Методы алгебраических и дифференциальных уравнений для анализа и качественного исследования социально-экономических явлений

       III.  Неизменны  во   времени   экономические   интересы   партнеров:

предприниматели не пытаются увеличить  свою  прибыль,  рабочие  -  зарплату,

инвесторов устраивают проценты, получаемые по ценным бумагам, и т. д.

       Отвечающие  таким   предположениям   модели   описывают   равновесное

состояние идеальной  рыночной экономики в краткосрочном периоде. Этот  весьма

частный случай «застывшей» во времени  экономики  дает  ответ  на  вопрос  о

возможности  существования  экономического  равновесия,  формирующегося   из

рыночного  «хаоса»,  и,  кроме  того,   связывает   между   собой   основные

макропоказатели экономической системы.

       Рассмотрим одну из таких макромоделей - модель Кейнса. В этой  модели

краеугольным  камнем  является  положение  о  том,  что  рыночная  экономика

защищена от спада, что существуют определенные механизмы  саморегулирования,

постоянно приводящие объем выпускаемой продукции  к уровню,  соответствующему

полной   занятости.   Если   под   влиянием   каких-то   факторов   внешнего

происхождения (война, неурожай и т. п.) произойдет  спад  производства,  это

не будет длиться долго. Цены, заработная плата и процентная ставка  являются

гибкими, и они  вернут экономику в равновесное  состояние, когда рабочая  сила

будет полностью  нанята, и  все,  что  произведено,  -  продано.  Конкуренция

уравняет  спрос  и  предложение  на  всех  рынках.   В   этом   случае   нет

необходимости государственного вмешательства в  экономику.

       В кейнсианской модели все  участники рыночного экономического  процесса

действуют на рынках рабочей силы, продуктов и денег, где эти  товары  (труд,

продукты, деньги) распределяются и обмениваются  между  субъектами  рыночной

экономики.

       Первый макропоказатель экономической  системы - национальный доход  Q,

является единственным (для простоты) продуктом, производимым этой  системой

в единицу времени. Этот продукт вырабатывается  производственным  сектором

экономики, а  его величина дается функцией  F,  зависящей  от  количества  и

качества ресурсов, состава основных фондов и  числа  занятых  работников  R

(второй макропоказатель). В соответствии с предположением  II  в  состоянии

равновесия производственная функция F, а с нею  и  продукт  Q  определяются

лишь занятостью работников, т. е. 

                   Q=F{R).                                               (1)

       Относительно F(R) обычно считается, что F(0}=О,  F'(R)>О  при  R>0  и

F"(R)<О при  R>0 (рис. .2). Функция F(R) обладает  свойством  «насыщения»:  с

ростом R выпуск растет все медленнее. 
 
 

Q           Q=F(R) 

                                           Рис 2. Соотношение между

                                           рынками труда (R) и продукта(Q) 

O                                                                     R 
 

Такой подход вполне оправдан, поскольку при излишне  большом  числе  занятых

на производстве для них попросту не найдется соответствующего фронта работ.

       Соотношение, дополнительное к  соотношению (1), определяется с  помощью

одного из основных постулатов классической политэкономии:

       IV. Заработная плата s работника  равна  стоимости  продукта,  которая

была бы потеряна при уменьшении занятости на одну единицу.

       В этом постулате не учитываются  (считаются малыми)  другие  издержки,

которые отпали бы в результате сокращения одного рабочего места (затраты  на

ресурсы, оборудование и т д.). В  рассматриваемой  модели  заработная  плата

считается  заданной.  Она  определяется  в  результате   компромисса   между

работодателями  и нанимаемыми (реальная же зарплата зависит также  от  уровня

цен). 

       Таким образом, из постулата  IV получаем 

                                                                         (2) 

где  .Q(1) - количество продукта, потерянное  при  уменьшении  занятости  на

одну единицу, Р - цена продукта (так что  слева  в  равенстве  (2)  записана

величина потерянной стоимости). Если занятость изменилась  на  величину   R,

то из равенства (2), очевидно, имеем

              P=s   R,                                                   (3)

где     Q  =   Q          R  -  стоимость,  потерянная  или  полученная  при

изменении числа  работников на      R. Из равенства (3) следует 

                                                                         (4) 
 

Считая   R и  Q малыми в сравнении с R  и  Q,  перепишем  равенство  (4)  в

дифференциальной  форме: 

                                                                         (5) 
 

Из (5), принимая во внимание (1), получим

                F'(R)=s/P.                                               (6) 

       Поскольку F(R) задана (а с нею  и производная F'(R)), то при известных

макропоказателях s и Р из (6) можно найти уровень занятости R, а из (1) -  и

величину продукта Q.  Этот  уровень  отвечает  числу  работников,  согласных

трудиться за данную зарплату  при  данных  ценах  и  других  характеристиках

системы, а не вообще возможному числу наемных рабочих.  Предполагается,  что

для обеспечения  равновесного уровня занятости  всегда  найдется  достаточное

количество желающих работать на существующих условиях, т. е.:

       V.  Предложение  труда  не  сдерживает  производство,  число занятых

 определяется  спросом на труд со стороны  предпринимателей.

