Квадратичные формы

   Пример.   Пусть L — линейное пространство функций, непрерывных на отрезке [0, 1].

   Рассмотрим  функцию

аргумент  которой x = x(t)ЄL.

   Имеем

          (5)

   Нетрудно  непосредственно проверить, что  в правой части равенства (5) стоит билинейная форма. Таким  образом, f{x) есть квадратичная форма в бесконечномерном пространстве L.

    Вернемся к n-мерному случаю. В n-мерном пространстве рассмотрим квадратичную форму и запишем ее выражение через координаты аргументов.

Пусть а (х,у) = а (у, х), х=у. Тогда

……….…………………………

         (6)

   Если  принять во внимание симметричность  коэффициентов, то члены суммы (6), кроме диагональных, естественно объединяются в пары. При этом получается часто употребляемая запись квадратичной формы в виде

       .  (7)

   Заметим,  что в первой  строчке  формулы  (7)  выписаны все члены, содержащие  x₁.

   Ранг квадратичной формы по определению равен рангу ее матрицы: г = Rang A.

   Канонический вид квадратичной формы. Если в некотором базисе окажется, что все коэффициенты a_ik = 0 при i ≠ k, то говорят, что в этом базисе квадратичная форма имеет канонический вид

      Приведение квадратичной формы  к каноническому виду является  важной задачей как в теоретических  вопросах, так и в прикладной  математике. Ниже рассмотрим два  метода приведения квадратичной  формы к каноническому виду: метод Лагранжа и метод Якоби.

  Если  Rang = r < n, то после надлежащего изменения номеров матрицу можно записать в виде

.

    Замечание. Если привести к каноническому виду квадратичную форму, то одновременно приведется к диагональному виду и ее билинейная форма

  Нормальный вид квадратичной формы

         (8)

считая, что  у₁,..., у_r, уr+1,..., у_п— новые координаты вектора х. Выражение (8) называется нормальным видом квадратичной формы f(x).

   В комплексном  пространстве всякую  квадратичную форму  можно с помощью  невырожденного линейного  преобразования привести к нормальному виду (8).

   Ограничимся теперь действительными пространствами и действительными линейными преобразованиями. Учитывая, что среди коэффициентов а_ii могут быть отрицательные, положим

         (9)

   Если  первые k коэффициентов а_ii положительны, а остальные отрицательны, то мы получим

       .  (9*)

   Выражение  (9*) также называется нормальным  видом формы f(x). 
 

1.4 Матрица квадратичных  форм. Теорема о  ранге матрицы

  Вся квадратичная форма может быть записана в виде

  

  

 

           (1)

  …………………………………….

  

  Ясно, что коэффициенты   формы в записи (1) определены одназначно. Составленная из них матрица

  

  Называется  матрицей квадратичной формы  Ввиду   элементы матрицы A, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны между собой. Следовательно , т.е. A – симметричная матрица.

  Очевидно, что для любой симметричной  матрицы A всегда можно указать такую квадратичную форму, что её матрица совпадает с A. Если две квадратичные формы имеют одну и ту же матрицу, то эти формы могут отличаться друг от друга обозначением переменных, что не имеет существенного значения. Две такие квадратичные формы мы можем считать одинаковыми. Таким образом, квадратичные формы вполне определяются своими матрицами.

   Теорема о ранге матрицы. Ранг произвольной матрицы равен максимальному порядку ее миноров, отличных от нуля.

   Доказательство. Если Rang А = 0, то A — нулевая матрица, и у нее нет отличных от нуля миноров. Естественно считать в этом случае, что максимальный порядок отличных от нуля миноров равен нулю.

   Пусть  далее матрица А — не нулевая. Если некоторый ее минор М порядка r не равен нулю, а все миноры более высокого порядка равны нулю или отсутствуют вовсе, то М является базисным минором. По лемме о базисном миноре столбцы матрицы А, пересекающие минор М, линейно независимы. Поэтому Rang A≥r . По той же лемме любой столбец матрицы А линейно выражается через базисные столбцы. Отсюда, применяя лемму , находим, что Rang A≤r. Таким образом, Rang A=r, что и требовалось доказать. 
 
 
 
 
 

1.5 Различные способы  приведения квадратичных  форм к каноническому  виду и к нормальному  виду. 

   Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа.

   Пусть  дана квадратичная форма f(x)=а(х,х). Вследствие формулы

 мы можем в  любом базисе   записать f(x) в виде

          (1)

где g — квадратичная форма, не включающая x₁.

   Запись  вида (1) позволяет доказать возможность  приведения квадратичной формы к каноническому виду по индукции.

