Контрольная работа по "Эконометрике"

Уравнение регрессии всегда дополняется  показателем тесноты связи (индекс корреляции):

 

,       (2)

Коэффициент корреляции находится в пределах -1 < r _XY < 1. близость величины данного коэффициента к 1 означает очень тесную зависимость параметров х и у.

Коэффициент  детерминации:

 

R² = r²_yx,        (3)

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов в среднем изменится значение результативного признака при изменении факторного на 1% и при постоянстве (фиксированном уровне) других факторов. Эластичность ненормирована и может изменяться от - до + . Важно, что она безразмерна. Высокий уровень эластичности означает сильное влияние независимой переменной на объясняемую переменную:

,       (4)

β-коэффициент позволяет оценить меру влияния вариации факторного признака на вариацию результата при фиксированном уровне других факторов:

,       (5)

где               .

Бета-коэффициент показывает, на какую часть величины среднего квадратического отклонения S_y  изменится зависимая переменная у с изменением соответствующей независимой переменной х_j на величину своего среднеквадратического отклонения при фиксированном на постоянном уровне значении остальных независимых переменных.

Для проверки значимости модели регрессии используется F-критерий Фишера. Если расчетное значение с n₁= k  и n₂ = (n - k - 1) степенями свободы, где k – количество факторов, включенных в модель,  больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой:

,      (6)

Значимость отдельных  коэффициентов регрессии проверяется  по t-статистике путем проверки гипотезы о равенстве нулю j-го параметра уравнения (кроме свободного члена):

,       (7)

где S_b — это стандартное (среднеквадратическое) отклонение коэффициента уравнения регрессии b.

Если расчетное значение t-критерия с (n - k - 1) степенями свободы превосходит его табличное значение при заданном уровне значимости, коэффициент регрессии считается значимым.

Средняя относительная ошибка:

Е_отн. = ,      (8)

Показывает на сколько  в среднем расчетные значения у отличаются от фактических значений в %.

Выполнение условий МНК:

1) Проверка равенства математического  ожидания  случайной компоненты  нулю: если она распределена по нормальному закону, осуществляется на основе t-критерия Стьюдента. Расчетное значение задается формулой:

,      (9)

где e - среднеарифметическое значение уровней остаточной последовательности e_t;

S_e -среднеквадратическое отклонение для этой последовательности.

2) Дисперсия случайной составляющей должна быть постоянна для всех наблюдений. .

F_расч. =      (10)

Чем больше величина F превышает  табличное значение F -критерия, тем более нарушена предпосылка о равенстве дисперсий остаточных величин.

3) Проверка независимости значений  уровней случайной компоненты осуществляется с помощью d-критерия Дарбина-Уотсона.

,       (11)

Расчетное значение d сравнивается с табличным верхним d2 и нижним d1 критическими значениями статистики Дарбина-Уотсона для различного числа уровней ряда n и числа определяемых параметров k. Если расчетное значение критерия d больше d2, то гипотеза о независимости  уровней остаточной последовательности, т.е. об отсутствии автокорреляции (cov (ei,ej)=0), принимается. Если значение d меньше табличного d1, то эта гипотеза отвергается и модель неадекватна. Если значение d находится между d1 и d2, то считается, что нет достаточных оснований сделать тот или иной вывод, и необходимы дальнейшие исследования.

2.1.1. Для линейной у = 3,44х +10,58

        

,      

R² = 0,97²   = 0,9416 

х ср. = 15,07;  у ср. = 62,4 

    

S_x = 3,08;   S_у = 10,61

  

S_b =  0,3 ;  b = 3,44

Е_отн. = 0,3255/10*100% = 3,26%

Расчет средней относительной  ошибки:

Год	i	У факт.	У расч.	e	|e/у|
1997	1	86,1	81,41	4,69	0,0545
1998	2	72,1	72,67	-0,57	0,0079
1999	3	69,1	70,61	-1,51	0,0218
2000	4	66	67,37	-1,37	0,0208
2001	5	59,6	65,00	-5,40	0,0906
2002	6	60,6	62,25	-1,65	0,0272
2003	7	59,9	56,99	2,91	0,0487
2004	8	53,2	52,27	0,93	0,0174
2005	9	49,9	48,56	1,34	0,0269
2006	10	47,5	47,04	0,46	0,0096
Итого					0,3255

Выполнение условий  МНК:

1) t = 0,0174/ 2,78*3,46 = 0,0198

e _ср. = 0,0174

S_e = 40,92

2) рассчитаем остаточную сумму квадратов для i1 = (1..5), i2 = (6…10)

S₁= 55.66

S₂= 14.08

F_расч.= 55,66/14,08 = 3,95

F_табл.= 6.39 при k1 = 5-1= 4  k2 = 5-1 = 4

F_{расч <} F_табл, значит предпосылка о равенстве дисперсий остаточных величин принимается.

