Контрольная работа по "Экономико-математические методы и модели в отрасли связи"

Министерство  Российской Федерации по связи и  информатизации 

Сибирский Государственный Университет Телекоммуникаций и Информатики 

Межрегиональный центр переподготовки специалистов 
 
 
 
 
 
 

Дисциплина 

Экономико-математические методы и модели в  отрасли связи

 
 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 
 
 
 
 
 
 

Выполнила: студентка

Майнагашева Алиса Савельевна

Группа: ЭДВ-93

                              Вариант: 6 

Проверила: Батый Ада Рамазановна 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2010

    ЗАДАЧА 1.

    На  территории города имеется три телефонных станции А, Б и В. Незадействованные  емкости станций составляют на станции  А - 500, Б - 1100, В - 900 номеров. Потребности новых районов застройки города в телефонах составляют: 1 - 400, 2 - 500, 3 - 900, 4 - 700 номеров. Среднее расстояние от станций до районов застройки представлено в таблице 1.1.

Таблица 1.1

Среднее расстояние от станции до районов застройки, км

 

    Необходимо  составить экономико-математическую модель задачи и с помощью распределительного или модифицированного метода линейного  программирования найти вариант  распределения емкостей телефонных станций между районами новой  застройки, который обеспечивал  бы минимальные затраты как на строительство, так и на эксплуатацию линейных сооружений телефонной сети. Естественно, что таким вариантом  при прочих равных условиях будет  такое распределение емкости, при  котором общая протяженность  абонентских линий будет минимальной.

    РЕШЕНИЕ

    Данная  задача относится к типу транспортных задач линейного программирования. В качестве поставщиков выступают  автоматические телефонные станции, а  в качестве потребителей - абоненты микрорайонов города. Решение следует  начать с проверки соотношения между  суммарной возможностью поставщиков  и суммарным спросом потребителей. Исходные данные задачи таковы, что незадействованные емкости телефонных станций численно равны спросом на установку телефонов:

    Q^А + Q^Б + Q^В = q¹ + q² + q³ + q⁴

    500+1100+900 = 400+500+900+700

    Задачи, в которых соблюдается равенство  суммарной возможности пунктов  отправления суммарному спросу пунктов  назначения, называются транспортными задачами закрытого типа.

    Задача  заключается в нахождении таких  неотрицательных значений, неизвестных, при которых суммарные затраты  на установку телефонов из станций в районы потребления были бы минимальными, т. е.

z = а_А1х_А1+а_А2x_A2+a_A3x_A3+a_A4x_A4+ a_Б1x_Б1+…+ a_Б4x_Б4+ a_В1x_В1+…+ a_В4x_В4→min

где a_A1 – расстояние от станции А до района 1 в км.; х_А1 – количество установленных телефонов от станции А в районе 1 и т.д.

    Задачу  решаем распределительным методом. Для получения исходного плана используем способ "северо-западного угла". При использовании этого способа установка телефонов по районам производится без учета расстояния от станций до районов. Заполнение клеток начинается с верхней левой ("северо-западной") клетки. Если Q₁>q₁ , то потребность первого пункта назначения полностью удовлетворяется за счет первого станции. Второй, в этом случае, заполняется клетка А-2. Если же спрос пункта 1 больше возможности пункта А, т.е. q₁>Q₁ , то второй заполняется клетка Б-1. Если спрос пункта 1, при этом, окажется полностью удовлетворенным, то следующей заполняется клетка справа Б-2 и т.д. Заполненные клетки плана образуют ступенчатую фигуру, начинающуюся в верхнем левом углу и заканчивающуюся в нижнем правом углу. Получившийся исходный план представлен в таблице 1.2.

Таблица 1.2

    Суммы чисел, расположенных в клетках  каждой строки, равны возможностям соответствующих станций, а суммы чисел каждого столбца - потребностям районов. Следовательно, составленный план является, допустимым.

    Согласно  общей схеме решения задач  методами линейного программирования последующий этап заключается в  исследовании плана распределения  абонентских линий на оптимальность. Для этого необходимо провести анализ свободных клеток (свободных мест). Если характеристики всех свободных мест окажутся положительными, план является оптимальным, если же хотя бы одно свободное место будет иметь отрицательную характеристику - план требует улучшения.

    Характеристики  свободных мест определяются с помощью  контуров. Контуры строятся из горизонтальных и вертикальных отрезков прямых по правилу: одна вершина контура должна находиться в свободной клетке, для  которой считается характеристика, а все остальные вершины контура  должны находиться в занятых местах. У вершины контура проставляются знаки: у вершины, находящейся в свободной клетке ставится всегда "+", а знаки других вершин чередуются "-", "+" и т.д

    Примеры построение таких контуров для свободных мест А3 и А4 представлены в таблицах 1.3 и 1.4.

    Таблица 1.3

    Таблица 1.4

    Значение  характеристики свободной клетки находится  как алгебраическая сумма оценок расстояния, стоящих у вершин контура. При этом оценки суммируются с учетом знаков, проставленных у вершин. Так, характеристики свободных мест составят:

    А3   6-1+2-5 = 2

    А4   4-2+5-1+2-5 = 3

    Б1    3-4+5-2 = 2

    Б4    4-2+5-1 = 6

    В1    6-4+5-2+1-5 = 1

    В2    7-2+1-5 = 1

    План  считается оптимальным, так как характеристики всех свободных мест плана положительны. Это означает, что полученное решение обеспечивает такое распределение емкости, при которой общая протяженность абонентских линий будет минимальной.

    Значение  общей протяженности абонентских линий на реализацию плана определяется как сумма произведений количества линий на расстояние от станции до района:

      400*4+100*5+400*2+700*1+200*5+700*2= 6000 км. 

    Ответ: Распределение емкости телефонных станций между районами

    Общая протяженность абонентских линий 6000 км. 

 ЗАДАЧА 2.

    Необходимо  оценить работу автоматической телефонной станции (АТС), которая имеет n = 7 линий связи. Моменты поступления вызовов на станцию являются случайными и независимыми друг от друга. Средняя плотность потока равна λ=4 вызова в единицу времени. Продолжительность каждого разговора является величиной случайной и подчинена показательному закону распределения. Среднее время одного разговора равно _обс=2 единиц времени.

    Автоматические  телефонные станции относятся к  типу систем обслуживания с потерями (с отказами). Абонент получает отказ в случае, если все линии заняты.

    Cледует определить вероятность отказа Р_отказа , среднее число занятых и среднее число свободных линий, коэффициенты занятости и простоя линий и сделать вывод о качестве обслуживания абонентов и эффективности использования линий связи.

    РЕШЕНИЕ

    Для определения основных показателей  работы АТС необходимо рассчитать значение поступающей нагрузки в Эрлангах Ψ по формуле:

    

    λ – средняя плотность потока,

- среднее время  разговора

    При общей нагрузки λ=4 нагрузка, выраженная в Эрлангах, составит:

    Ψ = 4*2 =8