Имеются как математическое решение так физическое решение

СОДЕРЖАНИЕ: 
 

 

Аннотация

 

     В данной курсовой работе будет проводиться  исследование математической модели численности популяции («хищник-жертва») в зависимости от коэффициент хищничества a (скорость, с которой встречи хищников с жертвами позволяют хищникам прибавлять численность своей популяции).

 

Введение

 

     Актуальность  темы.

     Впервые математическая модель «хищник-жертва»  была получена А.Лоткой (1925 г.), который  использовал для описания динамики взаимодействующих биологических популяций. Чуть позже и независимо от Лотки аналогичные (и более сложные) модели были разработаны итальянским математиком В. Вольтерра (1926 г.), глубокие исследования которого в области экологических проблем заложили фундамент математической теории биологических сообществ или так называемой математической экологии.

     В качестве хищника  и жертвы могут  быть взяты караси и щуки, зайцы  и волки, мыши и лисы, микробы и антитела и т. д. Т.е. данную модель можно использовать даже в медицине.

     Цель  работы.

     Целью курсовой работы является закрепление  теоретических знаний, полученных по данной и смежным дисциплинам, освоение современных методов и средств моделирования систем. А также выявление зависимости математической модели «хищник-жертва» от коэффициента хищничества.

     Основные  методы исследования.

     В данной работе в качестве метода исследования используется исследование с помощью математического моделирования.

Математическая  модель – это упрощенный вариант  действительности, используемый для изучения ее ключевых свойств. Чарльз Лейв и Джеймс Марч дают такое определение модели: “Модель – это упрощенная картина реального мира. Она обладает некоторыми, но не всеми свойствами реального мира. Она представляет собой множество взаимосвязанных предположений о мире. Как и любая картина, модель проще тех явлений, которые она по замыслу отображает или объясняет”.

     Вклад автора курсовой работы в рассматриваемую  проблему.

     Моим  вкладом в рассматриваемую проблему является исследование влияния коэффициента хищничества на математическую модель «хищник-жертва».

     Практическая (теоретическая) ценность курсовой работы.

     Ценность  данной курсовой работы заключается  в выявленной зависимости влияния коэффициента хищничества на математическую модель «хищник-жертва».

     Реализация  и внедрение курсовой работы.

     Данную  курсовую работу можно использовать при моделировании долговременных отношений между видами хищника и жертвы в какой-либо экосистеме. К примеру: караси и щуки, зайцы и волки, мыши и лисы, микробы и антитела и т. д.

 

1. Описание модели.

     Иногда  простая математическая модель хорошо описывает сложную биологическую систему. Примером этого служат долговременные отношения между видами хищника и жертвы в какой-либо экосистеме. Математические расчеты роста популяции отдельно взятого вида показывают, что пределы плотности популяции можно описать простыми уравнениями. Кривая численности популяции растет экспоненциально, пока она небольшая, а затем выравнивается, когда она достигает пределов возможности экосистемы поддерживать ее. Простое продолжение этой концепции позволяет нам понять экосистему, в которой взаимодействуют два вида — хищник и жертва.

     Итак, если число растительноядных жертв  x, а число плотоядных хищников y, то вероятность, что хищник встретится с травоядным, пропорциональна произведению xy. Другими словами, чем выше численность одного из видов, тем выше вероятность таких встреч. В отсутствие хищников популяция жертвы будет расти экспоненциально (по крайне мере вначале), а в отсутствие жертв популяция хищника сократится до нуля — либо из-за голода, либо в результате миграции. Теперь, если dx — изменение популяции растительноядных за время dt, а dy изменение популяции плотоядных за тот же интервал времени, то две популяции описываются уравнениями: 

 

Здесь a — скорость роста численности травоядных в отсутствие хищников, а c — скорость сокращения численности плотоядных в отсутствие травоядных. Постоянные b и d — скорость, с которой встречи хищников с жертвами удаляют травоядных из популяции, и скорость, с которой эти встречи позволяют хищникам прибавлять численность своей популяции. Знак минус в первом уравнении показывает, что встречи сокращают популяцию жертвы, а знак плюс во втором говорит о том, что встречи увеличивают популяцию хищника. Как видите, любое изменение численности травоядных влияет на численность плотоядных, и наоборот. Две популяции необходимо рассматривать вместе.

     Решение этих уравнений показывает, что обе  популяции развиваются циклически. Если популяция травоядных увеличивается, вероятность встреч хищник—жертва  возрастает, и, соответственно (после  некоторой временной задержки), растет популяция хищников. Но рост популяции хищников приводит к сокращению популяции травоядных (также после некоторой задержки), что ведет к снижению численности потомства хищников, а это повышает число травоядных и так далее.

 

2. Исследование модели.

Разделим  исследование модели на следующие этапы:

• Имеется математическое решение, но нет физического решения;
• при отрицательном коэффициенте хищничества;
• при нулевом коэффициенте хищничества;
• при завышенном коэффициенте хищничества.
• Имеются как математическое решение так  физическое решение;
• Количество жертв значительно превышает количество хищников;
• Количество жертв не значительно превышает количество хищников;
• Количество жертв и количество хищников примерно равны;
• Количество хищников не значительно превышает количество жертв;
• Количество хищников значительно превышает количество жертв;

2.1. Имеется математическое  решение, но нет  физического решения.