3)

табличные значения: d₁ = 0,879 и d₂ =1,320

d₁ < d _расч. > d_2, значит по данному критерию нельзя оценить модель

 

2.1.2. Для степенной модели

        

,      

R² = 0,9707²   = 0,9423

Э = 0,7905*1,79/1,17 = 0,52

S_x = 0,091;  S_у = 0,072

  

S_b =  0,07

 

Е_отн. = 0,0723 /10 *100% =0,72 %

Выполнение условий  МНК:

1) t _расч.= 0,0000

e _ср. = 0,0000

t _табл. = 2,306

t _расч.< t _табл.   значит условие 1 выполняется.

2) рассчитаем остаточную сумму квадратов для i1 = (1..5), i2 = (6…10)

S₁= 0,0025

S₂= 0,0006

F_расч.= 0,0025/0,0006 = 4,03

F_табл.= 6,39 при k1 = 5-1= 4  k2 = 5-1 = 4

F_{расч <} F_табл, значит предпосылка о равенстве дисперсий остаточных величин принимается.

3)

табличные значения: d₁ = 0,879 и d₂ =1,320

d₁ < d _расч. > d_2, значит по данному критерию нельзя оценить модель

 

2.1.3. Для показательной модели ŷ = 27,17*1,05 ^х

      

R² = 0,9808²   = 0,9620    

    

S_x = Ö95,07/10 = 3,08;  S_у = Ö0,0525/10 = 0,07

  

S_b =  0,0017

 

Е_отн. = 0,0581/10*100% = 0,58%

Год	i	У факт.	У расч.	e	|e/у|
1997	1	1,9350	1,9179	0,0171	0,008857
1998	2	1,8579	1,8582	-0,0002	0,000129
1999	3	1,8395	1,8441	-0,0046	0,002499
2000	4	1,8195	1,8220	-0,0024	0,001342
2001	5	1,7752	1,8058	-0,0305	0,017194
2002	6	1,7825	1,7870	-0,0045	0,002523
2003	7	1,7774	1,7510	0,0264	0,014860
2004	8	1,7259	1,7188	0,0071	0,004109
2005	9	1,6981	1,6934	0,0047	0,002745
2006	10	1,6767	1,6831	-0,0064	0,003821
Итого		17,8878	17,8812	0,0066	0,058078

Выполнение условий МНК:

1) t _расч.= 0,0006/ 0,0021*3,46 = 0,9

e _ср. = 0,0006;  Se = 0,0021

t _табл. = 2,23

t _расч.<  t _табл.   значит условие 1 выполняется

2) рассчитаем остаточную сумму квадратов для i1 = (1..5), i2 = (6…10)

S_1y’= 0,0013;  S_2y’= 0,0008

F_расч.= 0,0013/0,0008 = 1,51

F_табл.= 6,39 при k1 = 5-1= 4  k2 = 5-1 = 4

F_{расч <} F_табл, значит предпосылка о равенстве дисперсий остаточных величин принимается.

3)

табличные значения: d₁ = 0,879 и d₂ =1,320

d > d_2, значит гипотеза об отсутствии автокорреляции (cov (ei,ej)=0), принимается и модель считается адекватной.

 

 

 

 

2.1.3. Для гиперболической  модели ŷ =110,06 - 687,57 / х

R² = 0,9259 ² = 0,8574

S_x= 0,015;  S_у = 10,12

  

 

S_b = 99,15

Е_отн. = 0,4556 / 10*100% = 4,56%

Выполнение условий  МНК:

1) t _расч.= 0,0032/4,35*3,16 = 0,0023

e _ср. = 0,0006;  Se = 0,0021

t _табл. = 2,23

t _расч.<  t _табл.   значит условие 1 выполняется

2) рассчитаем остаточную сумму квадратов для n1 = (1..5), n2 = (6…10)

S_1y’= 146,26; S_2y’= 24,01

F_расч.= 146,26 / 24,01 = 6,09

F_табл.= 6,39  при k1 = 5-1= 4  k2 = 5-1 = 4

F_{расч <} F_табл, значит предпосылка о равенстве дисперсий остаточных величин принимается.

3)

табличные значения: d₁ = 0,879 и d₂ =1,320

d<d_1, значит по данному критерию нельзя оценить модель.

