Методы алгебраических и дифференциальных уравнений для анализа и качественного исследования социально-экономических явлений

Методы алгебраических и дифференциальных уравнений для  анализа и качественного исследования социально-экономических явлений (По дисциплине: Математические методы моделирования  процессов управления в социальной сфере)

                                  ВВЕДЕНИЕ 
 

       Рынок представляет собой систему  саморегулирования экономики по  таким

 параметрам,  как  величина  покупательного  спроса,   качество   продукции,

 общественно  необходимые затраты труда, объем  производства товаров и  услуг.

 Механизм  саморегулирования  включает  в  себя  свободные  рыночные   цены,

 экономическую  конкуренцию между производителями,  свободный  выбор  деловых

 партнеров.

       Регулирование  рынка  со  стороны  центра  осуществляется  с  помощью

 экономических  рычагов  -  таких,  как  налоговая,  финансовая  и  кредитная

 политика, цены  на отдельные группы товаров,  система  дотаций  и  социальной

 защиты  человека.  В  процессе  регулирования   рынка   должны   учитываться

 экономические  интересы как производителей, так  и потребителей.

      Естественно, что для описания  некоторых элементов рыночного   механизма

используются  простейшие  математические  модели.  Такие  модели  отображают

только  самые  общие  свойства  экономических  систем.   В   данной   работе

приводится  способ  исследования   социально-экономических   явлений   путем

составления алгебраических и дифференциальных уравнений. 

             1. Простейшая модель изменения  зарплаты и занятости 

       Характерная черта рыночной системы  хозяйства - наличие  рынка   труда,

на котором  взаимодействуют  работодатели  и  наемные  рабочие.  Пусть  все

участники рынка  труда располагают на этом рынке  одинаковой  информацией  в

одинаковом  объеме  и  принимают  на  основе  этой  информации   наилучшие,

оптимальные для  себя решения. Взаимодействие спроса и предложения  на  этом

цивилизованном  рынке приводит к равновесию, при  котором за  плату'  p  >  0

согласны работать N > 0 человек. Если по каким-то причинам  это  равновесие

со временем нарушается (например, часть  работников  уходит  на  пенсию  по

возрасту, либо у работодателя возникают финансовые трудности),  то  функции

P(t) и N(t) отклоняются  от р ,N .

       Функции P(t) и N(t)  рассматриваются   как  непрерывные  и  достаточно

гладкие. Эти  условия принимаются исключительно из соображений,  связанных  с

математическими действиями, основывающимися на свойствах  достаточно  гладких

решений.

       Будем считать, что число   работников  увеличивается  или   уменьшается

пропорционально росту или уменьшению зарплаты относительно значения p  . 
 

       Тогда 

                                                                         (1) 
 

       Предположим, что работодатели  изменяют зарплату также пропорционально

отклонению численности  занятых от равновесного значения n ,т. е. 

                                                                         (2) 
 
 

       Дифференцируя равенство (1) по t, получим d N/dt2 = a dP/dl. Из этого

равенства в  силу (2) следует d N/dt -= -a a (N - n ), откуда 

                                                                         (3) 
 
 

Общее решение  уравнения (3), имеет вид

                                                                         (4) 
 

где C  и С  - произвольные постоянные. 

       Из (1) в силу (4) получаем 

                                                                         (5) 
 
 

       Умножим уравнения (4), (5) соответственно  на      и       ,  возведем

затем в квадрат  левые и правые части получившихся равенств.  После  сложения

левых и правых частей будем иметь 
 

                                            (P-P  )2+    (N-No)   2=const>0.

                                     (6) 

       Рассматривая  значения  переменных  N,  Р  как  координаты  точки  на

плоскости,  можно  геометрически  представить  состояние  рынка  посредством

точки  M(N,P).  Эту  точку  в  теории  дифференциальных  уравнений  называют

фазовой точкой, а плоскость ONP, на которой интерпретируется решение (6),  -

фазовой плоскостью. Решение (3),  (4)  представляет  собой  некоторый  закон

движения точки M(N,P) на фазовой плоскости.

       Из графика кривой (6) видно (рис. 1),  что  при  различных   значениях

const мы будем  получать различные эллипсы с  центром в  точке  (n   ,  P   ),

отвечающие соответствующим  начальным условиям N и Р. 
 

                                                                       [pic] 

       Рис 1. 

       Соотношение между зарплатой  (Р) и числом 

       работников (N) при нарушении равновесия. 
 
