Анализ и прогнозирование в авторегрессионной модели временных рядов

3) значение h-критерия Дарбина.

Статистическое наблюдение должно быть всесторонне продуманным и четко организованным в полном соответствии с требованиями статистической теории и методологии.

2.2. Методическое  обеспечение задачи анализа и прогнозирования временных рядов

1. Исследовать модель  авторегрессии;

2. Параметризовать и оценить по качеству исходную модель авторегрессии;

3. Применить метод инструментальных переменных, для оценки уравнения, и преобразовать исходную модель;

4. Параметризовать и оценить по качеству преобразованную модель авторегрессии;

5. Сравнить модели п.2 и п.4 по качеству;

6. Проверить гипотезу о наличии автокорреляции в модели регрессии.

1. Исследовать модель авторегрессии

На основе ежеквартальных данных о стоимости сооружений и реальных инвестиций в оборудовании исследовать модель авторегрессии.

2. Параметризовать и оценить по качеству исходную модель авторегрессии

Следует параметризовать и оценить по качеству исходную модель авторегрессии ( yt=a+b0xt+b1yt-1) с помощью инструмента «Регрессия». Результаты представить в таблице (таблица 1.1).

Таблица 1.1

      При этом оценка b1 будет смещенной, т.к. объясняющая переменная yt-1 находится непосредственно под влиянием et-1 и косвенно под воздействием всех предшествующих значений случайного члена.

Расчет коэффициентов b0, b1 производится с помощью инструмента «Регрессия».

3. Применить метод инструментальных переменных, для оценки уравнения, и преобразовать исходную модель

Применить метод инструментальных переменных, оценив уравнение 
ŷt-1=g0+g1xt-1 обычным МНК с помощью инструмента «Регрессия», и преобразовать исходную модель как  yt=a+b0xt+b1ŷt-1. Результаты представить в таблице (таблица 1.2).

Таблица 1.2

Расчет коэффициентов g0,g1 производится с помощью инструмента «Регрессия».

4. Параметризовать и оценить по качеству преобразованную модель авторегрессии

Полученную в предыдущем пункте модель ( yt=a+b0xt+b1ŷt-1) параметризовать и оценить по качеству с помощью инструмента «Регрессия». Данные представить в таблице (таблица 1.3).

Таблица 1.3

Практически в качестве инструментальной переменной можно взять оценку

.                                                                                              (2.1)

Расчет всех параметров производится с помощью инструмента «Регрессия».

5. Сравнить модели п.2 и п.4 по качеству

При сравнении моделей будет использоваться значения коэффициентов детерминации ( ), данные коэффициентов регрессии, полученные с помощью инструмента «Регрессия». Практическая реализация осложняется появлением мультиколлинеарности факторов в модели.

6. Проверить гипотезу о наличии автокорреляции в модели регрессии

В результате, когда ни один из методов оценок параметров модели авторегрессии не привел к достоверным результатам, следует использовать другие методы оценок.

При этом для данной модели авторегрессии при наличии автокорреляции остатков не существует состоятельного метода оценивания.

В качестве примера проверим гипотезу о наличии автокорреляции в модели регрессии, полученной методом инструментальных переменных. Проверку осуществим по h – критерию Дарбина, который определяется выражением:

.                                                                                    (2.2)

Значение DW=2(1-r).                                                                                       (2.3)

                                                                           (2.4)

 

В итоге, выводы о наличии автокорреляции будут подтверждаться на основании графика остатков модели.

2.3. Пример эконометрического  анализа и прогнозирования в  авторегрессионной модели временных  рядов

По статистическим данным, описывающим зависимость стоимости сооружений от реальных инвестиций (таблица 1.4), исследовать модель авторегрессии, параметризовать и оценить качество исходной и преобразованной модели авторегрессии, а так же проверить гипотезу о наличии/отсутствии автокорреляции в модели регрессии.

Таблица 1.4

1) Данные по реальным  инвестициям в оборудовании и  сооружений

№ t	сооружения (IS)уt	реальные инвестиции (IE)хt
1	55895	77334
2	56628	77367
3	57272	65991
4	59465	72500
5	61072	77715
6	62151	76841
7	62491	78933
8	63678	77351
9	64548	73123
10	65120	71631
11	65042	73688
12	64774	72242
13	66884	72908
14	68391	79833
15	70413	84809
16	71824	89118
17	73716	85115
18	76042	84422
19	76315	85826
20	75991	84321
21	75331	85719
22	75253	84863
23	75303	88310
24	74981	84604
25	73679	76238
26	70783	72135
27	68485	70706
28	69417	73955
29	69703	78169
Окончание таблицы 1.4
30	71852	80839
31	73464	83471
32	72749	84125

 

2) На основании данных по сооружениям и реальным инвестициям параметризуем исходную модель авторегрессии ( yt=a+b0xt+b1yt-1) с помощью инструмента «Регрессия». Результаты расчетов представлены в таблице 1.5, на рисунке 1.

