МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

    Белорусский национальный технический  университет

    Факультет технологий управления и гуманитаризации

    Кафедра менеджмента 
 

    курсовая  работа

    по  дисциплине «Экономико-математические методы»

    на  тему:

    «лИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕ»

    В - 10 

Исполнитель:                                            студентка гр.108116  Коваленко М.Н.   

Руководитель:                                            
 
 
 

    Минск 2010 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Оглавление

Введение 3

Глава 1. Теоретическая часть 6

1.1. Решение оптимизационной задачи линейного программирования 6

1.2. Симплекс-метод 10

1.3. Технология решения задач линейного программирования с помощью режима Поиска решений в среде EXCEL. 16

Первая  теорема двойственности. 24

Вторая  теорема двойственности 25

Теорема об оценках. 26

1.5. Области допустимых решений для двойственных переменных 26 
 
 
 

Введение

    Оптимизация - целенаправленная деятельность, заключающаяся в получении наилучших результатов при соответствующих условиях.

    Поиски  оптимальных решений привели  к созданию специальных математических методов и уже в 18 веке были заложены математические основы оптимизации (вариационное исчисление, численные методы и др). Однако до второй половины 20 века методы оптимизации во многих областях науки  и техники применялись очень  редко, поскольку практическое использование  математических методов оптимизации  требовало огромной вычислительной работы, которую без ЭВМ реализовать  было крайне трудно, а в ряде случаев - невозможно.

    Для принятия оптимальных решений необходимо использовать научный метод. В науке  управления научный метод подразумевает  наличие определенной структуры  процесса принятия решений и использование  различных методов и моделей  принятия решений.

    Математическая модель — это математическое представление реальности.

    Математическое моделирование — процесс построения и изучения математических моделей.

    Все естественные и общественные науки, использующие математический аппарат, по сути занимаются математическим моделированием: заменяют реальный объект его математической моделью и затем изучают последнюю.

    Проведение  операционного исследования, построение и расчет математической модели позволяют  проанализировать ситуацию и выбрать  оптимальные решения по управлению ею или обосновать предложенные решения. Цель, которая преследуется в процессе исследования операций, заключается  в том, чтобы выявить оптимальный  способ действия при решении той  или иной задачи организационного управления в условиях, когда имеют место ограничения технико-экономического или какого-либо другого характера.

    За  последние 30-40 лет методы моделирования  экономики разрабатывались очень  интенсивно. Они строились для  теоретических целей экономического анализа и для практических целей  планирования, управления и прогноза. Содержательно модели экономики  объединяют такие основные процессы: производство, планирование, управление, финансы и т.д. Однако в соответствующих  моделях всегда упор делается на какой-нибудь один процесс (например, процесс планирования), тогда как все остальные представляются в упрощенном виде.

    В зависимости от своей постановки любая из задач оптимизации может решаться различными методами, и наоборот – любой метод может применяться для решения многих задач. Методы оптимизации могут быть  скалярными (оптимизация проводится по одному критерию), векторными (оптимизация проводится по многим критериям), поисковыми (включают методы регулярного и методы случайного поиска), аналитическими (методы дифференциального исчисления, методы вариационного исчисления и др.), вычислительными (основаны на математическом программировании, которое может быть линейным, нелинейным, дискретным, динамическим, стохастическим, эвристическим и т.д.), теоретико-вероятностными, теоретико-игровыми и др. Подвергаться оптимизации могут задачи как с ограничениями, так и без них.

    Нелинейные  модели - это модели, в которых либо целевая функция, либо какое-нибудь из ограничений (либо все ограничения) нелинейные по управляющим переменным. Для нелинейных моделей нет единого метода расчета. В зависимости от вида нелинейности, свойств функции и ограничений можно предложить различные способы решения. Однако может случится и так, что для поставленной нелинейной задачи вообще не существует метода расчета. В этом случае задачу следует упростить, либо сведя ее к известным линейным моделям, либо просто линеаризовав модель.

