Модели и методы решения проблемы выбора в условиях неопределенности

  Выполним  теперь следующие операции.

  · Просуммируем квадраты всех значений столбца 1 и  разделим результат на (n - 1) — мы получим дисперсию (меру разброса) случайной  величины X1 , т.е. D1. Повторяя эту операцию, мы найдем таким же образом дисперсии всех наблюдаемых (но уже нормированных) величин.

  · Просуммируем произведения соответствующих строк (от j =1 до j = n) для столбцов 1,2 и также  разделим на (n -1). То, что мы теперь получим, называется ковариацией C12 случайных  величин X1 , X2 и служит мерой их статистической связи.

  · Если мы повторим предыдущую процедуру для всех пар  столбцов, то в результате получим  еще одну, квадратную матрицу C[k·k], которую принято называть ковариационной.

  Эта матрица  имеет на главной диагонали дисперсии  случайных величин Xi, а в качестве остальных элементов — ковариации этих величин ( i =1…k).

  Ковариационная  матрица C[k·k]

  Если вспомнить, что связи случайных величин  можно описывать не только ковариациями, но и коэффициентами корреляции, то в соответствие матрице {3-29} можно  поставить матрицу парных коэффициентов  корреляции или корреляционную матрицу

  R [k·k]

  в которой  на диагонали находятся 1, а внедиагональные элементы являются обычными коэффициентами парной корреляции.

  Так вот, пусть  мы полагали наблюдаемые переменные Ei независящими друг от друга, т.е. ожидали увидеть матрицу R[k·k] диагональной, с единицами в главной диагонали и нулями в остальных местах. Если теперь это не так, то наши догадки о наличии латентных факторов в какой-то мере получили подтверждение.

  Но как  убедиться в своей правоте, оценить  достоверность нашей гипотезы —  о наличии хотя бы одного латентного фактора, как оценить степень  его влияния на основные (наблюдаемые) переменные? А если, тем более, таких  факторов несколько — то как их проранжировать по степени влияния?

  Ответы на такие практические вопросы призван  давать факторный анализ. В его  основе лежит все тот же “вездесущий” метод статистического моделирования (по образному выражению В.В.Налимова — модель вместо теории).

  Дальнейший  ход анализа при выяснению таких вопросов зависит от того, какой из матриц мы будем пользоваться. Если матрицей ковариаций C[k·k], то мы имеем дело с методом главных компонент, если же мы пользуемся только матрицей R[k·k], то мы используем метод факторного анализа в его “чистом” виде.

  Остается разобраться в главном — что позволяют оба эти метода, в чем их различие и как ими пользоваться. Назначение обоих методов одно и то же — установить сам факт наличия латентных переменных (факторов), и если они обнаружены, то получить количественное описание их влияния на основные переменные Ei.

  Ход рассуждений  при выполнении поиска главных компонент  заключается в следующем. Мы предполагаем наличие некоррели-рованных переменных Zj ( j=1…k), каждая из которых представляется нам комбинацией основных переменных (суммирование по i =1…k):

  Zj = S Aj i ·X

  и, кроме  того, обладает дисперсией, такой что

  D(Z1) ³ D(Z2) ³ … ³ D(Zk).

  Поиск коэффициентов  Aj i (их называют весом j-й компонеты в содержании i-й переменной) сводится к решению матричных уравнений и не представляет особой сложности при использовании компьютерных программ. Но суть метода весьма интересна и на ней стоит задержаться.

  Как известно из векторной алгебры, диагональная матрица [2·2] может рассматриваться  как описание 2-х точек (точнее —  вектора) в двумерном пространстве, а такая же матрица размером [k·k]— как описание k точек k-мерного пространства.

  Так вот, замена реальных, хотя и нормированных переменных Xi на точно такое же количество переменных Z j означает не что иное, как поворот k осей многомерного пространства.

  “Перебирая” поочередно оси, мы находим вначале ту из них, где дисперсия вдоль оси наибольшая. Затем делаем пересчет дисперсий для оставшихся k-1 осей и снова находим “ось-чемпион” по дисперсии и т.д.

  Образно говоря, мы заглядываем в куб (3-х мерное пространство) по очереди по трем осям и вначале ищем то направление, где видим наибольший “туман” (наибольшая дисперсия говорит о наибольшем влиянии чего-то постороннего); затем “усредняем” картинку по оставшимся двум осям и сравниваем разброс данных по каждой из них — находим “середнячка” и “аутсайдера”. Теперь остается решить систему уравнений — в нашем примере для 9 переменных, чтобы отыскать матрицу коэффициентов (весов) A[k·k].

  Если коэффициенты Aj i найдены, то можно вернуться к основным переменным, поскольку доказано, что они однозначно выражаются в виде (суммирование по j=1…k)

  X i = S Aji·Z j .

  Отыскание матрицы весов A[k·k] требует использования ковариационной матрицы и корреляционной матрицы.

