Статистический анализ финансовых данных

Министерство  образования Российской Федерации

Обнинский институт Атомной Энергетики

НАциональный  исследовательский  ядерный университет МИФи 
 

Кафедра прикладной математики

Отчёт по предквалификационной практике 

Тема:  Статистический анализ финансовых данных  

 
 
 

Обнинск, 2010

 

Содержание 

 

Введение

     Под временным рядом (time series) понимается последовательность наблюдений значений некоторой переменной, произведенных через равные промежутки времени. Если принять длину такого промежутка за единицу времени (год, квартал, день и т.п.), то можно считать, что последовательные наблюдения h₁, ..., h_n произведены в моменты t = 1, …, n

     Основная  отличительная особенность статистического  анализа временных рядов состоит в том, что последовательность наблюдений h₁, ..., h_n рассматривается как реализация последовательности, в общем, говоря, статистически зависимых случайных величин h₁, ..., h_n , имеющих некоторое совместное распределение с функцией распределения

     F(v₁, v₂, …, v_n) = P{ h₁ < v₁, h₂ < v₂, ... , h_n < v_n }.

     Мы  будем рассматривать в основном временные ряды, у которых совместное распределение случайных величин h₁, ..., h_n имеет совместную плотность распределения p( h₁, h₂, … , h_n).

     Чтобы сделать задачу статистического анализа временных рядов доступной для практического решения, приходится так или иначе, ограничивать класс рассматриваемых моделей временных рядов, вводя те или иные предположения относительно структуры ряда и структуры его вероятностных характеристик. Одно из таких ограничений предполагает стационарность временного ряда.

     Ряд h_t , t = 1, …, n , называется строго стационарным (или стационарным в узком смысле), если для любого m ( m < n) совместное распределение вероятностей случайных величин h _t1 ,… , h _tm такое же, как и для h _{t1+ τ} ,… , h _{tm+ τ}, при любых t₁,…, t_m и τ , таких, что 1 ≤ t₁, … , t_m ≤ n и 1 ≤ t₁+τ, … , t_m+τ ≤ n.

     Другими словами, свойства строго стационарного  временного ряда не изменяются при изменении начала отсчета времени. В частности, при m = 1 из предположения о строгой стационарности временного ряда h_t следует, что закон распределения вероятностей случайной величины h_t не зависит от t, а значит, не зависят от t и все его основные числовые характеристики (если, конечно, они существуют), в том числе: математическое ожидание E (h_t) = μ и дисперсия D(h_t)=σ ².

     Значение  μ определяет постоянный уровень, относительно которого колеблется анализируемый  временной ряд h_t, а постоянная σ характеризует размах этих колебаний.

 

      Теоретическая часть

     Белый шум

     Во  всех моделях (линейных и не линейных) предполагается заданной  некоторая  «базисная» последовательность ε=(ε_n), которую в теории временных рядов обычно считают белым шумом и которая идентифицируется с источником случайности, определяющим стохастический характер исследуемых вероятностно-статистических объектов.  

     При этом говорят, что последовательность ε=(ε_n) является белым шумом в широком смысле, если Еε_n = 0, Еε²_n< ∞ и  Еε_n ε_m= 0 для всех n≠m.

     Иначе говоря, белый шум в широком  смысле  - это квадратично интегрируемая последовательность некоррелированных случайных величин с нулевыми средними.

     Если  в этом определении добавить еще  требование гауссовости (нормальности), то получаемую последовательность ε=(ε_n) называют белым шумом в узком смысле или белым (гауссовским) шумом, просто белым шумом, что равносильно тому, что ε=(ε_n) есть последовательность независимых нормально распределенных ε_n ~N(0,σ_n²)случайных величин. В дальнейшем будем считать σ_n²≡1.

 

      Модель скользящего  среднего

     В модели скользящего среднего MA(q), описывающей эволюции последовательности h=(h_n), предполагается следующий способ формирования значений h_n по белому шуму в широком смысле ε=(ε_n):

     

     Где параметр q определяет порядок зависимости от «прошлого», а ε_n играет роль величин, «обновляющих» информацию, содержащуюся в

     F_n-1=σ(ε_n-1, ε_n-2, …)

     Обратимся к вопросу о вероятностных  характеристиках последовательности h=(h_n ).

