Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона

Министерство  образования и науки Республики Казахстан Костанайский государственный  университет им. А. Байтурсынова

Факультет экономический

Кафедра информационных систем 
 
 
 
 
 
 

Доклад 

Дисциплина: Эконометрика 

На тему: Автокорреляция в остатках.

Критерий  Дарбина-Уотсона 
 
 
 
 

                                            Выполнила: студентка 2 курса

                                                       050509-Финансы,08-501-45 группы

                                                       Бимурзина Бахытгуль 

                                   Проверил: Жуаспаев Т.А. 
 
 
 
 

                                         

                                          Костанай,2010 год 

                                                       СОДЕРЖАНИЕ:

1.Критерий  Дарбина-Уотсона.

2.Уравнение автокорреляции в остатках путем расчета критерия Дарбина-Уотсона. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. Критерий Дарбина-Уотсона (или DW-критерий) — статистический критерий, используемый для нахождения автокорреляции остатков первого порядка регрессионной модели. Критерий назван в честь Джеймса Дарбина и Джеффри Уотсона. Критерий Дарбина-Уотсона рассчитывается по следующей формуле:

где ρ₁ — коэффициент автокорреляции первого порядка.

В случае отсутствия автокорреляции ошибок d = 2, при положительной автокорреляции d стремится к нулю, а при отрицательной стремится к 4:

На практике применение критерия Дарбина—Уотсона основано на сравнении величины d с теоретическими значениями d_L и d_U для заданного числа наблюдений n, числа независимых переменных модели k и уровня значимости α.

Если  d < d_L, то гипотеза о независимости случайных отклонений отвергается (следовательно присутствует положительная автокорреляция);

Если  d > d_U, то гипотеза не отвергается;

Если  d_L < d < d_U, то нет достаточных оснований для принятия решений.

Когда расчетное значение d превышает 2, то с d_L и d_U сравнивается не сам коэффициент d, а выражение (4 − d).

Также с помощью данного критерия выявляют наличие коинтеграции между двумя временными рядами. В этом случае проверяют гипотезу о том, что фактическое значение критерия равно нулю. С помощью метода Монте-Карло были получены критические значения для заданных уровней значимости. В случае, если фактическое значение критерия Дарбина—Уотсона превышает критическое, то нулевую гипотезу об отсутствии коинтеграции отвергают.

Недостатки:

Неприменим  к моделям авторегрессии.

Не способен выявлять автокорреляцию второго и  более высоких порядков.

Даёт достоверные результаты только для больших выборок^].

Критерий  h Дарбина применяется для выявления автокорреляции остатков в модели с распределёнными лагами:

где n — число наблюдений в модели;

V — стандартная ошибка лаговой результативной переменной.

При увеличении объёма выборки распределение  h-статистики стремится к нормальному с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, равной 1. Поэтому гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков отвергается, если фактическое значение h-статистики оказывается больше, чем критическое значение нормального распределения.

Критерий Дарбина—Уотсона для панельных данных

Для панельных данных используется немного видоизменённый критерий Дарбина—Уотсона:

В отличие  от критерия Дарбина—Уотсона для  временных рядов в этом случае область неопределенности является очень узкой, в особенности, для  панелей с большим количеством  индивидуумов.

 

2. Рассмотрим уравнение регрессии вида:

                                     y t = a + ∑ b j ⋅ x jt + ε t    

Для каждого  момента (периода) времени t = 1,..., n значение компоненты εt

определяется  из соотношения

                          ε t = y t − y t = y t − (a + ∑ b j ⋅ x jt ).

Рассматривая  последовательность остатков как временной ряд, можно построить график их зависимости от времени. В соответствии с предпосылками

МНК остатки  εt должны быть случайными. Однако при моделировании временных рядов нередко встречается ситуация, когда остатки содержат тенденцию или циклические колебания. Что свидетельствует о том, что каждое следующее значение остатков зависит от предшествующих. В этом случае говорят о наличии автокорреляции остатков.

