Анализ и прогнозирование в авторегрессионной модели временных рядов

 

 

 ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ТВЕРСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

(ТвГТУ)

 

Факультет (институт): управления и социальных коммуникаций

Специальность (направление): экономика

Кафедра: Бухгалтерский учет, анализ и аудит

 

 

КУРСОВОЙ ПРОЕКТ

 

По дисциплине: эконометрика

 

На тему: «Анализ и прогнозирование в авторегрессионной модели временных рядов»

 

 

 

Выполнила:.

 

Группа ЭК-1101

 

Проверила:.

 

 

 

 

Тверь, 2013 г

 

 

Содержание:

Введение…………………………………………………………………………...3

1. Аналитическая часть

1.1. Основы исследования временных рядов…………………………………....5

1.2. Регрессионный анализ динамических моделей временных рядов…….….9

1.3. Прогнозирование на  основе динамических моделей временных рядов...14

2. Проектная часть

2.1. Информационное обеспечение задачи анализа и прогнозирования временных рядов………………………………………………………………..19

2.2. Методическое обеспечение задачи анализа  и  прогнозирования  временных рядов………………………………………………………………..20

2.3. Пример эконометрического анализа и прогнозирования в авторегрессионной модели временных рядов……………………………….23

Заключение……………………………………………………………………….31

Список использованных источников…………………………………………...33

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

В настоящее время статистические методы прогнозирования заняли видное место в экономической практике. Широкому внедрению методов анализа и прогнозирования данных способствовало появление персональных компьютеров. Распространение статистических программных пакетов позволило сделать доступными и наглядными многие методы обработки данных.

Все шире используются статистические методы прогнозирования в деятельности плановых, аналитических, маркетинговых отделов производственных предприятий и объединений, торговых, страховых компаний, банков, правительственных учреждений.

Под прогнозированием понимают предсказание будущего с помощью научных методов. Процессом прогнозирования называется специальное научное исследование конкретных перспектив развития какого-либо процесса. Чаще всего явления описываются временными рядами, то есть последовательностью значений некоторых величин, полученных в определенные моменты времени.

Данная курсовая работа основана на построении эконометрической модели временного ряда, а так же анализе и прогнозировании авторегрессионной модели этого ряда с помощью h – статистики Дарбина.

Целью курсовой работы является исследование авторегрессионной модели временного ряда, и проверка гипотезы о наличии автокорреляции в модели регрессии с помощью h – критерия Дарбина.

В соответствии с поставленной целью будут решаться следующие задачи:

- определить основы исследования временных рядов;

- раскрыть сущность регрессионного анализа динамических моделей временных рядов;

- ознакомиться с прогнозированием на основе динамических моделей временных рядов;

- рассмотреть информационное  и методическое обеспечение задачи  анализа и прогнозирования временного  ряда;

- привести пример исследования  анализа и прогнозирования в  авторегрессионно модели временного  ряда.

Информационной базой послужила учебно-методическая литература на тему: «Анализ и прогнозирование в авторегрессионной модели временных рядов».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Аналитическая  часть

1.1. Основы исследования временных рядов

Под временным рядом понимается ряд наблюдений за значениями некоторого показателя (признака), упорядоченный в хронологической последовательности, т.е. в порядке возрастания переменной t- временного параметра. Отдельные наблюдения временного ряда называются уровнями этого ряда [8, 78c].

Как и каждый анализ - анализ временных рядов предполагает решение конкретных задач, таких как: измеряет абсолютную и относительную скорость роста либо снижения уровня за отдельные промежутки времени; дает обобщающие характеристики уровня и скорости его изменения за тот или иной период; выявляет и численно характеризует основные тенденции развития явлений на отдельных этапах; выявляет факторы, обусловливающие изменение изучаемого явления во времени; делает прогнозы развития явления в будущем (экстраполяция и интерполяция).

Временные ряды различаются по следующим признакам [7,192c.]:

- моментные и интервальные. В моментных временных рядах уровни характеризуют значения показателя по состоянию на определенные моменты времени. Например, моментными являются временные ряды цен на определенные виды товаров, временные ряды курсов акций, уровни которых фиксируются для конкретных чисел. Примерами моментных временных рядов могут служить также ряды численности населения или стоимости основных фондов, т.к. значения уровней этих рядов определяются ежегодно на одно и то же число. В интервальных рядах уровни характеризуют значение показателя за определенные интервалы (периоды) времени.

- комплексные и изолированные. Временной ряд, изолированный в том случае, если уровень ряда представлен одним показателем; если уровень ряда представлен системой обобщающих показателей – комплексный.

- полные и неполные. Полный временной ряд имеют в том случае, если расстояние между датами в моментном ряду или интервалы в интервальном ряду одинаковы. Неполный ряд будет в противном случае.

- временные ряды абсолютных, относительных и средних величин. При этом временные ряды абсолютных величин являются исходными, а ряды относительных и средних величин - как производные. Временные ряды абсолютных величин более полно характеризуют развитие процесса или явления. Ряды относительных величин могут характеризовать во времени темпы роста (или снижения) определенного показателя; изменение удельного веса того или иного показателя в совокупности; изменение показателей интенсивности отдельных явлений.

Как показано Боксом и Дженкинсом, модели временных рядов могут иметь различные формы и представлять различные стохастические процессы. При моделировании изменений уровня процесса можно выделить два широких класса имеющих практическую ценность: модели скользящего среднего и авторегрессионные модели. Эти два класса линейно зависят от предшествующих данных.

В основу авторегрессионых моделей заложено предположение о том, что значение процесса Z(t) линейно зависит от некоторого количества предыдущих значений того же процесса Z(t-1),…,Z(t-p).