Таблица 1.5

№ t	сооружения (IS)уt	реальные инвестиции (IE)хt	y(t-1)
1	55895	77334
2	56628	77367	55895
3	57272	65991	56628
4	59465	72500	57272
5	61072	77715	59465
6	62151	76841	61072
7	62491	78933	62151
8	63678	77351	62491
9	64548	73123	63678
10	65120	71631	64548
11	65042	73688	65120
12	64774	72242	65042
13	66884	72908	64774
14	68391	79833	66884
15	70413	84809	68391
16	71824	89118	70413
17	73716	85115	71824
18	76042	84422	73716
19	76315	85826	76042
20	75991	84321	76315
21	75331	85719	75991
22	75253	84863	75331
23	75303	88310	75253
24	74981	84604	75303
25	73679	76238	74981
26	70783	72135	73679
27	68485	70706	70783
28	69417	73955	68485
29	69703	78169	69417
Окончание таблицы 1.5
30	71852	80839	69703
31	73464	83471	71852
32	72749	84125	73464

 

Регрессионная статистика
Множественный R		0,987229688
R-квадрат		0,974622457
	Коэффициенты		Стандартная ошибка		t-статистика	P-Значение
Y-пересечение	374,818		2393,149124		0,156621	0,876667219
ПеременнаяХ1	0,153903		0,038053829		4,044338	0,000373065
ПеременнаяУt-1	0,824503		0,036669937		22,48445	1,8414E-19

 

Рис.1

Применение обычного МНК для оценки параметров этой модели приводит к следующим результатам:

.

          Как отмечалось ранее, оценка  параметра  является смещенной. Для получения несмещенных оценок параметров этого уравнения воспользуемся методом инструментальных переменных.

Качество модели оценивается коэффициентом детерминации . Величина =0,9746, говорит о том, что  фактором стоимости сооружений можно объяснить 97,5% вариации реальных инвестиций. Так же при оценке качества обращаем внимание на Р-значение:  по рис.1 видим, что коэффициент при переменной х1=0,0003 меньше α=0,05, следовательно является статистически значимым, коэффициент при переменной Уt-1=1,8414Е-19 больше α=0,05, следовательно не является статистически значимым.

3) Далее применяем метод инструментальных переменных, оцениваем уравнение ŷt-1=g0+g1xt-1 обычным МНК с помощью инструмента «Регрессия», и преобразуем исходную модель как  yt=a+b0xt+b1ŷt-1. Результаты представлены в таблице 1.7 и на рисунке 2.

 

Таблица 1.7

№ t	сооружения (IS)уt	реальные инвестиции (IE)хt	y(t-1)	x(t-1)
1	55895	77334
2	56628	77367	55895	77334
3	57272	65991	56628	77367
4	59465	72500	57272	65991
5	61072	77715	59465	72500
6	62151	76841	61072	77715
7	62491	78933	62151	76841
8	63678	77351	62491	78933
9	64548	73123	63678	77351
10	65120	71631	64548	73123
11	65042	73688	65120	71631
12	64774	72242	65042	73688
13	66884	72908	64774	72242
14	68391	79833	66884	72908
15	70413	84809	68391	79833
16	71824	89118	70413	84809
17	73716	85115	71824	89118
18	76042	84422	73716	85115
19	76315	85826	76042	84422
20	75991	84321	76315	85826
21	75331	85719	75991	84321
22	75253	84863	75331	85719
23	75303	88310	75253	84863
24	74981	84604	75303	88310
25	73679	76238	74981	84604
26	70783	72135	73679	76238
27	68485	70706	70783	72135
28	69417	73955	68485	70706
29	69703	78169	69417	73955
30	71852	80839	69703	78169
31	73464	83471	71852	80839
32	72749	84125	73464	83471

 

 

 

Регрессионная статистика
Множественный R	0,679085035
R-квадрат	0,461156485

 

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение	12121,24	11299,41	1,072732	0,292237
Переменная Хt-1	0,713176	0,143154	4,981864	2,67E-05

Рис.2

Оценка уравнения регрессии обычным МНК дает следующие результаты:

.

Качество модели оценивается коэффициентом детерминации . Величина =0,46116, говорит о том, что  фактором стоимости сооружений можно объяснить 46,1% вариации реальных инвестиций. Так же при оценке качества обращаем внимание на Р-значение:  по рис.2 видим, что коэффициент при переменной хt-1=2,67E-05 больше α=0,05, следовательно является статистически незначимым.

4. Полученную в предыдущем пункте модель ( yt=a+b0xt+b1ŷt-1) параметризуем с помощью инструмента «Регрессия». В качестве инструментальной переменной берем оценку , рассчитанную по формуле 2.1.  Полученные данные представлены в таблице 1.9 и на рисунке 3.

 

Таблица 1.9

№ t	сооружения (IS)уt	реальные инвестиции (IE)хt	y^(t-1)
1	55895	77334
2	56628	77367	67273,99938
3	57272	65991	67297,53419
4	59465	72500	59184,44374
5	61072	77715	63826,50648
6	62151	76841	67545,71944
Продолжение таблицы 1.9
7	62491	78933	66922,4036
8	63678	77351	68414,36784
9	64548	73123	67286,12337
10	65120	71631	64270,81514
11	65042	73688	63206,75651
12	64774	72242	64673,7596
13	66884	72908	63642,50706
14	68391	79833	64117,4823
15	70413	84809	69056,22626
16	71824	89118	72604,99016
17	73716	85115	75678,06564
18	76042	84422	72823,22202
19	76315	85826	72328,99104
20	75991	84321	73330,29017
21	75331	85719	72256,96026
22	75253	84863	73253,98034
23	75303	88310	72643,50166
24	74981	84604	75101,81942
25	73679	76238	72458,78907
26	70783	72135	66492,35846
27	68485	70706	63566,19723
28	69417	73955	62547,06869
29	69703	78169	64864,17759
30	71852	80839	67869,50136
31	73464	83471	69773,68134
32	72749	84125	71650,76064