Развитие понятия числа

      3.1.5. Нумерация и дроби  в Древней Греции.  

      Вплоть  до VI века до н. э. греческая математика ничем выдающимся не прославилась. Были, как обычно, освоены счёт и измерение. Греческая нумерация (запись чисел), как позже римская, была аддитивной, то есть числовые значения цифр складывались. Первый её вариант (аттическая, или геродианова) содержали буквенные значки для 1, 5, 10, 50, 100 и 1000. Соответственно была устроена и счётная доска (абак) с камешками. Кстати, термин калькуляция (вычисление) происходит от calculus  — камешек. Особый дырявый камешек обозначал нуль.

      Позднее вместо аттической нумерации была принята алфавитная — первые 9 букв греческого алфавита обозначали цифры от 1 до 9, следующие 9 букв — десятки, остальные — сотни. Чтобы не спутать числа и буквы, над числами рисовали чёрточку. Числа, большие 1000, записывали позиционно, помечая дополнительные разряды специальным штрихом (внизу слева). Специальные пометки позволяли изображать и числа, большие 10000.

      В VI веке до н. э. «греческое чудо» начинается: появляются сразу две научные  школы — ионийцы (Фалес Милетский, Анаксимен, Анаксимандр) и пифагорейцы. О достижениях ранних греческих математиков мы знаем в основном по комментариям позднейших авторов, преимущественно Евклида, Платона и Аристотеля. [1]

      Фалес, богатый купец, во время торговых поездок, видимо, хорошо изучил вавилонскую математику и астрономию. Ионийцы дали первые доказательства геометрических теорем.

      Однако  главная роль в деле создания античной математики принадлежит пифагорейцам.

      В Древней Греции арифметику – учение об общих свойствах чисел –  отделяли от логистики – искусства исчисления. Греки считали, что дроби можно использовать только в логистике. Здесь мы впервые встречаемся с общим понятием дроби вида m/n. Таким образом, можно считать, что впервые область натуральных чисел расширилась до области дополнительных рациональных чисел в Древней Греции  не позднее V столетия до н. э. Греки свободно оперировали всеми арифметическими действиями с дробями, но числами их не признавали.

      Греки употребляли наряду с единичными, «египетскими» дробями  и общие  обыкновенные дроби. Среди разных записей употреблялась и такая: сверху знаменатель, под ним – числитель дроби. [2]

      3.1.6. Нумерация и дроби  на Руси. 

      Наши  предки - славяне пользовались десятичной алфавитной славянской нумерацией.

      Над буквами и числами ставился особый знак, названный – титло ~.

      Для обозначения тысячи применялся знак  , который приставлялся слева от букв.

      Интересно отметить, что хотя в славянской нумерации запись числа шла слева  направо, от высших единиц к низшим, но для чисел от 11 до 19 делалось исключение: сначала писали единицы, а затем  знак для 10.

      С помощью древнеславянской нумерации  можно записать любое число от 1 до 999.

      Дроби в Древней Руси называли долями, позднее ломаными числами. Так у  дробей с числителем 1 были свои названия.12- половина, полтина.  13 - треть. 14 - четь.  16 - полтреть. 18- полчеть.  112- полполтреть.

      110- десятина (1,09 га - русская мера земельной площади). Славянская нумерация употреблялась в России до XVI века. И только при Петре I стала вводится десятеричная система счисления, которая и сохранилась до наших дней. В 1903 г вышла в свет “Арифметика” Л. Ф. Магницкого. В которой в первой части изложены действия с целыми числами, во второй - с ломаными, т.е. дробями.

      До  наших дней дошло очень мало старинных  документов – не более трёх посвящённых  арифметике и геометрии; значительно  больше сборников включали в себя и естественнонаучные сведения; также известны и две общеобразовательные энциклопедии – "Азбуковники".

      Интересно, что математическая терминология рукописей  существенно отличалась от нынешней [1].

