Методы алгебраических и дифференциальных уравнений для анализа и качественного исследования социально-экономических явлений

спрос увеличивается: владельцы желают иметь на  руках  все  больше  банкнот,

аккумулируя в них свои  накопления.  Поэтому  спекулятивный  спрос  задается

функцией I(r) (рис. 5), такой, что I'(r)r  и I(r) резко  возрастает

при r  –  r    (I(r)  -   при  r  –  r  ;  владельцы  денег  не  приобретают

обязательств  банка). Естественно считать, что r < r,  так  как  в  противном

случае либо инвестиции равны нулю, и говорить об  экономическом-  равновесии

не приходится, либо функция I(r) не  определена,  и  рассмотрение  не  имеет

смысла.

       Так как финансовый рынок находится  в равновесии,  то  баланс  («закон

сохранения») денег  дастся уравнением '

                                   Z=tPQ+I(r),…………………………………(10)

Где  Z  –  количество  денег,  являющееся  заданным  управляющим  параметром

системы (считается, что деньги выпускает государство).

Из  соединения  в  одно  уравнений  (1),  (6),   (9)   и   (10),   возникает

математическая  модель рыночного равновесия, полученная в  предположениях  I-

VII:

                                  Q = F(R),

                                F’(R) = s/P,

         Q-( (Q) = A(r),                                                (11)

                               Z = (PQ + I(r). 

                                 Рис.6.    Зависимость     фондообразующего

                                 продукта (S) от числа занятых рабочих (R) 

                                 В модели-(11) задаются параметры  системы s

                                 (ставка заработной платы),  Z  предложение

                                 денег) и технический параметр ?

                                 Функции F, F', ?, А, I - известные функции

                                 своих аргументов с описанными  выше

    .

  свойствами.  По  этим  входным  данным  из  модели   определяются   четыре

неизвестные  величины:  Q  (величина  выпускаемого  продукта),  R   (уровень

занятости ), Р (цена продукта) и r (норма банковского  процента).

       Исключая из (11) величины Р,  r,  Q,  систему  уравнений  (11)  легко

свести к одному уравнению

                                                                        (12) 
 

где А 1 - функция,  обратная  функции  А.  Из  свойств  строго  возрастающей

функции А= F(R)-?(F(R)) (рис. 6) легко установить качественный  вид  функции

А 1 (в зависимости  от R): функция А 1 строго убывает  с  ростом  R.  В  свою

очередь, А   служит аргументом монотонной функции I:

                                                                        (13) 

Свойства функции (13) таковы, что как функция R она  имеет вид  кривой  J{R),

изображенной  на рис. 7 (для значений R > R  функция I не определена), где  R

- корень уравнения

                                                                        (14) 

Рассмотрим теперь левую часть уравнения (12). Функция

             Z-s?F(R)/F'(R)                                             (15) 

равна Z при R = 0, т.к. F'(R) > 0. Первая производная функции (15)

                                                                        (16) 

в силу условия F"(R)< 0 (см. рис. 2). Из (17)  тогда  следует,  что  функция

(15) строго убывает  на промежутке [О, R ]. Введя обозначения 

                                                                        (17) 
 
 

                                                                        (18) 
 
 

запишем уравнение (12) в виде

               J(R)=X(R).                                               (19) 

В силу отмеченных выше свойств функций (17)  и  (18),  входящих  в  левую  и

правую части  уравнения (19), графики функций J(R) и X(R) имеют  вид  кривых,

изображенных  на рис. 7.

[pic]

Рис. 7.  Определение  равновесного  состояния  R   в  условиях  совершенной

конкуренции. 

   Следовательно,  модель Кейнса (11) имеет единственное  решение  описывающее

 равновесное  состояние экономики.

   Пример. Используя равенства (11), найти   уровень  занятости  R,  величину

 производимого  продукта Q, цену продукта Р и норму прибыли r для обеспечения

 равновесия  на конкурентном рынке, если 
 
 

                                                                        (20) 
 
 

Приведенные в  формулах  (20)  функции  удовлетворяют  требуемым  условиям  и

выбраны произвольно  из методических соображении.

  Предполагая  заданными параметры системы  s'= 10, ?=50,  Z=100,  произвести

вычисления,  воспользовавшись   программой   1   при   следующих   значениях

параметров функции F, ?, А, I:

      а=10, b=5, c=0.5, m=8, k=2, r =5, r  ==3, n=1.

      В условиях примера функции  J(R) и X(R), определяемые по формулам (17)

и (18), принимают  вид: 
 

                                                                        (21) 
 
 

Графики  функций  (21)  при  заданных   в   примере   значениях   параметров

представлены  на рис.8.

