Развитие понятия числа

      7. Трансфинитные числа. 

      В 1883 году немецкий ученый Георг Кантор, по-видимому, оценив многовековую историю последовательного обобщения чисел, в которой натуральные числа были обобщены рациональными, а те в свою очередь – действительными, те – комплексными, те – векторными, те – матричными, создал на этом материале свою теорию трансфинитных (бесконечных, запредельных) чисел.

      Для этого он назвал множеством всякий набор элементов, который можно  сопоставить с частью самого себя, как например, целые числа сопоставляются с четными числами:

      Кантор  заметил, что такое множество  должно содержать бесконечное число  элементов. А если эти элементы сопоставимы  с множеством натуральных чисел, то их количество образует первое трансфинитное  число ₀? (алеф-нуль – с иврита). Но множество _?0 тоже бесконечно много, и они вместе, как количество элементов нового множества, образуют следующее трансфинитное число _?1 . И так далее…

      Кантор  долго анализировал трансфинитные  числа и установил, что они  могут моделировать либо просто количество (тогда это количественные, кардинальные трансфинитные числа, например – множество учеников в классе), либо количество и направление (тогда это порядковые, ординальные трансфинитные числа, например – то же множество учеников, но упорядоченное по успеваемости). Но эти свойства (количество и направление) успешно моделируются числа меньших уровней обобщения. А таблица чисел подсказывает закономерность: чтобы стать абстрактнее, новые числа должны моделировать больше, развиваясь от уровня к уровню либо экстенсивно, меняясь количественно (например, в учете моделирующих элементов числами уровней 1, 2, 3: натуральные +  ноль + отрицательные + иррациональные; или в учете моделируемых направлений числами уровней 3, 4, 5, 6: одномерно-двумерные-трехмерные-многомерные и т.п).

      Уж  очень смелой и заманчивой представлялась для многих идея выйти "в открытый Космос" трансфинитного канторовского "зазеркалья", за границы обычных конечных натуральных чисел, которые, по очень глубокому замечанию Леопольда Кронекера, "создал Господь Бог". Я думаю, ближе всех к рациональному объяснению столь нетрадиционного для классической математики "поведения" оказался Брауэр, который в конечном счете был вынужден "диагностировать" всю канторовскую теорию в целом как "патологический казус в истории математики, от которого грядущие поколения математиков просто придут в ужас".

      Однако  несомненная историческая заслуга  Кантора состоит в том, что  он первый от спекулятивных рассуждений  о возможности или невозможности  актуальной бесконечности перешел  к ее практическому, логико-математическиму употреблению! А это значит, что благодаря Кантору понятие актуальной бесконечности впервые стало доступно для строгого, формально-логического (конечно, в смысле классической логики Аристотеля) и математического анализа. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      8. Развитие функциональных чисел. 

      Мариупольский математик С.Ф.Клюйков также внес свой вклад в определение понятия  числа: «Числа - это математические модели реального мира, придуманные  человеком для его познания». Он же внес в традиционную классификацию чисел так называемые «функциональные числа», имея в виду то, что во всем мире обычно именуют функциями.

      История зарождения и развития функциональных чисел чрезвычайно длительна  и богата. Их совершенствовали уже  ученые Древнего Востока (Х в. до н. э.), находя объемы сосудов для зерна, сдаваемого в виде налога; античные греки (III в. до н.э.), исследуя конические сечения; Галилей (1638 г.), проверяя опытом свои формулы движения тел.  Впервые ясно и отчетливо функциональные числа были представлены Лагранжем (1797 г.) в теории функций действительного переменного и ее приложении к разнообразным задачам алгебры и геометрии. Однако в наши дни функциональные числа продолжают совершенствовать, несмотря на громадный накопленный опыт: весь математический анализ с его бесконечными рядами, пределами, минимумами и максимумами, с дифференциальным, интегральным и вариационным исчислением, уравнениями и методами их решения.

      Но  еще более значительными были успехи математики при добавлении способности моделировать функциональную зависимость комплексным числам (Даламбер, 1746 г.). Так возникли комплексно-функциональные числа (9-ый уровень обобщения) в форме функций комплексного переменного, с помощью которых были построены многие полезные математические модели сложных процессов, упрощенно доказательство многих теорем, выполнено описание двухмерных векторов, скалярных и векторных полей, отображение одной плоскости на другую и т.д.

      Благодаря соединению способности моделировать функциональную зависимость с векторными числами (Гамильтон, 1853 г.), возникли векторно-функциональные числа (10-ый уровень обобщения). А это – векторный анализ, векторные функции, моделирование переменных полей в сплошных средах и многие достижения теоретической физики.