 

      Точка  M(N,P),  находящаяся  на  эллипсе,  опишет  за  конечное  время

замкнутую кривую и за  время t=2   /           возвратится в свое  начальное

положение,  возобновив  то  же  самое   движение.   Следовательно,   имеется

периодичность с периодом 2   /           .

      Из уравнения (6) видно (см. также  рис. 1),  что  в  некоторые  моменты

времени t, когда N =  N  (т.  е.  когда  число  занятых  становится  равным

равновесному  значению), имеем Р>Р , т.е. зарплата превышает равновесную,  а

при Р = p   получаем N > n   , т. е. число занятых больше  равновесного.  В

эти  моменты  фонд  заработной  платы,  равный  PN,  превышает равновесное

значение PoNo или  меньше его). Но в среднем за период колебаний величина PN

, равна PoNo .

   Замечание.  Построенная модель основана  на правдоподобных представлениях  о

характере взаимодействия работодателя и наемных рабочих.

        2. Равновесие в краткосрочном  периоде, в условиях совершенной

                                 конкуренции 

       Любой  участник  рыночного   экономического   процесса   действует   в

соответствии  со  своими  индивидуальными  интересами  (извлечение  прибыли,

улучшение условий  труда, минимизация риска, экономия  ресурсов  и  т.  д.).

Миллионы потребителей принимают самостоятельные решения, какие товары  и  в

каком количестве покупать, а огромное число предпринимателей самостоятельно

решают, что и  как производить.

       Координацию всех независимо  принимаемых решений осуществляет  рыночный

механизм, важную роль в котором играет конкуренция. Она  сдерживает  частные

интересы, направляет их на  производство  общественно  необходимых  товаров.

Конкуренция  непременно  приводит   к   тому,   что   ограниченные   ресурсы

используются  более полно  и  эффективно.  Они  устремляются  в  те  отрасли,

которые  производят  необходимую  для   потребителя   и   рентабельную   для

товаропроизводителя продукцию.

       Одной из главных целей   экономики  как  науки   является  исследование

того, как взаимодействие спроса  и  предложения  приводит  к  равновесию  на

конкурентном  рынке  в  условиях,  когда  индивидуальные  решения  участников

рынка мотивируются собственным частным интересом и вовсе  не  направлены  на

достижение равновесия между  производством  и  потреблением.  В  этой  главе

исследуется   простейший   вариант   рыночной   экономики,   введя   понятие

«совершенный  конкурентный рынок»,  т.  е.  рынок,  каждый  субъект  которого

экономически  ничтожно  мал  и  не  оказывает  непосредственного  влияния  на

уровень производства, цены, зарплату, и все  участники  рыночного  процесса,

располагая  одинаковой  информацией,  принимают  на  ее  основе   наилучшие,

оптимальные для  себя решения. Теория совершенного конкурентного  рынка  может

служить основой  для выявления  закономерностей,  внутренне  присущих  другим

рыночным структурам.

       Картину совершенного конкурентного  рынка можно сравнить  с  идеальной

механической  системой, в  которой  совершенно  не  учтено  трение  между  ее

деталями и  элементами.  И  совершенный  конкурентный  рынок,  и  упомянутая

идеальная механическая  система  позволяют  определять  главные  особенности

изучаемых явлений, однако  на  практике  необходимо  учитывать  и  трение  в

механической  конструкции,  и  многие  факторы,  действующие  на  конкретном

реальном конкурентном рынке.

       При рассмотрении совершенного  конкурентного рынка будем   исходить  из

того, что разобщенные  действия участников рыночного экономического  процесса

могут складываться через  существующую  систему  отношений  купли-продажи  в

совокупную согласованную  картину действий работодателей  и  наемных  рабочих,

финансистов и  вкладчиков и т. д.  Если  в результате  такого  коллективного

взаимодействия  общее  производство  товаров  и  услуг  согласовано  с  общим

спросом на них, то  такое  состояние  экономики  называется  равновесным,  а

устанавливающиеся при этом цены  -  равновесными рыночными ценами.  Баланс

между спросом  и предложением имеет место, не при  произвольных, а именно  при

рыночных ценах, что означает, в частности, платежеспособность спроса.

       Наиболее простые математические  модели  экономического  равновесия  в

условиях совершенной конкуренции строятся при следующих предположениях:

       I.   Объемы   производства   отдельных   товаропроизводителей   столь

незначительны в сравнении с выпуском  всей  отрасли  и  изменяются  в  таких

пределах, что  это  не  оказывает  никакого  влияния на  цену  продаваемого

товара.

       II. Производственные возможности  отрасли,  где  функционирует   фирма-

товаропроизводитель, неизменны.