 

     Т.е. складывается такая ситуация когда имеется математическое решение, но оно не удовлетворяет физическому решению, иными словами физическое решение невозможно при таких параметрах математической модели. Такая ситуация может складываться в следующих случаях:

• при отрицательном коэффициенте хищничества;
• при нулевом коэффициенте хищничества;
• при завышенном коэффициенте хищничества.

 

2.1.1. Отрицательный  коэффициент хищничества  (d=-1).

      

     При отрицательном коэффициенте хищничества  физическое решение невозможно, т.к. получается, что при встрече хищника с жертвой популяция хищника не увеличивается, а наоборот уменьшается как будто хищник, поедая жертву, наносит себе вред или наоборот жертва поедает хищника.

     Пример  в Maple 9 при d=-1:

> V:=dsolve({diff(x(t),t)=(4-3*y(t))*x(t),diff(y(t),t)=(-2-1*x(t))*y(t),x(0)=3,y(0)=1},{x(t),y(t)},numeric);

> with(plots):odeplot(V,[[t,x(t)],[t,y(t)]],0..2.5);

> with(plots):odeplot(V,[[t,x(t)],[t,y(t)]],0..1);

> with(plots):odeplot(V,[t,y(t)],0..0.8);

 

>  odeplot(V,[x(t),y(t)],0..2.6);

 

> eq1:={diff(x(t),t)=(4-3*y(t))*x(t),diff(y(t),t)=(-2-1*x(t))*y(t),x(0)=3,y(0)=1};

> res1:=dsolve(eq1,type=numeric,output=

array([0,0.25,0.5,0.75,1,1.25,1.5,1.75,2,2.25,2.5]));

2.1.2. Коэффициент хищничества  равный нулю.

 

     При нулевом коэффициенте хищничества  физическое решение невозможно, т.к. получается, что при встрече хищника с жертвой популяция хищника не увеличивается и не уменьшается (не меняется), как будто хищник, поедая жертву, не приносит себе пользу или как будто хищник видя жертву не обращает на неё внимания.

     Пример  в Maple 9 при d=0:

> V:=dsolve({diff(x(t),t)=(4-3*y(t))*x(t),diff(y(t),t)=(-2+0*x(t))*y(t),x(0)=3,y(0)=1},{x(t),y(t)},numeric);

> with(plots):odeplot(V,[[t,x(t)],[t,y(t)]],7..10);

> with(plots):odeplot(V,[[t,x(t)],[t,y(t)]],0..1);

> with(plots):odeplot(V,[t,y(t)],0..0.8);

> odeplot(V,[x(t),y(t)],0..2.6);

> eq1:={diff(x(t),t)=(4-3*y(t))*x(t),diff(y(t),t)=(-2+0*x(t))*y(t),x(0)=3,y(0)=1};

> res1:=dsolve(eq1,type=numeric,output=

array([0,0.5,1,1.5,2,2.5,3,3.5,4,4.5,5]));

2.1.3. Завышенный коэффициент  хищничества.

 

     При завышенном коэффициенте хищничества  физическое решение невозможно, т.к. получается, что при встрече хищника с жертвой популяция хищника значительно увеличивается что в итоге приведет к тому что все жертвы будут съедены (количество жертв будет равно нулю), и не смогут больше увеличивать свою популяцию, а хищники вымрут без жертв.

     Пример  в Maple 9 при d=5:

     Здесь я принял решение, что не будет физического решения в связи с тем, что количество жертв доходит до очень низкого значения близкого к нулю (у>0,002). Получается что в данной модели количество жертв очень мало и скорее всего с чем меньше количества жертв те меньше вероятность увеличения их популяции.

> V:=dsolve({diff(x(t),t)=(4-3*y(t))*x(t),diff(y(t),t)=(-2+5*x(t))*y(t),x(0)=3,y(0)=1},{x(t),y(t)},numeric);

> with(plots):odeplot(V,[[t,x(t)],[t,y(t)]],0..10);

 

> with(plots):odeplot(V,[t,x(t)],0.5..2);

>  odeplot(V,[x(t),y(t)],0..3.6);

> eq1:={diff(x(t),t)=(4-3*y(t))*x(t),diff(y(t),t)=(-2+5*x(t))*y(t),x(0)=3,y(0)=1};

> res1:=dsolve(eq1,type=numeric,output=

array([0,0.5,1,1.5,2,2.5,3,3.5,4,4.5,5]));

 

     Пример  в Maple 9 при d=19.76: 

> V:=dsolve({diff(x(t),t)=(4-3*y(t))*x(t),diff(y(t),t)=(-2+19.76*x(t))*y(t),x(0)=3,y(0)=1},{x(t),y(t)},numeric);

> with(plots):odeplot(V,[[t,x(t)],[t,y(t)]],0..21);

> odeplot(V,[x(t),y(t)],0..8);

> eq1:={diff(x(t),t)=(4-3*y(t))*x(t),diff(y(t),t)=(-2+19.76*x(t))*y(t),x(0)=3,y(0)=1};

>res1:=dsolve(eq1,type=numeric,output=array([0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12]));

     Пример  в Maple 9 при d=50: