровень запаса капитала, при котором инвестиции равны выбытию, называется равновесным (устойчивым) уровнем фондовооруженности труда и обозначается k*. При достижении k*экономика находится в состоянии долгосрочного равновесия.

     Равновесие  является устойчивым, поскольку независимо от исходного значения к экономика будет стремиться к равновесному состоянию, т.е. к k*. Если начальное k<k*, то валовые инвестиции sf(k) будут больше выбытия (dk), и запас капитала будет возрастать на величину чистых инвестиций. Если k₂> k*, это означает, что инвестиции меньше, чем износ, а значит запас капитала будет сокращаться, приближаясь к уровню k*.

     Норма накопления (сбережения) непосредственно  влияет на устойчивый уровень фондовооруженности. Рост нормы сбережения с s, до s₂ сдвигает кривую инвестиций вверх из положения s/(k) до s2 (к).

     В исходном состоянии экономика имела  устойчивый запас капитала kx*, при котором инвестиции равнялись выбытию. После повышения нормы сбережения инвестиции выросли на (i₁^’ - i,), а запас капитала (kt*) и выбытие (dk) остались прежними. В этих условиях инвестиции начинают превышать выбытие, что вызывает рост запаса капитала до уровня нового равновесия k₂*, которое характеризуется более высокими значениями фондовооруженности и производительности труда (выпуск на одного занятого, у).