    В линейных моделях целевая функция и ограничения линейны по управляющим переменным. Построение и расчет линейных моделей являются наиболее развитым разделом математического моделирования, поэтому часто к ним стараются свести и другие задачи либо на этапе постановки, либо в процессе решения. К классическим задачам линейного программирования относятся задачи на составление оптимального плана перевозок (транспортная задача), задачи о загрузке оборудования, о смесях, о раскрое материалов, об ассортименте продукции, о размещении производства и управлении производственными запасами, задачи о питании, о рациональном использовании сырья и материалов и др. Для линейных моделей любого вида и достаточно большой размерности известны следующие стандартные методы решения:

1. Графический метод;
2. Симплекс-метод;
3. Двухэтапный метод. Он позволяет получить сначала стартовую точку, т.е. начальное допустимое решение, а затем оптимальное решение. В ограничения вводятся искусственные переменные необходимые для получения стартовой точки;
4. Метод больших штрафов.

Глава 1. Теоретическая  часть

1. Решение оптимизационной  задачи линейного  программирования

    Линейное  программирование - один из первых и  наиболее подробно изученных разделов математического программирования. Именно линейное программирование явилось  тем разделом, с которого начала развиваться сама дисциплина «математическое программирование». Термин «программирование» в названии дисциплины ничего общего с термином «программирование (т.е. составление программ) для ЭВМ» не имеет, так как дисциплина «линейное программирование» возникла еще до того времени, когда ЭВМ стали широко применяться при решении математических, инженерных, экономических и др. задач. Термин «линейное программирование» возник в результате неточного перевода английского «linear programming». Одно из значений слова «programming» - составление планов, планирование. Следовательно, правильным переводом «linear programming» было бы не «линейное программирование», а «линейное планирование», что более точно отражает содержание дисциплины. Однако, термин линейное программирование, нелинейное программирование и т.д. в нашей литературе стали общепринятыми.

    Можно сказать, что линейное программирование применимо для построения математических моделей тех процессов, в основу которых может быть положена гипотеза линейного представления реального  мира: экономических задач, задач  управления и планирования, оптимального размещения оборудования и пр.

    Задачами  линейного программирования называются задачи, в которых линейны как целевая функция, так и ограничения в виде равенств и неравенств. Кратко задачу линейного программирования можно сформулировать следующим образом: найти вектор значений переменных, доставляющих экстремум линейной целевой функции при m ограничениях в виде линейных равенств или неравенств.

    Первые  постановки задач линейного программирования были сформулированы известным советским  математиком Л.В.Канторовичем, которому за эти работы была присуждена Нобелевская  премия по экономике.

    Значительное  развитие теория и алгоритмический  аппарат линейного программирования получили с изобретением и распространением ЭВМ и формулировкой американским математиком Дж. Данцингом симплекс-метода.

    В настоящее время линейное программирование является одним из наиболее употребительных  аппаратов математической теории оптимального принятия решения. Для решения задач  линейного программирования разработано  сложное программное обеспечение, дающее возможность эффективно и надежно решать практические задачи больших объемов. Эти программы и системы снабжены развитыми системами подготовки исходных данных, средствами их анализа и представления полученных результатов.

    Искусство математического моделирования  состоит в том, чтобы учесть как  можно больше факторов по возможности  простыми средствами. Именно в силу этого процесс моделирования  часто носит итеративный характер. На первой стадии строится относительно простая модель и проводится ее исследование, позволяющее понять, какие из существенных свойств изучаемого объекта не улавливаются данной формальной схемой. Затем происходит уточнение, усложнение модели.

    В большинстве случаев первой степенью приближения к реальности является модель, в которой все зависимости  между переменными, характеризующими состояние объекта, предполагаются линейными. Здесь имеется полная аналогия с тем, как весьма важна  и зачастую исчерпывающая информация о поведении произвольной функции  получается на основе изучения ее производной  — происходит замена этой функции  в окрестности каждой точки линейной зависимостью. Значительное количество экономических, технических и других процессов достаточно хорошо и полно  описывается линейными моделями.

    Современные методы линейного программирования достаточно надежно решают задачи общего вида с несколькими тысячами ограничений  и десятками тысяч переменных. Для решения сверхбольших задач  используются уже, как правило, специализированные методы.

    Различают три основные формы задач линейного  программирование в зависимости  от наличия ограничений разного  типа.

    Стандартная задача ЛП

           _(1.1)

    или, в матричной записи,

    

    где — матрица коэффициентов. Вектор называется вектором коэффициентов линейной формы, — вектором ограничений.

    Стандартная задача важна ввиду наличия большого числа прикладных моделей, сводящихся наиболее естественным образом к  этому классу задач ЛП.

    Каноническая  задача ЛП

                                                                            _(1.2)

    или, в матричной записи,

    

    Основные  вычислительные схемы решения задач  ЛП разработаны именно для канонической задачи.