            [pic]

  Рис. 8. Графики  функций, определяемых формулами  (21) 

       Чтобы найти равновесное значение  R*,  найдем  сначала  положительный

 корень R  уравнения 
 
 

соответствующий  вертикальной  асимптоте  функции  J(R)  (см.  рис.  8),  по

формуле 
 
 

или методом  половинного деления, применяя программу 2. Получим

R =0158.

       Равновесное значение уровня  занятости  R   ,  равное  0.107,  находим

после этого  в интервале (0;R ), решая уравнение J{R)=X(R), например,

методом половинного  деления. Зная равновесное значение R = R  ,  из  системы

уравнений (11) и  формул (20) находим  равновесные  значения  остальных  трех

неизвестных величин: 

                                                                        (23) 

- равновесное  значение выпуска продукции, 
 
 

- равновесное  значение цены продукта, 
 

- равновесное  значение нормы прибыли.

Замечание. В  этом анализе  рассматривались  трудовые  отношения  в  условиях

совершенной   конкуренции,   когда   на    рынке    труда    взаимодействует

неограниченное  количество  работодателей  и  не  объединенных  в  профсоюзы

наемных рабочих, равновесная ставка заработной платы  и  количество  занятых

устанавливаются под воздействием спроса и  предложения  труда.  Предположим,

что в данной отрасли формируется профсоюз,  надо  определить  специфику  его

влияния на рынок  труда. Как правило, профсоюз  всеми  доступными  средствами

добивается установления ставки заработной платы выше равновесной.  Допустим,

что профсоюз добился  увеличения  ставки  заработной  платы.  Как  на  такие

действия профсоюза  отреагирует совершенный конкурентный рынок?

       Вполне  очевидно,  что  предприниматели   сократят  спрос   на   труд,

поскольку  для  них  выплачиваемая   рабочим   заработная   плата   является

издержками, а  так как ставка заработной платы  возросла,  то  предприниматели

не  могут  оставить  число  занятых  неизменным.  Модель  (11)  может   быть

использована  для сравнительного анализа состояния  равновесия  при  изменении

величин параметров s, ?, Z.

       Покажем на примере модели (20), рассмотренной выше, к  чему  приведет

увеличение в  данной отрасли заработной платы  вдвое (с s=10 до s=20):

         уровень занятости уменьшится  на 36% с R =0.107 до R =0.068,

         выпуск продукции уменьшится на 27% с Q  = 3.49 до Q  = 2.54,

         цена продукта увеличится на 52% с Р  =0.472 до Р  =0.719,

         значение нормы прибыли увеличится  на 13% с r* = 3.45 до r* =  3.91.

             Как видим, увеличение заработной  платы  неминуемо  приводит  к

тому, что какая-то часть рабочих должна  покинуть  отрасль.  Аналогичный  по

своему  воздействию  эффект  на  рынок   труда   производит   законодательно

устанавливаемый  минимум  заработной   платы.   В   западной   экономической

литературе  длительное   время   дискутируется   вопрос   об   эффективности

законодательства  о минимуме  заработной  платы.  В  США,  например,  минимум

заработной платы  установлен в размере 40-50% от среднего  уровня  заработной

платы в обрабатывающий промышленности. В настоящее время минимум  заработной

платы  в  США  составляет  4.75  долл.  в  час.  На  основе   многочисленных

исследований  подсчитано, что повышение  минимума  заработной  платы  на  10%

приводит к  сокращению занятости молодежи в возрасте 16-19  лет на  1—3%,  а

среди  лиц  наемного  труда  в  возрасте  от  20  до  24   лет   безработица

увеличивается на 1%. Общепризнанным  считается,  что  фиксированный  минимум

заработной  платы  оказывает  неблагоприятное  воздействие   на   занятость,

особенно низкооплачиваемых  категорий трудящихся.

Будем изменять в модели (20),  рассмотренной  в  приведенном  выше  примере,

величину заработной платы s. На рис. .9-12 показано, как с  изменением  s  в

условиях совершенной  конкуренции будут изменяться R* ,Q*, P*  и r*.

     Из  приведенных графиков следует,  что с увеличением заработной  платы  в

   условиях  равновесного состояния экономики  наблюдается  уменьшение  уровня

   занятости  R* и величины производимого продукта Q*. При этом цена продукта

   Р* и  величина банковского процента r* растут.

[pic]

|Рис.9. График  равновесного    |Рис. 10. График  равновесного значения|

|значения R* в  зависимости от  |Q* величины  производимого  продукта в|

|величины заработной  платы s   |зависимости от  уровня заработной     |