      Слагаемые назывались перечнями, их сумма –  исподним большим перечнем, уменьшаемое – заёмным перечнем, вычитаемое – платёжным перечнем, разность – остатком,  делимое – большим перечнем,  делитель – деловым перечнем,  частное – жеребейным  перечнем,  остаток – остаточной долей, а сомножители и их произведение специальных наименований не имели.  

      3.1.7. Десятичные дроби. 

      Предшественниками десятичных дробей являлись шестидесятеричные  дроби древних вавилонян. Некоторые  элементы десятичной дроби встречаются  в трудах многих ученых Европы в 12, 13, 14 веках.

      В Древнем Китае уже пользовались десятичной системой мер, обозначали дробь словами, используя меры длины чи, цуни, доли, порядковые, шерстинки, тончайшие, паутинки. Дробь вида 2,135436 выглядела так: 2 чи, 1 цунь, 3 доли, 5 порядковых, 4 шерстинки, 3 тончайших, 6 паутинок. Так записывались дроби на протяжении двух веков, а в V веке китайский ученый Цзю-Чун-Чжи принял за единицу не чи, а чжан = 10 чи, тогда эта дробь выглядела так: 2 чжана, 1 чи, 3 цуня, 5 долей, 4 порядковых, 3 шерстинки, 6 тончайших, 0 паутинок.

      Десятичную дробь с помощью цифр и определенных знаков попытался записать арабский математик ал-Уклисиди в X веке. Свои мысли по этому поводу он выразил в "Книге разделов об индийской арифметике".

      Примерно  в это же время математики Европы также пытались найти удобную запись десятичной дроби. В книге "Математический канон" французского математика Ф. Виета (1540-1603) десятичная дробь записана так 2 ¹³⁵⁴³⁶ - дробная часть и подчеркивалась и записывалась выше строки целой части числа.

      В 1585 г., независимо от ал-Каши, фламандский ученый Симон Стевин (1548-1620) сделал важное открытие, о чем написал в своей книге "Десятая" (на французском языке "De Thiende, La Disme"). Эта маленькая работа (всего 7 страниц) содержала объяснение записи и правил действий с десятичными дробями. Он писал цифры дробного числа в одну строку с цифрами целого числа, при этом нумеруя их. Например, число 12,761 записывалось так:

1207A6A1A12

или число 0,3752 записывалось так:

3?7?5?2?.

      Именно  Стевина и считают изобретателем  десятичных дробей.

      Запятая в записи дробей впервые встречается  в 1592г., а в 1617г. шотландский математик  Джон Непер предложил отделять десятичные знаки от целого числа либо запятой, либо точкой.

      Современную запись, т.е. отделение целой части  запятой, предложил Кеплер (1571) - (1630 гг.).

      В странах, где говорят по-английски (Англия, США, Канада и др.), и сейчас вместо запятой пишут точку, например: 2.3 и читают: два точка три. 

      3.2. Отрицательные числа. 

      Древний Египет, Вавилон и Древняя Греция не использовали отрицательных чисел, а если получались отрицательные корни уравнений (при вычитании), они отвергались как невозможные.

      Впервые отрицательные числа были узаконены  в Китае в III веке, но использовались лишь для исключительных случаев, так  как считались, в общем, бесмыссленными. Чуть позднее отрицательные числа стали использоваться в Индии для обозначения долгов, или признавались как промежуточный этап, полезный для вычисления окончательного, положительного результата,  но западнее они не прижились.

      Знаменитый  Диофант Александрийский утверждал, что уравнение 4x+20=0 – абсурдно. В Европе отрицательные числа появились благодаря Леонардо Пизанскому (Фибоначчи), который тоже ввёл его для решения финансовых задач с долгами - в 1202 году он впервые использовал отрицательные числа для подсчёта своих убытков.

      Правда, умножение и деление для отрицательных  чисел тогда ещё не были определены.

      Диофант в III веке уже знал правило знаков и умел умножать отрицательные числа. Однако и он рассматривал их лишь как  временные значения.

