Контрольная работа по "Эконометрике"

Содержание

 

Задание 1

 

Необходимо собрать  данные (экономические показатели), должно быть не менее 10 наблюдений зависимой  переменной (Y) и независимой переменной (Х).

Требуется:

1.Построить регрессионные модели зависимости Y от Х и отобразить на графиках фактические и расчетные данные следующих моделей:

• линейной;
• степенной;
• показательной;
• гиперболической.

2.Оценить каждую модель, определив:

2.1. Характеристики модели:

• s ²  (остаточная дисперсия);
• r _XY(индекс корреляции);
• R²   (коэффициент детерминации);
• Э (коэффициент эластичности);
• b (бета-коэффициент).

2.2. Значимость уравнения множественной регрессии в целом (F-критерий Фишера).

2.3.Значимость коэффициентов  уравнения регрессии (t-критерий Стьюдента).

2.4. Произвести проверку выполнения условий для получения «хороших» оценок  методом наименьших квадратов (МНК):

Математическое ожидание случайной компоненты равно 0, иначе  М(ei)=0, (с помощью t-критерия Стьюдента);

Дисперсия должна быть постоянной, т.е. D (ei)= const = s ² (c помощью F-критерия Фишера);

Ковариация должна быть равна 0, иначе по формуле: cov (eI, ej) = 0 с помощью d-критерия Дарбина-Уотсона (D-W)).

2.5. Найти Еотн. (среднюю относительную ошибку).

3. Составить сводную таблицу вычислений, выбрать лучшую модель, дать интерпретацию рассчитанных характеристик.

4.Рассчитать прогнозные значения по результативной модели, если прогнозное значение фактора увеличивается на 110% относительно среднего уровня.

5. Отобразить на графике  фактические данные, результаты  расчетов и прогноз по результативной модели.

Вычисления провести с двумя знаками в дробной  части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах.

 

Решение:

Исходные данные (таблица 1)¹:

Таблица 1 – Поголовье крупного рогатого скота и внесение органических удобрений

	Поголовье КРС	Внесение органических удобрений за год
	млн.голов	млн.тонн
Год	х	у
1997	20,59	86,1
1998	18,05	72,1
1999	17,45	69,1
2000	16,51	66
2001	15,82	59,6
2002	15,02	60,6
2003	13,49	59,9
2004	12,12	53,2
2005	11,04	49,9
2006	10,6	47,5

 

1. Линейная модель имеет вид 

Для  расчёта  коэффициентов  уравнения  линейной  регрессии  и дополнительной  статистики  применяется  функция ЛИНЕЙН (Microsoft Excel). Вручную параметры уравнения a и b, можно найти с помощью МНК решив систему нормальных уравнений для линейной модели:

Оценки    коэффициентов    уравнения    регрессии:

a= 10.58; b= 3.44

Уравнение линейной регрессии будет иметь вид: у = 3,44х +10,58

Подставляя в уравнение известные значения х, получим новые расчетные значения ŷ  (таблица 2)_.

Таблица 2 – Расчетные и фактические значения по линейной модели

i	Год	х	у факт.	ŷ
1	1997	20,59	86,1	81,41
2	1998	18,05	72,1	72,67
3	1999	17,45	69,1	70,61
4	2000	16,51	66	67,37
5	2001	15,82	59,6	65,00
6	2002	15,02	60,6	62,25
7	2003	13,49	59,9	56,99
8	2004	12,12	53,2	52,27
9	2005	11,04	49,9	48,56
10	2006	10,6	47,5	47,04

На рисунке 1 представлены фактические и расчетные значения по линейной модели.

Рисунок 1 – Фактические и расчетные значения у по линейной модели

Степенная модель имеет вид:

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Проведем логарифмирование обеих частей уравнения:

(таблица 3)

Обозначим Y=lg y;  X = lg x;    A =lg a

Таблица 3 – Промежуточные расчеты для степенной модели

i	Год	y	Y (lg y)	x	Х (lg x)	ŷ
1	1997	86,1	1,9350	20,59	1,3137	80,04
2	1998	72,1	1,8579	18,05	1,2565	72,13
3	1999	69,1	1,8395	17,45	1,2418	70,22
4	2000	66	1,8195	16,51	1,2177	67,22
5	2001	59,6	1,7752	15,82	1,1992	64,99
6	2002	60,6	1,7825	15,02	1,1767	62,37
7	2003	59,9	1,7774	13,49	1,1300	57,30
8	2004	53,2	1,7259	12,12	1,0835	52,65
9	2005	49,9	1,6981	11,04	1,0430	48,90
10	2006	47,5	1,6767	10,6	1,0253	47,35

Уравнение   примет вид:

- линейное уравнение регрессии.

В этом случае необходимо найти значения параметров А и b, используя данные анализа «Регрессия» в Microsoft Excel:

А = 0,86;  b = 0,79

Уравнение регрессии  будет иметь вид у = 0,79Х+0,86

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения.

у _расч. = 7,32 × х ^{0, 79}

Подставляя в уравнение  известные значения х, получим новые  значения ŷ (табл.3)_. На рисунке 2 представлены фактические и расчетные значения по степенной модели.

Рисунок 2 - Фактические и расчетные значения у по степенной модели

 

Уравнение показательной  кривой

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого осуществим  логарифмирование обеих частей уравнения: lg ŷ = lg a + x  lg b. Обозначим Y = lg ŷ, B = lg b, A = lg a

Получим линейное уравнение  регрессии:

Таблица 4 – Расчеты для показательной модели

i	y	Y (lg y)	х	ŷ
1	86,1	1,9350	20,59	83,42
2	72,1	1,8579	18,05	72,64
3	69,1	1,8395	17,45	70,30
4	66	1,8195	16,51	66,79
5	59,6	1,7752	15,82	64,33
6	60,6	1,7825	15,02	61,58
7	59,9	1,7774	13,49	56,66
8	53,2	1,7259	12,12	52,58
9	49,9	1,6981	11,04	49,58
10	47,5	1,6767	10,6	48,40

Рассчитаем его параметры, используя данные анализа «Регрессия» в Microsoft Excel.

А = 1,4340;  В =  0,0235

Уравнение регрессии  будет иметь вид Y = 1,434+0,0235X

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения.

ŷ = 10 ^1,434 * (10 ^0,0235) ^х

ŷ = 27,17*1,056 ^х

Подставляя в уравнение известные значения х, получим новые значения ŷ (в таблице 4)_. На рисунке 3 представлены фактические и расчетные значения по показательной модели.

Рисунок 3  - Фактические и расчетные значения у по показательной модели

 

Уравнение гиперболической  функции :

Произведем линеаризацию модели путем замены Х = 1 / х (таблица 5). В результате получим   линейное уравнение .

Таблица 5 – Промежуточные расчеты для гиперболической модели

i	у	х	Х (1/х)	ŷ
1	86,1	20,59	0,0486	76,67
2	72,1	18,05	0,0554	71,97
3	69,1	17,45	0,0573	70,66
4	66	16,51	0,0606	68,42
5	59,6	15,82	0,0632	66,60
6	60,6	15,02	0,0666	64,29
7	59,9	13,49	0,0741	59,10
8	53,2	12,12	0,0825	53,34
9	49,9	11,04	0,0906	47,79
10	47,5	10,6	0,0943	45,20

Рассчитаем его параметры, используя данные анализа «Регрессия» в Microsoft Excel.

а = 110,06;  b =  - 687,57

Получим следующее уравнение  гиперболической модели:

Подставляя в уравнение  известные значения х, получим новые значения ŷ (таблица 5)_. На рисунке 4 представлены фактические и расчетные значения по гиперболической модели.

Рисунок 4  - Фактические и расчетные  значения у по гиперболической модели

 

2. Оценка моделей

2.1. Характеристики модели 

Остаточная дисперсия относительно регрессионной модели:

,        (1)

где n - число измерений, k - число параметров модели (для линейной градуировки k=2).