     Пусть q=1. В этом случае

     

     И непосредственно находим, что

     

     Последние два свойства означают, что h=(h_n) является последовательностью с коррелированными соседними значениями (h_n  и h_n+k), в то время как корреляция значений h_n  и h_n+k при k≥2 равна нулю.

     Заметим, между прочим , что если >0, то величины h_n  и h_n+1 положительно коррелированны. Если же <0, то корреляция отрицательна.

     Из  свойств следует, что у элементов  последовательности h=(h_n) среднее значение, дисперсия и ковариация не зависят от n. Тем самым последовательность h=(h_n ) является стационарной в широком смысле. Если к тому же предположить, что последовательность ε=(ε_n) является гауссовской, то последовательность h=(h_n)так же будет гауссовской и , следовательно, все ее вероятностные свойства выражаются лишь в терминах среднего, дисперсии и ковариации. В этом случае последовательность h=(h_n) является стационарной в узком смысле.

     Для MA(q) свойства выглядят следующим образом:

     

 

      Авторегрессионная модель AR(p)

       Говорят что последовательность h=(h_n)n>1 подчиняется авторегрессионной модели (схеме) AR(p) порядка p, если 

     

     Иначе можно сказать, что последовательность h=(h_n) подчиняется разностному уравнению порядка p:

     

     В случае n≥1 для полного описания эволюции последовательности h=(h_n) разностным уравнением нужно еще задать начальные условия(h_1-p h_2-p,…, h₀).

     Часто полагают h_1-p=…= h₀=0. их можно считать так же случайными, не зависящими от последовательности значений ε₁ ,ε₂,…. В «эргодических» случаях асимптотическое поведение h_n при n→∞ не зависит от начальных условий, и в этом смысле их конкретизация не очень – то существенна.

     Рассмотрим  простой случай p=1, где

     

     Этот  случай выделяется из общего класса моделей  тем, что в из «прошлых» величин h_n-1 h_n-2,…, h_n-p вклад в h_n вносит только ближайшее (по времени) значение h_n-1.

     Если  ε=(ε_n)_n>1 – последовательность независимых случайных величин, h₀ не зависит от ε=(ε_n)_n>1, то последовательность h=(h_n)_n>1 будет классическим примером  конструктивно заданной марковской цепи. Рекуррентным образом из находим:

      .

     Отсюда  видно, что свойства последовательности  h=(h_n)_n>1 существенным образом зависят от параметра , при этом следует различать три случая: | |<1, | |=1, | |>1, среди которых случай | |=1 играет своего рода «пограничную» роль, точный смысл которой будет ясен из последующего изложения.

     Из  . находим, что

     

     Из  этих формул видно, что, в случае | |<1 и при n→∞

       и (если )

     

     В этом случае (| |<1) последовательность h=(h_n)_n≥0 при n→∞ «стационаризуется». Более того, если начальное распределение для является гауссовским ~ то  h=(h_n)_n≥0 образует гауссовскую стационарную последовательность с

     

     

 

      Практическая часть

      Рассмотрим  на реальных данных модели MA(1), MA(2) и AR(1).

     Модель MA(1):

     

     Для начала найдем из этой системы коэффициенты b₀ и b₁

     пусть

     

     

     Смоделируем ряд и по этому ряду найдем мат. ожидание, дисперсию, ковариацию и коэффициенты b₀ ,b₁.

     

     

     Построим оба графика:

     Заметим, графики практически совпадают, это говорит о том, что модель является рабочей.

      Далее применим эту же модель к курсу  доллара за 2004 год.

Решение b₀ и b₁ не единственно, но лишь один вариант будет ближе всего:

     

           

     После нахождения коэффициентов, строим графики: 

     Важно отметить, что модель MA(1) невозможно построить для данных в кризисный период, так как при вычислении коэффициентов, дискриминант квадратного уравнения получается отрицательным.

     (для  евро 2009)

       

     Модель MA(2).

     

     Так же найдем коэффициенты.

     Пусть: