Экономико-математическое моделирование как метод научного познания

Сфера практического применения метода моделирования ограничивается возможностями и эффективностью формализации экономических проблем и ситуаций, а также состоянием информационного, математического, технического обеспечения используемых моделей. Стремление во что бы то ни стало применить математическую модель может не дать хороших результатов из-за отсутствия хотя бы некоторых необходимых условий.

В соответствии с современными научными представлениями системы разработки и принятия экономических решений должны сочетать формальные и неформальные методы, взаимоусиливающие и взаимодополняющие друг друга.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 2.

ПОИСК ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ЛИНЕЙНЫХ

ТРАНСПОРТНЫХ ЗАДАЧ

Одной из главных задач макроэкономической науке является разработка различных методов наилучшего распределения ограниченных трудовых, материальных, финансовых, временных и других ресурсов для оптимального управления предприятиями. Наиболее подходящем инструментом решения проблем оптимизации является линейное программирование – один из разделов математического программирования.

Линейное программирование – это метод поиска неотрицательных значений переменных, максимизирующих или минимизирующих значение линейной целевой функции при наличии ограничений, заданных в виде линейных неравенства.

Метод нахождения решения основной задачи линейного программирования, получивший название “симплексный метод” или “метод решения с помощью мультипликатора”, независимо друг от друга открыли в 1940г. советский учёный                    Л.В. Канторович и американский математик Дж. Данциг.

Разновидностью общей задачи линейного программирования является так называемая транспортная задача, применяемая как для оптимизации перевозки грузов, таки в ряде друг их приложений.

2.1. Постановка линейной  транспортной Задачи

Формальным признаком транспортной задачи является то, что каждая переменная входит лишь в два ограничения, причем с коэффициентами, равными единице. Если при этом критерий оптимальности (сумма расходов, общий пробег) прямо пропорционален значениям переменных (транспортных потоков), возникает линейная транспортная задача. В других случаях рассматривается нелинейная транспортная задача, решаемая другими методами.

Транспортные задачи известны в двух постановках: матричной и сетевой.

Матричная:

Пусть имеется ряд пунктов потребления и предприятий-поставщиков некоторой продукции.

Дано:

Аi – ресурс i-го поставщика (запас продукции или план отгрузки из текущего производства).

Вi – потребности в той же продукции в пунктах j.

Сi – расстояние или стоимости перевозки из i в j.

Требуется найти такие размеры поставок от каждого поставщика каждому потребителю Хi (переменные задачи), при которых общая сумма расходов или общий пробег будут минимальными.

Различают следующие разновидности транспортных задач (рисунок 2.1.)

Система ограничений закрытой задачи: предусматривает поставку каждому потребителю количество продукции, равного потребности в ней (2.1.) и вывоз продукции от каждого поставщика в количестве, равном ее ресурсу (2.2.)

Σ Хij = Bi (j=1,2, … n);                                            (2.1)

Σ Xij = Ai (i= 1,2, … m);                                         (2.2)

		Типы транспортных задач
ΣАi = ΣBj			ΣАi > ΣBj			ΣАi < ΣBj
Закрытая задача			Открытая задача с превышением ресурсов			Открытая задача с превышением потребностей
Применение: В текущем планировании			Применение: Для оптимизации перспективного планирования			Применение: Может быть составной частью сложных оптимизированных задач

 

Рис. 2.1. Разновидности транспортных задач

 

 

В открытой задаче с превышением ресурсов возможен вывоз меньше наличия:

Σ Xij < Ai (i=1,2, …m ),  где

m – отправители;

n – получатели.

Каждая конкретная переменная входит в два условия: типа (2.1) для данного потребителя и типа (2.2) для данного поставщика.

Критерием оптимальности решения является минимум общих расходов по перевозке или с пробега в тонно-километрах (вагоно-километрах) по всем планируемым корреспонденциям. Если стоимость перевозки (расстояние) от i до j - обозначить как Сij то целевая функция определится следующим образом:

F = Σ Σ Cij Xij → min

Транспортная задача в этой постановке решается на матрице, в строках которой показываются поставщики, в столбцах – получатели, а в клетках (пересечениях)- корреспонденции между ними.

Сетевая задача:

Оптимальное планирование перевозок может быть произведено непосредственно на схеме сети путей сообщения (рисунок 2.2). Схема состоит из (или дуг) и узлов (или вершин). Вершинами являются пункты или (центры агрегации) погрузки и выгрузки а также все реальные узловые пункты сети.

Вершины без погрузки и выгрузки данного груза являются транзитными.

Каждый участок (звено) сети между двумя соседними вершинами обычно рассматривают как две дуги противоположного направления с движением в одну сторону по каждой дуге.

 

А                               В                                  Б                                Е                                                                                    Д                                                   Г

 

Рисунок 2.2. Схеме транспортной сети

+10     Б    - Пункты  и размеры отправления

-8     Д      - Пункты  и размеры прибытия

 

- линии соединения – «дуги»  или «звенья»

 

- стрелка – поток груза

       ХАВ = 8      - размер груза

 

Каждая дуга характеризуется показателем расстояния (или стоимости) перевозки единицы груза- или длиной дуги. При решении задач по критерию стоимости длины прямой и обратной дуг обычно различны (т.к. издержки перевозки по участку “туда” и “обратно” не совпадают).