  Таким образом, метод главных компонент отличается прежде все тем, что дает всегда единственное решение задачи. Правда, трактовка этого решения своеобразна.

  · Мы решаем задачу о наличии ровно стольких факторов, сколько у нас наблюдаемых  переменных, т.е. вопрос о нашем согласии на меньшее число латентных факторов невозможно поставить;

  · В результате решения, теоретически всегда единственного, а практически связанного с громадными вычислительными трудностями при  разных физических размерностях основных величин, мы получим ответ примерно такого вида — фактор такой-то (например, привлекательность продавцов при  анализе дневной выручки магазинов) занимает третье место по степени влияния на основные переменные.

  Этот ответ  обоснован — дисперсия этого  фактора оказалась третьей по крупности среди всех прочих. Всё… Больше ничего получить в этом случае нельзя. Другое дело, что этот вывод  оказался нам полезным или мы его  игнорируем — это наше право решать, как использовать системный подход!

  Несколько иначе осуществляется исследование латентных переменных в случае применения собственно факторного анализа. Здесь  каждая реальная переменная рассматривается  также как линейная комбинация ряда факторов Fj , но в несколько необычной форме

  X i = S B ji · Fj + D i.

  причем суммирование ведется по j=1…m , т.е. по каждому фактору.

  Здесь коэффициент  Bji принято называть нагрузкой на j-й фактор со стороны i-й переменной, а последнее слагаемое в {3-33} рассматривать как помеху, случайное отклонение для Xi. Число факторов m вполне может быть меньше числа реальных переменных n и ситуации, когда мы хотим оценить влияние всего одного фактора (ту же вежливость продавцов), здесь вполне допустимы.

  Обратим внимание на само понятие “латентный”, скрытый, непосредственно не измеримый фактор. Конечно же, нет прибора и нет  эталона вежливости, образованности, выносливости и т.п. Но это не мешает нам самим “измерить” их — применив соответствующую шкалу для таких  признаков, разработав тесты для  оценки таких свойств по этой шкале  и применив эти тесты к тем  же продавцам. Так в чем же тогда  “ненаблюдаемость”? А в том, что в процессе эксперимента (обязательно) массового мы не можем непрерывно сравнивать все эти признаки с эталонами и нам приходится брать предварительные, усредненные, полученные совсем не в “рабочих” условиях данные.

  Можно отойти от экономики и обратиться к спорту. Кто будет спорить, что результат  спортсмена при прыжках в высоту зависит от фактора — “сила  толчковой ноги”. Да, это фактор можно измерить и в обычных  физических единицах (ньютонах или  бытовых килограммах), но когда?! Не во время же прыжка на соревнованиях!

  А ведь именно в это, рабочее время фиксируются  статистические данные, накапливается  материал для исходной матрицы.

  Несколько более сложно объяснить сущность самих процедур факторного анализа  простыми, элементарными понятиями (по мнению некоторых специалистов в области факторного анализа  — вообще невозможно). Поэтому постараемся  разобраться в этом, используя  достаточно сложный, но, к счастью, доведенный в практическом смысле до полного совершенства, аппарат векторной или матричной алгебры.

  До того как станет понятной необходимость  в таком аппарате, рассмотрим так  называемую основную теорему факторного анализа. Суть ее основана на представлении модели факторного анализа в матричном виде

  X [k·1] = B [k·m] · F [m·1] + D [k·1]

  и на последующем  доказательстве истинности выражения

  R [k·k] = B [k·m] · B*[m·k],

  для “идеального” случая, когда невязки D пренебрежимо малы.

  Здесь B*[m·k] это та же матрица B [k·m], но преобразованная особым образом (транспонированная).

  Трудность задачи отыскания матрицы нагрузок на факторы очевидна — еще в школьной алгебре указывается на бесчисленное множество решений системы уравнений, если число уравнений больше числа неизвестных. Грубый подсчет говорит нам, что нам понадобится найти k·m неизвестных элементов матрицы нагрузок, в то время как только около k2 / 2 известных коэффициентов корреляции. Некоторую “помощь” оказывает доказанное в теории факторного анализа соотношение между данным коэффициентом парной корреляции (например R12) и набором соответствующих нагрузок факторов:

  R12 = B11 · B21 + B12 · B22 + … + B1m · B2m .

  Таким образом, нет ничего удивительного в том  утверждении, что факторный анализ (а, значит, и системный анализ в  современных условиях) — больше искусство, чем наука. Здесь менее  важно владеть “навыками” и крайне важно понимать как мощность, так  и ограниченные возможности этого  метода.

  Есть и  еще одно обстоятельство, затрудняющее профессиональную подготовку в области факторного анализа — необходимость быть профессионалом в “технологическом” плане, в нашем случае это, конечно же, экономика.

  Но, с другой стороны, стать экономистом высокого уровня вряд ли возможно, не имея хотя бы представлений о возможностях анализировать и эффективно управлять  экономическими системами на базе решений, найденных с помощью факторного анализа.