Задача потребительского выбора.Функция потребительского предпочтения Стоуна

    L

=p₁x₁+p₂x₂-Q =0.

    Исключив  из полученной системы неизвестную  λ, получим систему двух уравнений  с двумя неизвестными x₁, и x₂ :

       = ,

p₁x₁+p₂x₂=Q .

    Решение (х , х ) этой системы есть критическая точка функции Лагранжа. Подставив решение (х , х ) в левую часть равенства:

    

= ,

получим, что в точке (х , х ) отношение предельных полезностей u (х , х ) и u (х , х ) продуктов равно отношению рыночных цен p₁ и p₂ на эти продукты:

= .                                          (5.1) 

    В связи с тем, что отношение  равно предельной норме замены первого продукта вторым в точке локального рыночного равновесия (х , х ), из (5.1) следует, что эта предельная норма равна отношению рыночных цен на продукты. Приведённый результат играет важную роль в экономической теории.

    Геометрически решение (х , х ) можно интерпретировать как точку касания линии безразличия функции полезности u(x₁,x₂) с бюджетной прямой  p₁x₁+p₂x₂=Q. Это определяется тем, что отношение =- показывает тангенс угла наклона линии уровня функции полезности, а отношение -   представляет тангенс угла наклона бюджетной прямой. Поскольку в точке потребительского выбора они равны, то в этой точке происходит касание данных двух линий. 

1.1.1. Пример решения  задачи потребительского  выбора.

Решим задачу потребительского выбора.

    Оптимальный набор потребителя  составляет 6 ед. продукта х₁ и 8 ед. продукта х2. Определите цены потребляемых благ, если известно, что доход потребителя равен 240 руб. Функция полезности потребителя имеет вид: u(x₁,x₂)=x x .

    Решение. Следуя принципу решения, получаем систему уравнений:

= ,                         = ,                  = ,

p₁x₁+p₂x₂=240.                p₁x₁+p₂x₂=240 .                  p₁x₁+p₂x₂=240 .

Подставив, вместо х₁ – 6 ед., вместо х₂ – 8 ед., получим: p₁=10руб., p₂=22.5руб.  

2. Общая модель потребительского выбора.

    Была  рассмотрена модель потребительского выбора с двумя продуктами и её решение с помощью метода множителей Лагранжа. Сейчас рассмотрим свойства задачи потребительского выбора с произвольным числом продуктов и целевой функцией общего вида.

    Пусть задана целевая функция предпочтения потребителя u(x₁,x_2, …,х_n), где х_i- количество i-го продукта, вектор цен p_i=(p₁,p₂,…,p_n) и доход Q. Записав бюджетное ограничение и ограничение на неотрицательность, получаем задачу

    u(x)→max                                               (5.2)

                                     при условии px≤Q, x≥0

(здесь x=(x₁,x_2, …,х_n), p=(p₁,p₂,…,p_n), px=( p₁x₁+…+p_nx_n)).

    Будем считать, что неотрицательность  переменных обеспечивается свойствами целевой функции и бюджетного ограничения. В этом случае можно  записать функцию Лагранжа и исследовать  её на безусловный экстремум:

    L(x, λ )= u(x)+ λ ( px-Q).

      Необходимое условие экстремума  – равенство нулю частных производных: L =u + λp_i=0 для всех i [1;n] и L =px-Q=0. Отсюда вытекает, что для всех i в точке х рыночного равновесия выполняется равенство:

      ,                                               (5.3)

    которое получается после перенесения вторых слагаемых, необходимых условий  в правую часть и делением i-го равенства на j-ое. Итак, в точке оптимума отношение предельных полезностей любых двух продуктов равно отношению их рыночных цен. Равенство (5.3) можно переписать и в другой форме:

                                                     (5.4)

    Это означает, что полезность, приходящаяся на единицу денежных затрат, в точке оптимума одинаковая по всем видам благ. Если бы это было не так, то, по крайней мере, одну денежную единицу можно было бы перераспределить так, чтобы выросло благосостояние (значение функции полезности) потребителя. Если для некоторых i, j  существует неравенство: 

    

,

то некоторое  количество денег можно было бы перераспределить от i –го продукта к j-му, увеличив уровень благосостояния. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. Функция потребительского  предпочтения Стоуна.

   Выведем теперь функцию спроса для конкретной функции потребительского предпочтения, называемой функцией Р.Стоуна. Эта функция имеет вид:

u(x)= →max ,    где                         (5.5)

а_i – минимально необходимое количество i-го продукта, которое     приобретается в любом случае и не является предметом выбора.