Переменными сетевой транспортной задачи являются потоки груза по каждой дуге. Поток может включать много отправок, например, поток по дуге Б-Д включает поставки из Б в Д – 8 единиц груза, а из Б в Г – 7 единиц груза.

до решения, как правило, неизвестно, в какую сторону будет перевозиться груз по участку в оптимальном варианте. поэтому в число переменных включаются потоки в обоих направлениях, а общее число переменных принимается равным удвоенному числу участков сёти. (При значительном числе поставщиков и получателей число переменных при сетевой постановке значительно меньше чем при матричной, что облегчает решение задачи, Например, при наличии на сети 600 участков, 50 пунктов отправления и 200 пунктов назначения, число переменных при сетевой постановке составит 1200 (6002), а при матричной постановке оно будет гораздо больше (200*50=10000 переменных).

Обязательным условием сетевой задачи является требование балансировки прибытия и отправления груза в каждой вершине сети: прием груза со всех направлений плюс собственная погрузка равны сдаче на все направления собственная выгрузка:

Σ Xks – Σ Xkr = Rk (2.3)

где К – произвольная вершина;

Rk – погрузка (+) или выгрузка (-) (Rk -О для транзита);

Хks – потоки от К по всем соседним вершинам S;

Хkr – потоки к К от соединительных вершин r;

Целевая функция закрытой сетевой задачи имеет вид:

F = Σ Crs Xrs → min (2.4)

Суммирование выполняется по всем дугам сети.

Итак, сетевая транспортная модель включает в себя:

а) расчетную транспортную сеть

б) переменные Хrs для каждой дуги

в) уравнение (2.3) для каждой вершины

г) целевую функцию (2.4) с коэффициентами Сrs, равными расстояниям или показателям стоимости перевозок по дугам сети.

Описанная модель сетевой задачи не учитывает пропускной способности участков сети - для этого вводится дополнительное ограничение:

Хrs < drs  (2.5)

где drs – пропускная способность участка сети r-s в направлении от r к s.

С учетом (2.5) получаем сетевую транспортную задачу с ограничением пропускной способности в простейшем виде (для перевозки одного груза).

Сетевая и матричная модели в большинстве случаев взаимозаменяемы.

Но есть и особые ситуации, так, например, при большом числе потребителей и поставщиков преимущество имеет сетевая постановка задачи; эта же форма применяется при оптимизации перевозок с учетом ограничений пропускной способности участков транспортной сети.

Оптимизацию планирования перевозок взаимозаменяемых грузов удобнее производить в матричной форме и т.д.

Критерии оптимальности:

Выбор критерия зависит от: характера проблемы, наличной информации и требуемой точности нахождения оптимума.

Примерами локального критерия оптимальности транспортной задачи могут служить:

а) критерий минимума суммарного пробега (пригоден только для решения закрытых транспортных задач в пределах одного вида транспорта).

б) при оптимизации перевозок в пределах года обычным стоимостным критерием является сумма зависящих приведенных расходов:

С = Эзав + Эпер + Еn (Кпс + Cгр)

где Эзав – зависящие от движения эксплуатационные расходы;

Кпс – капитальные вложения в подвижной состав;

Сгр – стоимость грузов, находящихся в процессе перевозки;

 Эпер – издержки по перевалкам.

в) При составлении оптимальных схем перевозок на перспективу возможно усиление пропускной способности линий в зависимости от размещения на них оптимальных грузопотоков. Поэтому в критерии оптимальности учитывается:

Кпост. – затраты на необходимое развитие пропускной способности по постоянным устройствам;

Энез – независящие эксплуатационные расходы.

С =  Эзав + Энез + Еп + (Кпс + Кпост. + Сгр)

г) в некоторых случаях при решение открытых транспортных задач допускается использование в качестве критерия - суммы издержек производства и тарифных плат за перевозки.

д) в отдельных задачах по оптимизации срочных перевозок в качестве критерия выступает время: тонно-часы (вагоны-часы) пребывания груза в процессе перевозки или общее время завершения определенной перевозочной операции.

 

2.2. Решение матричных  транспортных задач методом условно-оптимальных  планов

Из многих методов решения матричных задач наиболее распространенными является

• метод потенциалов (Канторович П.А. и Говорин М.В.)
• метод условно- оптимальных планов (Лурье А.Л.)

Метод условно- оптимальны планов относится к методам сокращения невязок:

• в начальном варианте допускается нарушение основных ограничений транспортной задачи;
• Σ Хij = Bi (j=1,2, … n);
• Σ Xij = Ai (i= 1,2, … m);
• допущенные невязки и разбалансировки устраняются путем внесения ряда поправок.

Основные этапы метода условно- оптимальных планов рассмотрим на примере некоторой транспортной задачи (таблицы 2.1.), требующей увязать ресурсы трёх поставщиков А1, А2, АЗ,А4 (строки таблицы 2.1.) с потребностями четырёх потребителей В1÷В6 (столбцы таблицы 2.1). В правых верхних углах клеток матрицы 2.1 показаны, стоимости перевозки Сij единицы груза от поставщика Аi и потребителя Вj — оптимальное решение будет получено за четыре этапа решения, которые называются приближениями задачи и также показаны в таблице 2.1