   Теорема. Каждую квадратичную форму с помощью невырожденного линейного преобразования можно привести к каноническому виду.

   Замечание. Здесь речь идет о преобразовании переменных, именно числовых аргументов х₁,...,х_п многочлена (1). Но теорему можно понимать и геометрически, поскольку всякое невырожденное преобразование переменных можно рассматривать как преобразование координат при переходе к новому базису.

  Доказательство теоремы. Квадратичная форма от одного переменного всегда имеет канонический вид Примем как предположение   индукции,   что   любую   квадратичную форму от (n—1) числовых   аргументов   можно привести к каноническому виду невырожденным линейным преобразованием (n—1) переменных.

   Рассмотрим  произвольную  квадратичную   форму f(x) от n числовых аргументов:

   Пользуясь  предположением индукции, докажем,  что ее можно привести к  каноническому виду невырожденным  линейным преобразованием n переменных. Возможны два случая:

1) Первый случай. В квадратичной форме  хотя  f(x) хотя бы один из коэффициентов   а_ij   при   квадратах   переменных отличен от нуля. Не нарушая общности, можем считать, что

именно  а₁₁≠ 0. По данным   коэффициентам формы f(x) coставим следующее линейное преобразование:

         (2)

Матрицу этого преобразования обозначим Q:

   Преобразование (2) невырождено, так как Det Q = a₁₁ ≠ 0 . Отметим также, что невырожденность преобразования (2) вытекает из его обратимости, которая в свою очередь сразу видна из формул (2).

   Возведем  в квадрат выражение y₁ и разделим на a₁₁ ≠ 0:

где — некоторая квадратичная форма аргументов х_2,...,х_п, т. е.   не включает x₁. Введем еще одну квадратичную форму тех же аргументов х₂,..., х_п, положив

где g{x₂,..., х_п) дана  записью f(x) в   виде  (1).   Тогда   получим

или, что то же самое,

   По предположению  индукции существует такое невырожденное преобразование переменных в числе п—1

          (3)

которое приводит к  каноническому виду форму  : 

   Дополним   преобразование (3) так, чтобы в  нем участвовали все п переменных. Именно, положим

         (4)

   Преобразуем  переменные x₁..., x_n в переменные  у₁,... ...,у_п по формулам (2), а затем переменные y₁,…,у_п преобразуем по формулам (4). В результате получим преобразование переменных х₁..., х_п в переменные z₁,...,z_n которое приводит исходную квадратичную форму к  каноническому виду

    Последнее преобразование является  невырожденным, так как представляет  собой произведение невырожденных  преобразований (2) и (4).

    Второй случай. В квадратичной форме f(x) все, диагональные коэффициенты а_ii равны нулю. Тогда предыдущие рассуждения неприменимы. Но какой-нибудь из коэффициентов отличен от нуля; пусть это будет а₁₂. Тогда квадратичная форма имеет вид

         (5)

     Сделаем  преобразование:

        (6)

    Преобразование (6) обратимо и, следовательно,  является невырожденным.

    Подставив величины (6) в квадратичную  форму (5), получим

         (7)

    Слагаемое  не может исчезнуть при приведении подобных членов, так как все члены квадратичной формы, которые не выписаны в выражении (5), не содержат произведения и не могут в результате преобразования (6) дать величину

   Далее  квадратичную форму (7) можно невырожденным  преобразованием привести к каноническому  виду, поскольку дело свелось  к первому случаю: коэффициент  при  отличен от нуля.

   Тем самым  рассуждения индукции завершены  и теорема доказана.

   3 а м е ч а н и е. Из доказательства видно, что квадратичную форму с действительными коэффициентами можно привести к каноническому виду с помощью невырожденного линейного преобразования, которое также имеет действительные коэффициенты.

  Приведение квадратичной  формы к каноническому  виду методом Якоби.

  Пусть дана квадратичная форма f(x), которая расписана в координатах в некотором базисе е₁,…, е_п:

   Как  известно,

   Составим  матрицу квадратичной формы  f(x):

   Рассмотрим  так называемые главные миноры  матрицы А:

    

         (1)

   Кроме  того, для удобства записи дальнейших  формул введем величину  считая =1.

   Метод  Якоби проходит в предположении,  что все главные миноры матрицы  А отличны от нуля:

         …  (2)

   При   этих   предположениях   ищется   специальный   новый базис такой,  чтобы

         (3)

   Для  того чтобы привести квадратичную  форму f(x) к каноническому виду, достаточно для любого обеспечить условия