Квадратичные формы

        при   (4)

   Тогда тоже будут равны нулю (вследствие симметричности матрицы квадратичной формы), и отличными от нуля окажутся лишь коэффициенты при квадратах числовых аргументов.

   Заметим,   что для выполнения условий   (4) достаточно потребовать соблюдения равенств

                (5)

   В  самом деле, из (5) и (3) имеем

   Для  упрощения дальнейших выводов  добавим к (5) дополнительное равенство

         (6)

   При k = 1 условия (5) исчезают и остается только (6), из которого, с учетом   первой строчки формул   (3), находим

   Отсюда

  поскольку .

   Учитывая  обозначения (1), можно  написать

   Дальше будем проводить рассуждение по индукции. Допустим, что уже определены все коэффициенты, входящие в первые k—1 строк формул (3). Для нахождения коэффициентов, входящих в строку с номером k, запишем условия (5), и (6) вместе

         (7)

   Отсюда, используя (3), получим для искомых  коэффициентов систему уравнений

         (7а)

   Определитель  системы (7а) совпадает с  и отличен от нуля вследствие предположения (2). Поэтому искомые коэффициенты Р_k1, ..., Р_kk найдутся. Остается проверить, что построенное преобразование невырождено. С этой целью найдем из системы (7а) коэффициент P_kk. Применяя правило Крамера, получим

         (8)

   Далее,  используя треугольную структуру  матрицы преобразования (3), найдем определитель D этой матрицы:

.

Таким образом,   ,  а значит, преобразование (3) невырождено.

   Теперь  мы можем определить и коэффициенты  квадратичной формы в новом базисе Достаточно вычислить лишь диагональные коэффициенты, так как остальные заведомо равны нулю. Используя (3), (7) и (8), находим

   Значит, в базисе, который построен по  методу Якоби,

  Приведение квадратичных форм к нормальному виду.

  Пусть квадратичная форма f(x) приведена к каноническому виду

         (1)

где а₁₁,..., а_r ≠ 0, r — ранг f(x).

  Допустим, что мы имеем дело с  комплексным  пространством    и    разрешаем    себе    пользоваться    линейными

преобразованиями  с комплексными коэффициентами. Положим

         (2)

Из (1) и (2) получим

         (3)

считая, что  у₁,..., у_r, уr+1,..., у_п— новые координаты вектора х. Выражение (3) называется нормальным видом квадратичной формы f(x). Заметив, что преобразование (2) невырождено, сделаем  вывод:

   В комплексном пространстве всякую квадратичную форму можно с помощью невырожденного линейного преобразования привести к нормальному виду (3). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1.6 Формулы преобразования  и матрицы преобразования.

   Переход от одной  аффинной системы  координат к другой  с тем же началом. Аффинная координатная система, или аффинный репер о пространстве, есть тройка некомпланарных векторов данных в определенном порядке и приложенных к точке О — началу репера.

   Тройка  векторов называется иногда базисом репера или координатной системы.

   Если  наряду с репером  который будем условно называть «старым», дан «новый» репер с началом О' и базисом то возникает общая задача преобразования координат: по координатам произвольной точки М (произвольного вектора u) в одной из двух систем координат найти координаты той же Точки (того же вектора) в другой системе.

   Предположим, что оба репера имеют одно и то же начало О. Тогда новый репер вполне определен, если заданы векторы своими координатами (относительно старого базиса), т. е. если даны коэффициенты в равенствах

         (1)

   Матрица

называется  матрицей перехода от базиса к базису а также матрицей перехода от первого репера ко второму. Так как векторы линейно независимы, то детерминант матрицы А* отличен от нуля — матрица перехода от одного базиса к другому есть всегда невырожденная матрица. Так как векторы образуют базис, то каждый из векторов в свою очередь однозначно представим как линейная комбинация векторов

         (1’)

- уравнения (1) однозначно разрешимы относительно старых единичных векторов

  Посмотрим, как связаны между собой координаты x, у, г и х', у', г' произвольной точки М (произвольного вектора u = ОМ) в старой и новой координатных системах.

  Вектор  и=ОМ записывается, во-первых, как линейная комбинация векторов с коэффициентами х, у, г и, во-вторых, как линейная комбинация векторов с коэффициентами х', у', г', так что имеем тождество

  Вносим в это тождество выражения из (1); получаем

   Но вектор u единственным образом представляется как линейная комбинация векторов , следовательно, коэффициенты при векторах в левой и правой частях последнего равенства должны быть одни и те же, т. е.

