Квадратичные формы

gn="justify">где {z_i} — координаты х в базисе . Нужно доказать, что k = m.

   Предположим,  что  например k>m. Рассмотрим формулы преобразования координат                 

         (3)

   Заметим,  что матрица Q коэффициентов невырождена.

   Подставим   выражения   (3)   в   формулу  (2).   Мы должны получить выражение  (1); таким образом, имеем тождество

         (4)

т. е. равенство, верное при любых у₁, ...,у_r, у_r+1…,y_n, считая, что z₁,..., z_n выражены через у₁, ..., у_п с помощью (3).

   Составим  вспомогательную однородную систему  уравнений

         (5)

  В  системе (5) число неизвестных  больше числа уравнений вследствие  предположения k>m. Поэтому система (5) имеет нетривиальное решение y₁,…,y_k. Подставим это решение в тождество (4), взяв дополнительно

         (6)

   В  результате, учитывая (3), (5) и (6), получим

         (7)

Однако это  невозможно, так как левая часть (7) строго положительна, тогда как правая либо отрицательна, либо равна нулю. Значит, k не может быть больше т. Теорема доказана. 

1.8 Положительно-определённая  квадратичная форма

   Определение 1. Форма f(x) называется положительно определенной, если f(x) > 0 для всех .

   Заметим,  что  всегда. В самом деле, так как =0*z и f(x) = а (х, х), где z — произвольный вектор, а (х, у) — билинейная функция, то

   Квадратичная  форма f(x) называется отрицательно определенной, если f(x)<0 для любого .

   Очевидно, что достаточно рассмотреть положительно  определенные формы, поскольку отрицательно определенные получаются из них сменой знака.

   Ограничиваясь квадратичными формами в конечномерных (n-мерных) пространствах, укажем прежде всего ряд простых необходимых признаков положительной определенности. Пусть в каком-нибудь базисе е₁ .,., е_п дана квадратичная форма

  Как  нам известно,

   1) Если f(x) является  положительно   определенной,   то при всех i=1,2, ..., п.

   2) Если форма f(x) положительно определена, то определитель ее матрицы положителен:

   Для  доказательства приведем f(x) к каноническому виду. Пусть — канонический базис, то есть базис, в котором f(x) имеет канонический вид:

   Согласно  предыдущему признаку все 

   Обозначим  через  определитель матрицы формы f(x) в каноническом базисе.   Имеем

   С другой стороны

значит,

   Замечание. И это условие не является достаточным для положительной определенности квадратичной формы. Пример: форма

имеет однако

   3) В n-мерном пространстве каждая положительно определенная форма имеет ранг п. Доказательство вытекает из неравенства

    Теорема (критерий Сильвестра). Для положительной определенности квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры ее матрицы были положительны.

   Доказательство необходимости. Пусть форма f{x) положительно определена. Возьмем произвольный базис построим линейную оболочку Будем теперь рассматривать квадратичную форму f{x) не на вcём пространстве, а лишь  на подпространстве

   Если то и

   Все  остальные члены, у коэффициентов  которых хотя бы один из  двух индексов больше k, исчезают за счет нулевых значений координат.

   Форма  f(x) на подпространстве является положительно определенной, так как она положительно определена на всем пространстве. Поэтому определитель формы f(x), рассматриваемой на положителен:

   Но  — главный минор порядка k матрицы квадратичной формы f(x), индекс k может принимать значения 1, 2,..., п. Тем   самым необходимость признака доказана.

   Доказательство  достаточности. Пусть  при k= 1,..., п.

Приведем  квадратичную форму к каноническому  виду методом Якоби. Получим

Бели  , то хотя бы одна из координат , и, следовательно, . Теорема доказана.

    Обратим внимание на двумерный случай. Пусть

где   на   этот   раз   числовые   аргументы   формы   обозначены через х, у.

Условие Сильвестра сводится к неравенствам

   Разумеется, в двумерном случае теорему  Сильвестра можно установить  без какой-либо специальной теории, поскольку для положительной  определенности необходимо a > 0 и при а > 0