В области анализа временных рядов модель авторегрессии (autoregressive, AR) и модель скользящего среднего (moving average, MA) является одной из наиболее используемых.

Согласно работе, модель авторегрессии является исключительно полезной для описания некоторых встречающихся на практике временных рядов. В этой модели текущее значение процесса выражается как конечная линейная совокупность предыдущих значений процесса и импульса, который называется «белым шумом»[6,34c.],

                                                                                             .             (1.1)

Формула (1.1) описывает процесс авторегреcсии порядка p, который в литературе часто обозначается AR(p), здесь C — вещественная константа, φ1,..,φp — коэффициенты, εt — ошибка модели. Для определения φi и C используют метод наименьших квадратов или метод максимального правдоподобия.

 Другой тип модели  имеет большое значение в описании  временных рядов и часто используется  совместно с авторегрессией называется моделью скользящего среднего порядка q и описывается уравнением [6, 34c.]:

                                                                               .                          (1.2)

В литературе процесс (1.2) часто обозначается MA(q); здесь q — порядок скользящего среднего, εt — ошибка прогнозирования. Модель скользящего среднего является по сути дела фильтром низких частот. Нужно отметить, что существуют простые, взвешенные, кумулятивные, экспоненциальные модели скользящего среднего.

 Для достижения большей гибкости в подгонке модели часто целесообразно объединить в одной модели авторегрессию и скользящее среднее. Общая модель обозначается ARMA(p,q) соединяет в себе фильтр в виде скользящего среднего порядка q и авторегрессию фильтрованных значений процесса порядка p.

 Если в качестве  входных данных используются  не сами значения временного  ряда, а их разность d-того порядка (на практике d необходимо определять, однако в большинстве случаев d ≤ 2), то модель носит название  авторгерессии проинтегрированного скользящего среднего. В литературе данную модель называют ARIMA(p,d,q) (autoregression integrated moving average).

 Развитием модели ARIMA(p,d,q) является модель ARIMAX(p,d,q), которая описывается уравнением [6,34c.]:

                                                                 .                                        (1.3)

Здесь α1,...,αS — коэффициенты внешних факторов X1(t),…,XS(t). В данной модели чаще всего процесс Z(t) является результатом модели MA(q), то есть отфильтрованными значениями исходного процесса. Далее для прогнозирования Z(t) используется модель авторегрессии, в которой введены дополнительные регрессоры внешних факторов X1(t),…,XS(t).

Авторегрессионная модель с условной гетероскедастичностью (autoregressive conditional heteroskedasticity, GARCH) была разработана в 1986 году Тимом Петером Борреслевом и является моделью остатков для модели AR(p). На первом этапе для исходного временного ряда определяется модель AR(p) (1.1). Далее предполагается, что ошибка модели (1.1) εt имеет две составляющие:

                      .                                                                                    (1.4)

где σt — зависимое от времени стандартное отклонение; ςt — случайная величина, имеющая нормальное распределение, среднее значение, равное 0, и стандартное отклонение, равное 1. При этом зависимое от времени стандартное отклонение описывается уравнением [6,35c.]:

                                                                                                .         (1.5)

Здесь β0,...,βq и γ0,..., γp — коэффициенты. Уравнение (1.5) называется моделью GARCH(p,q) и имеет два параметра: p характеризует порядок авторегрессии квадратов остатков; q — количество предшествующих оценок остатков.

Наиболее частое применение данная модель получила в финансовом секторе, где с помощью нее моделируется волатильность. На сегодняшний день существует ряд модификаций модели под названиями NGARCH, IGARCH, EGARCH, GARCH-M и другие.

Авторегрессионнная модель с распределенным лагом (autoregressive distributed lag models, ARDLM) недостаточно подробно описана в литературе. Основное внимание данной модели уделяется в книгах по эконометрике.

 Часто при моделировании  процессов на изучаемую переменную  влияют не только текущие значения  процесса, но и его лаги, то есть значения временного ряда, предшествующие изучаемому моменту времени. Модель авторегрессии распределенного лага описывается уравнением [6,35c.]:

                                                                                         .                  (1.6)

Здесь φ0,..., φp — коэффициенты, l — величина лага. Модель (1.6) называется ARDLM(p,l) и чаще всего применяется для моделирования экономических процессов.

Итак, авторегрессионные модели достаточно часто применяются в статистике, так как они наиболее точно позволяют объяснить фактические и, возможно, предсказать будущие значения временного ряда.

1.2. Регрессионный анализ динамических моделей временных рядов

Теперь рассмотрим авторегрессионные модели с позиции эконометрики. Так, динамические модели – это регрессионные модели, в которых при изучении зависимостей между показателями либо при анализе их развития во времени в качестве объясняющих переменных используются не только текущие значения переменных, но и некоторые предыдущие по времени значения, а также сам фактор времени. Классификация динамических моделей представлена на рис.1 [ 9,108c.].

 

 

 

                                               Рис.1.  

Модели с распределенными лагами – регрессионные модели, включающие не только текущие, но и лаговые значения факторных переменных [9,108c.]:

· модель с конечным числом лагов [6,37c.]:

 

· модель с бесконечным числом лагов [6,37c.]:

Принятые в моделях обозначения: β0- краткосрочный мультипликатор, характеризует изменение среднего значения Y под воздействием единичного изменения переменной Х в тот же самый момент времени;       -     долгосрочный мультипликатор, характеризует изменение Y под воздействием единичного изменения переменной Х в каждом из рассматриваемых временных периодов;    h<k     промежуточный мультипликатор.