       Два уравнения (1) и (6)  содержат  четыре  величины.  Для  построения

 замкнутой  модели необходимо дальнейшее  рассмотрение рынка продуктов  и рынка

 финансов.

       Произведенный на рынке продукт  частично тратится  на  потребление,  а

 частично  сберегается:

                    Q=S+(,                                               (7) 

 где S - фондообразующий  продукт, т.  е.  сберегаемая   часть  произведенного

 продукта, возвращаемая в экономическую систему, а (  -  потребляемая  часть

 продукта, которая  в экономику не возвращается. 

[pic]

                                  Рис.  3.  Соотношение  между   потребляемой

частью прдукта (() и всем производимым продуктом (Q).

       Соотношение  между  величинами  S  и  (  определяется  из   следующих

соображений. Относительно величины ( считается, что:

       VI. Потребляемая часть выпуска  зависит от величины самого  выпуска, т.

е. ( =((Q). При этом функция ( (Q) обладает свойством «насыщения» так же,

как и функция F(R): чем больше  выпуск,  тем  меньшая  доля  дополнительного

выпуска    Q  тратится  на  потребление  (рис.  3)  и   тем   большая   доля

сберегается. Величина  d(/dQ=c(Q) называется  склонностью  к  потреблению  и

лежит в пределах 0 < с < 1. иначе при малых выпусках потреблялось бы  больше

продукта, чем  производилось  бы  (величина  d  =  1  -  с  -  склонность  к

накоплению). 
 

       Рис. 4. Зависимость спроса на инвестиции  (А)  от  нормы  банковского

              процента (r).

       Фондообразующий продукт

[pic] 

            s = q - ( (Q)                                                (8)

вкладывается  инвесторами  в   экономику   с                           целью

получить в  будущем  от  этих  инвестиций  доход.  В  модели  считается,  что

инвестиции эквивалентны   отложенному (отнесенному на  будущее)  потреблению

и потому  определяются  еще  одним  финансовым  макропоказателем  системы  -

нормой банковского  процента r. Действительно, cделав  инвестиции  в  размере

(А) и получив  через год доход D = Аr, инвестор  ничего не  теряет  (в  данном

примере и не выигрывает) по сравнению с вложением  этих средств  в  банк  под

процент r.  В  обоих  случаях  сегодняшнее  потребление  откладывается  ради

возможности большего потребления  в  следующем  году.  Спрос  на  инвестиции

задается функцией А(r) такой, что А'(r)<0 при Qr   :

при большой  норме процента инвестиции отсутствуют (рис. 4).

       В условиях  равновесия  предложение   фондообразующего  продукта  S(Q)

сбалансировано  со спросом на инвестиции А(r), следовательно,  S(Q)  =  A(r).

Из этого равенства  и равенства (8) следует

            Q - ((Q)=A(r).                                               (9) 
 
 

       Для  окончательного   замыкания   математической   модели   рыночного

равновесия с  совершенной конкуренцией рассматривается  рынок финансов.  Чтобы

произвести  покупки  товара  Q  (как   фондообразующего,   вкладываемого   в

экономику, так  и идущего на потребление), нужны  деньги. Относительно  спроса

на деньги делается следующее предположение:

       VII. Спрос на деньги представляет  собой сумму операционного спроса  и

спроса спекулятивного.

                             Рис 5. Зависимость спекулятивного  спроса (I) от

                             нормы процента (r) 
 
 

       Операционный спрос  определяется  количеством  денег,  которое   нужно

иметь на руках, чтобы производить покупки товара  Q  (как  фондообразующего,

так и  идущего  на  потребление).  Если  цена  продукта  равна  Р,  а  время

обращения равно (, то операционный спрос равен величине (PQ

       Спекулятивный спрос связан с  величиной нормы процента r.  Если  норма

процента высока, то большую часть денег их владельцы  предпочитают хранить  в

банке, рассчитывая  на  хороший  доход  и  жертвуя  более  высокой  степенью

ликвидности банкнот (способностью обмениваться на продукты)  в  сравнении  с

банковскими обязательствами.  При  низкой  процентной  ставке  спекулятивный