      Добавление матричным числам способности моделировать функциональную зависимость (Клебш, 1861 г.) создало матрично-функциональные числа (11-ый уровень обобщения), а с ними: алгебру матриц, матричное представление линейных векторных пространств и линейных преобразователей, много новых математических моделей,  тензорный анализ пространств с кривизной. теорию поля в физике и т.д. [1]

      Если  добавить трансфинитным числам Кантора  способность моделировать функциональную зависимость, то возникнут новые, трансфинитно-функциональные числа (12-ый уровень обобщения), функции трансфинитного переменного, которые, благодаря максимальному на сегодняшний день обобщению, позволят с большей простотой и стандартностью промоделировать все доступное предыдущим числам и откроют новые перспективы в моделировании еще более сложных задач.

      Заключение. 

      Число является одним из основных понятий  математики, оно зародилось в глубокой древности. Понятие числа развивалось в тесной связи с изучением величин; эта связь сохраняется и теперь.

      Любопытно отметить, что у многих народов для обозначения числа 1 применялся один и тот же символ - вертикальная чёрточка. Это самое древнее число в истории человечества. Оно возникло из простой черты на земле, из зарубки на дереве или кости.

      Около 3 - 2,5 тыс. лет до новой эры древние египтяне придумали свою числовую систему. В ней ключевые числа: 1, 10, 100 и т. д. - изображались специальными значками - иероглифами. Египтяне высекали их на стенах погребальных камер, писали тростниковым пером на свитках папируса.

      Величина числа, записанного в иероглифической системе, не зависит от того, в каком порядке расположены составляющие его знаки. Даже если записать их справа налево, один под другим или вперемешку - число от этого не изменится.

      В результате упрощений и стилизаций от иероглифов позднее произошли условные знаки, облегчающие письмо от руки. Они легли в основу так называемого иератического письма (от греч. "иератикос" - "священный"). Эту систему записи чисел можно обнаружить в более поздних египетских папирусах.

      С развитием алгебры, уже при решении линейных уравнений с одним неизвестным, возникает необходимость в отрицательных числах. Еще до нашей эры их стали употреблять китайские математики. Широко использовали отрицательные числа и индийские математики (Брахмагупта, VII в.). Замечательным достижением индийских математиков было введение понятия нуля и знака для него, что позволило им создать десятичную систему записи натуральных чисел и разработать правила операций над записанными так числами. Эту запись чисел стали применять математики многих восточных стран, откуда она попала в Европу.

      В XV в. самаркандский ученый ал Каши ввел десятичные дроби. Это нововведение оставалось неизвестным европейским  математикам.

      Постепенно  складывалось представление о бесконечности  множества натуральных чисел. В 3веке до н.э. Архимед разработал систему обозначения чисел вплоть до такого громадного числа, как 10^8000.

      Наряду  с натуральными числами применяли  дроби-числа, составленные из целого числа  долей единицы. Множества натуральных  чисел и дробей было достаточно, чтобы выразить результат любого измерения. Долгое время полагали, что результат измерения всегда выражается или в виде натурального числа, или в виде отношения двух таких чисел, т.е. дроби. Древнегреческий философ и математик Пифагор учил, что "элементы чисел являются элементами всех вещей и весь мир в целом является гармонией и числом". 

      К настоящему времени существует семь общепринятых уровней обобщения  чисел: натуральные, рациональные, действительные, комплексные, векторные, матричные и трансфинитные числа. Отдельными учеными предлагается считать функции функциональными числами и расширить степень обобщения чисел до двенадцати уровней.

      Современная наука встречается с величинами такой сложной природы, что для их изучения приходится изобретать все новые виды чисел.

      При введении новых чисел большое  значение имеют два обстоятельства:

      - правила действий над ними должны быть полностью определены и не вели к противоречиям;

      - новые системы чисел должны способствовать или решению новых задач, или усовершенствовать уже известные решения. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      Список  использованной литературы. 

1. Андронов  И.К. Математика действительных и комплексных чисел.– М.: Просвещение, 1975 г.
2. Андронов И.К., Окунев А.К. Арифметика рациональных чисел. – М.: Просвещение, 1971 г.
3. Архангельская В.М. Элементарная теория чисел: учебное пособие. Издательство саратовского университета, 1962 г.
4. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М.:Физмат, 1963г.
5. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. - Москва: Государственное издательство физико-математической литературы, 1960 г. - 368 с.
6. Гейзер Г.И. История математики в школе. Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1981. - 239 с.
7. Клюйков С.Ф. Числа и познание мира. - Мариуполь: Полиграфический центр газеты «ИнформМеню». 1997г. - 112 с.
8. Крутецкий Р.О., Фадеев Д.К. Алгебра и арифметика комплексных чисел: Пособие для учителей средних школ. – Л.: Учпедгиз, ленинградское отделение, 1939 г.
9. Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л.Математика: Учеб.пособие для техникумов.
10. Рывкин А.А., Рывкин А.З., Хренов Л.С. Справочник по математике для техникумов. 3-е издание. - Москва, «Высшая школа», 1975г. - 554 с.