         (2)

   Эти формулы и выражают старые координаты х, у, г точки М (вектора u) через новые. Матрица

         (3)

дающая это  выражение, называется матрицей преобразования координат; она является транспонированной по отношению к матрице А* перехода от базиса к базису . Обе матрицы имеют один и тот же отличный от нуля детерминант.

  2. Переход от одной  аффинной системы  координат к другой  с изменением начала  координат. Общий случай перехода от репера к реперу сводится к комбинации двух случаев переноса начала и только что разобранного случая перехода от одного базиса к другому. В самом деле, рассмотрим наряду с двумя реперами и еще третий, «промежуточный», имеющий начало О' = (x₀, y₀, z₀) и базис ; координаты точки относительно этого промежуточного репера обозначим через х", у", z". Тогда х=x₀+ х", у=y₀+ у", z=z₀ + z", где х", у", z" выражаются через х', у', z' по формулам (2) (в которых, естественно, надо х, у, z (слева) соответственно заменить на х", у", z". Получаем окончательно:

в пространстве:

          (4₃)

на  плоскости

         (4₂)

Это н есть общие формулы преобразования координат  для двух произвольных аффинных координатных систем. Матрица

коэффициентов в равенствах (4₃) соответственно (4₂) называется матрицей преобразования координат.

Переход от одной прямоугольной системы  координат к другой

   Случай прямоугольного репера на плоскости. Можно ограничиться реперами с общим началом. Базис прямоугольного репера состоит из двух взаимно перпендикулярных ортов. Такие базисы будем называть прямоугольными или ортонормальными.

    Лемма. Пусть и — два ортогональных репера на плоскости с общим началом О. Тогда поворотом репера в несущей его плоскости вокруг точки О на некоторый угол можно перевести репер либо в репер либо в репер (рис. 59 и 60). Другими словами: репер получается из репера либо поворотом, либо поворотом и последующим отражением (относительно прямой, несущей вектор ).

  Доказательство. Репер определяет некоторое положительное направление вращения плоскости, а именно то направление, в котором угол от орта e₁ до орта e₂ равен (а не ).

   Обозначим  через  угол от орта e₁ до орта е₁^’. Повернув репер (в его плоскости) в положительном направлении на угол , мы совместим орт e₁ с ортом е₁^’; тогда орт e₂, будучи перпендикулярен к орту e₁, либо совместится с ортом (рис. 59), либо 

совместится с противоположным ему ортом  — (рис. 60). Утверждение доказано.

  Из  доказанного следует, что относительно базиса e₁  , e₂  орт имеет координаты cos , sin :

  

тогда как  для имеем две возможности:

либо

т.е

либо

и тогда

Матрица перехода от базиса к базису имеет вид:

в первом случае

          (I)

во втором

          (II)

  Базисы и называются в первом случае одноименными или одинаково ориентированными, а во втором — разноименными или противоположно ориентированными.

  Так как detC = l в случае одноименных, detC= -1 в случае разноименных базисов, то только что высказанное определение можно сформулировать и так:

  Определение. Два ортогональных базиса (репера) одно-именны, если матрица перехода от одного из них к другому имеет положительный детерминант, и разноименны, если этот детерминант отрицателен.

   Формулы  преобразования координат даются  матрицами, транспонированными к матрицам перехода от одного базиса к другому; это будут формулы:

 в случае однименных базисов,

 в случае разноименных  базисов. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1.7 Закон инерции  квадратичных форм

   Пусть в действительном пространстве дана квадратичная форма:

 где {x_i}— координаты вектора х в некотором базисе 

   Пусть  — какой-нибудь  базис,   в  котором f(x) имеет нормальный вид: (1) Здесь {у₁} — координаты вектора х в базисе .

   Число положительных и число отрицательных членов в данной формуле называется  соответственно положительным и отрицательным индексом формы; разность между положительным и отрицательным индексом называется ее сигнатурой.

   Закон инерции квадратичных форм. Положительный и отрицательный   индексы являются инвариантами квадратичной   формы, то  есть не  зависят от выбора базиса, в котором она имеет нормальный вид.

  Доказательство. Пусть   имеется   еще   один   базис котором форма   имеет нормальный вид:

         (2)