      Полезность и законность отрицательных чисел утверждались постепенно. Индийский математики Брахмагупта (VII век) уже рассматривал их наравне с положительными. В Европе признание наступило на тысячу лет позже, да и то долгое время отрицательные числа называли «ложными», «мнимыми» или «абсурдными». Даже Паскаль считал, что 0 ? 4 = 0, так как ничто не может быть меньше, чем ничто. Бомбелли и Жирар, напротив, считали отрицательные числа вполне допустимыми и полезными, в частности, для обозначения недостачи чего-либо. Отголоском тех времён является то обстоятельство, что в современной арифметике операция вычитания и знак отрицательных чисел обозначаются одним и тем же символом (минус), хотя алгебраически это совершенно разные понятия.

      В XVII веке, с появлением аналитической геометрии, отрицательные числа получили наглядное геометрическое представление на числовой оси. С этого момента наступает их полное равноправие. Тем не менее теория отрицательных чисел долго находилась в стадии становления. Оживлённо обсуждалась, например, странная пропорция 1:(-1) = (-1):1 — в ней первый член слева больше второго, а справа — наоборот, и получается, что большее равно меньшему («парадокс Арно»). Непонятно было также, какой смысл имеет умножение отрицательных чисел, и почему произведение отрицательных положительно; на эту тему проходили жаркие дискуссии.

      Полная  и вполне строгая теория отрицательных  чисел была создана только в XIX веке (Уильям Гамильтон и Герман Грассман). 

      3.2.1. Отрицательные числа  в Древней Азии. 

      Положительные количества в китайской математике называли “чен”, отрицательные – “фу”; их изображали разными цветами: “чен” - красным, “фу” - черным. Такой способ изображения использовался в Китае до середины XII столетия, пока Ли Е не предложил более удобное обозначение отрицательных чисел – цифры, которые изображали отрицательные числа, перечеркивали черточкой наискось справа налево.

      В V-VI столетиях отрицательные числа  появляются и очень широко распространяются в индийской математике. В Индии  отрицательные числа систематически использовали в основном так, как это мы делаем сейчас.

      Уже в произведении выдающегося индийского математика и астронома Брахмагупты (598 – около 660 гг.) мы читаем: “ имущество  и имущество есть имущество, сумма двух долгов есть долг; сумма имущества и нуля есть имущество; сумма двух нулей есть нуль… Долг, который отнимают от нуля, становится имуществом, а имущество – долгом. Если нужно отнять имущество от долга, а долг от имущества, то берут их сумму”.

      Отрицательными  числами индийские математики пользовались при решении уравнений, причем вычитание заменяли добавлением с равнопротивоположным числом.

      Вместе  с отрицательными числами индийские  математики ввели понятие ноль, что  позволило им создать десятеричную систему исчисления. Но долгое время  ноль не признавали числом, “nullus” по латыни – никакой, отсутствие числа. И лишь через X веков, в XVII-ом столетии с введением системы координат ноль становится числом. [9] 

      3.2.2. Развитие идеи  отрицательного количества  в Европе. 

      В Европе в XII веке нашей эры появились отрицательные числа, их называли “ложными” в отличие от положительных чисел – «истинных». 

      Широко  использовать отрицательные числа, выполнять действия с ними, строить  координатную прямую стали благодаря  работам французского математика Рене Декарта.

      Также в Европе к идее отрицательного количества достаточно близко подошел в начале XIII столетия Леонардо Пизанский, однако в явном виде отрицательные числа применил впервые в конце XV столетия французский математик Шюке.

      Современное обозначение положительных и отрицательных чисел со знаками « + » и « - » применил немецкий математик Видман, однако еще в ХVI столетии много математиков (например, Виет) не признавали отрицательных чисел.

      Натуральные числа, противоположные им (отрицательные) числа и ноль называются целыми числами. Целые и дробные числа на 2-ом уровне обобщения получили общее название - рациональные числа. Их называли также относительными, потому что любое их них можно представить отношением двух целых чисел. Каждое рациональное число можно представить как бесконечную периодическую десятичную дробь.