    Для того чтобы набор {a_i} мог быть полностью приобретен, необходимо, чтобы доход Q был больше (количества денег), требуемого для покупки этого набора. Коэффициенты степени а_i>0 характеризуют относительную «ценность» продуктов для потребителя.

    Добавив к целевой функции (5.5) бюджетные ограничения:

                                          ≤Q,

                                           х_i≥0,

получим задачу, называемую моделью Стоуна. Как было сказано на стр. 6, бюджетное ограничение должно обращаться в равенство. Составим функцию Лагранжа:

                    L(x₁,x_2, …,х_n, λ )= u(x)+ λ (p₁x₁+…+p_nx_n –Q). 

Найдём  частные производные функции  Лагранжа и приравняем их к нулю:

                    L = a₁(x₁-a₁) ∙(x₂-a₂) ∙…∙(x_n-a_n) + λp₁. 

Аналогично  получаем остальные частные производные, т.е.:

    L

= + λ p_i=0, где i= .

Выразив x_i, получим:

                 x_i=a_i-     ,                                                              (5.6)

                                     L = -Q=0.

  Умножив каждое из равенств (5.6) на λp_i и просуммировав их по i, имеем:

=0                            (5.7).

Поскольку в точке оптимума бюджетное ограничение  выполняется как равенство, заменим   на Q, получим:

                                           =0.

 Поделив  на λ, получим:

                                           =-(Q- ).

Откуда:

                                             . 

 Полученное  выражение подставляем в равенство (5.6):

x_i=a_i+ .                                        (5.8)

    Т.е. вначале приобретается минимально необходимое количество продукта a_i. Затем рассчитывается сумма денег, остающаяся после этого, которая распределяется пропорционально «весам» важности _i. Разделив количество денег на цену p_i , получаем дополнительно приобретаемое, сверх минимума, количество i- продукта и добавляем его к а_i .                                                   [1] 
                                         Заключение

    В работе приводится задача потребительского выбора, решение которой сводится к решению задач на условный экстремум. Также рассмотрен частный случай задачи потребительского выбора - модель Стоуна.

    Мною  были решены задачи на условный экстремум методом подстановки и методом множителей Лагранжа,  задача потребительского выбора.

    Я считаю, что знание этой темы может  пригодиться не только экономистам и людям, специально занимающимся этой наукой, но и ненаучным работникам, т.к. в жизни часто приходится сталкиваться с решением подобного рода задач. 

 

    Список использованной литературы:

1. Замков, О.О. Математические методы в экономике: Учебник/ Под общ. ред. д.э.н., проф. А.В. Сидоровича/  О.О. Замков, А.В. Толстопятенко, Ю.Н. Черемных; МГУ им. Ломоносова.-3-е изд., перераб. – М.: Издательство «Дело и сервис», 2001
2. Красс, М.С. Основы математики и её приложения в экономическом образовании: Учебник. – 3-е изд. – М.: Дело,2002
3. Кремер, Н.Ш. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов/ Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н Фридман. - М.: ЮНИТИ, 2002.
4. Кремер, Н.Ш. Исследование операций в экономике: Учебное пособие для вузов/ Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: Банки и биржи, ЮНИТИ,1997.
5. Малыхин, В.И. Математика в экономике: Учебное пособие.- М.:ИНФРА - Москва, 2002.
6. Симонов, А.В. Об одном приложении производной к решению экономических задач/ А.С. Симонов, Н.Г. Игнатьев// математика в школе №9, 2001
7. Сборник задач и упражнений по высшей математике: мат. программирование: Учеб. Пособие/ А.В. Кузнецов, В.А. Сакович, Н.И. Холод; Под. общ. ред. А.В. Кузнецова – Мн.: Выш. шк., 2002
8. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие/ Под. ред. В.И. Ермакова.- М.: Инфра – Москва, 2002.
9. Сборник задач по микроэкономике. К «Курсу микроэкономики» Р.М. Нуреева/ Гл. ред. д.э.н., проф. Р.М. Нуреев. – М.: Норма, 2003
10. Фихтенгольц, Г.М. основы математического анализа. Часть 1. 4-е изд. – СПб: издательство «Лань», 2002.
11. Онегов, В.А. Исследование операций. Задачи, методы, алгоритмы. – Киров: ВГПУ, 2001.     

 
 

Приложение

Реализация  модели Стоуна в системе  MathCAD

Общий случай:

      Обозначим минимально необходимое количество благ за А:

1)  А<I,