 

3. Сводная таблица  вычислений

Характеристики	Линейная	Степенная	Показательная	Гиперболическая
	У=3,44х+10,58	У=7,32х0,79	У=27,17*1,056х	У=110,06-687,57/х
a	10.58	7,32	27,166	110,06
b	3.44	0,79	1,0560	-687,57
A	10.58	0,86	1,4340	110,06
B	3.44	0,79	0,0235	-687,57
s2 (остаточная дисперсия)	8,72	0,0004	0,0003	21,28
Чем меньше дисперсия, тем лучше  регрессионное уравнение
rxy (индекс корреляции)	0,9704	0,9707	0,9808	0,9259
Чем ближе rxy к 1, тем сильнее связь	Связь прямая сильная
R2 (коэффициент детерминации)	0,9416	0,9423	0,9620	0,8574
Чем ближе R2 к 1, тем лучше качество подгонки	Хорошее качество подгонки
Эxy (коэффициент эластичности)	0,83	0,52	0,2	-0,76
Показывает на сколько процентов  изменится результативный признак  у при изменении факторного признака х на 1 %
b (бета-коэффициент)	0,9986	1	1,03	-1,02
sх	3,08	0,09	3,08	0,015
sу	10,61	0,07	0,07	10,12
Бета-коэффициент показывает, на какую  часть величины среднего квадратического отклонения Sy изменится зависимая переменная Y с изменением соответствующей независимой переменной хj
F-критерий (Фишера)	128,95	130,71	202,7	48,09
F- табл. = 5,32 Для a=0,05	Все значения превышают F- табличное, значит линейная связь есть Чем выше значение, тем лучше качество уравнения
t-статистика (Стьюдента)	11,36	11,43	14,24	-6,93
Sb	0,3028	0,0691	0,0017	99,15
МНК
t-расч.	0,0198	0,0000	0,90	0,0023
t- табл. = 2,306	t-расч.< t- табл. значит условие 1 выполняется
F-расч.	3,95	4,03	1,51	6,09
F- табл. = 6,39	F-расч.< F- табл. значит условие 2 выполняется
d-расч.	1,21	1,23	1,56	0,87
d1 = 0,879  и d2 = 1,320	Неопределенность		d-расч.> d2 значит условие 3 выполняется, автокорреляции нет	d1> dрасч. значит условие 3 не выполняется, автокорреляция есть
Еотн. (относительная ошибка) , %	3,26	0,72	0,58	4,56
Если Еотн. менее 15%, то модель построена с приемлемой точностью
Выводы	Модель адекватна	Модель адекватна	Модель адекватна	Модель не адекватна

 

Наиболее адекватной можно признать показательную модель.

Остаточная дисперсия  отражает разброс значений относительно линии регрессии (модельных значений) и может служить показателем точности воспроизведения значений зависимой переменной. Чем меньше остаточная дисперсия, тем больше уверенности в том, что уравнение регрессии подобрано верно. В степенной модели она минимальна.

Индекс корреляции (0,9808) является универсальным, так как он отражает тесноту связи и точность модели, а также может использоваться при любой форме связи переменных. Значение 0,9808 означает, что связь факторов в уравнении прямая и сильная.

Коэффициент детерминации  показывает долю вариации результативного признака, находящегося под воздействием изучаемых факторов, т. е. вариация признака  у на 96,2% объясняется вариацией фактора х. Чем ближе к 1, тем выше качество модели.

Расчетное значение F-критерия Фишера (202,7) с n1= k  и n2 = (n - k - 1) степенями свободы, где k – количество факторов, включенных в модель,  больше табличного при заданном уровне значимости 0,95, значит, модель считается значимой.

Расчетное значение t-критерия (14,24) с (n - k - 1) степенями свободы превосходит его табличное значение при уровне значимости 0,95, значит коэффициент регрессии считается значимым.

 

4. Рассчитаем прогнозные  значения по показательной модели. Х возрастает на 110% относительно среднего уровня: 

х _ср. = 15,07

х ₁₁ = 15,07*1,1 = 16,58, подставим в уравнение регрессии прогнозное значение х:    

у ₁₁ = 27,17*1,056^16,58 = 67,06

Рисунок 5 - Фактические, расчетные и прогнозные значения по показательной модели

Задание 2

 

Необходимо собрать данные (экономические показатели). Должно быть не менее 15 наблюдений зависимой переменной Y и независимых переменных Х₁,Х₂,Х₃. данные берутся из экономических журналов, сборников, интернета.

Требуется:

1. С помощью корреляционного анализа осуществить выбор факторных признаков для построения двухфакторной регрессионной модели.
2. Рассчитать параметры модели.
3. Для характеристики модели определить:

• линейный коэффициент множественной корреляции;

• коэффициент детерминации;
• средние коэффициенты эластичности;
• бета-, дельта- коэффициенты.

Дать их интерпретацию.

4. Осуществить оценку надежности уравнения регрессии (F-критерий Фишера).
5. Оценить с помощью t-критерия Стьюдента статистическую значимость коэффициентов уравнения множественной регрессии.
6. Произвести проверку выполнения условий для получения «хороших» оценок методом наименьших квадратов (МНК).
7. Рассчитать и построить точечный прогноз и интервальные прогнозы результирующего показателя на два шага вперед.
8. Составить сводную таблицу вычислений, дать интерпретацию рассчитанных характеристик. Отразить результаты в аналитической записке, приложить компьютерные распечатки расчетов и графики.