Автокорреляция остатков может быть вызвана несколькими причинами,

имеющими  различную природу:

     1) наличие ошибок измерения в  значениях результативного признака;

     2) модель может не включать  фактор, окапывающий существенное воздействие на результат, влияние которого отражается в остатках, вследствие чего последние могут оказаться автокоррелированными. Очень часто этим фактором является фактор времени t. Кроме того, в качестве таких существенных факто-

ров могут  выступать лаговые значения переменных, включенных в модель;

     3) модель не учитывает несколько  второстепенных факторов, совместное

влияние которых на результат существенно  ввиду совпадения тенденций их изменения или фаз циклических колебаний;

     4) неправильная спецификация функциональной  формы модели. В этом

случае  следует изменить форму связи  факторных и результативного  признаков,

а не использовать специальные методы расчета параметров уравнения регрессии при наличии автокорреляции остатков.

     Существуют два наиболее распространенных  метода определения авто-

корреляции  остатков.

     Первый метод — это построение  графика зависимости остатков  от време-

ни и  визуальное определение наличия  или отсутствия автокорреляции.

     Второй метод – использование  критерия Дарбина — Уотсона  и расчет

величины

              n

             ∑ (ε t − ε t −1 )2

        d = i =2    n

Величина d есть отношение суммы квадратов разностей последовательных значений остатков к остаточной сумме квадратов по модели регрессии. Практически во всех статистических ППП значение критерия Дарбина – Уотсона указывается наряду с коэффициентом детерминации, значения-

ми t- и F-критериев.

Коэффициент автокорреляции остатков первого порядка  определяется как

                              n

                             ∑ (ε t − ε 1 )(ε t −1 − ε 2 )

                              i=2

Между критерием Дарбина–Уотсона и  коэффициентом автокорреляции остатков первого порядка имеет место следующее соотношение:

          d ≈ 2 ⋅ (1 − r1ε ).

Таким образом, если в остатках существует полная положительная автокорреляция и rε1 = 1, то d = 0. Если в остатках полная отрицательная автокорреляция, то rε1 = – 1 и, следовательно, d = 4. Если автокорреляция остатков отсутствует, то rε1 = 0 и d = 2. Следовательно,

         0 ≤ d ≤ 4.

Алгоритм  выявления автокорреляции остатков на основе критерия Дарбина–Уотсона следующий. Выдвигается гипотеза Н0 об отсутствии автокорреляции остатков. Альтернативные гипотезы Н1 и Н1* состоят, соответственно, в наличии положительной или отрицательной автокорреляции в остатках. Далее по специальным таблицам определяются критические значения критерия Дарбина–Уотсона dL и dU для заданного числа наблюдений n, числа независимых переменных модели k и уровня значимости α. По этим значениям числовой промежуток [0;4] разбивают на пять отрезков.

Если  фактическое значение критерия Дарбина  – Уотсона попадает в зону

неопределенности, то на практике предполагают существование автокорреляции остатков и отклоняют гипотезу H0.

                                                   y t = a + b ⋅ xt + ε t ;   

Примем  некоторые допущения относительно этого уравнения:

    • пусть уt и хt не содержат  тенденции, например, представляют собой отклонения выровненных по трендам значений от исходных уровней временных

рядов;

    • пусть оценки а и b параметров  уравнения регрессии найдены обычным

МНК;

    • пусть критерий Дарбина –  Уотсона показал наличие автокорреляции  в

остатках  первого порядка.

Основной  подход к оценке параметров модели регрессии в случае, когда

имеет место автокорреляция остатков, заключается в следующем: исходная модель регрессии (6.1) с помощью замены переменных приводится к виду

         y t′ = a ′ + b ⋅ x t′ + u t ,  где y t′ = y t − r1ε ⋅ y t −1 ; x t′ = x t − r1ε ⋅ x t −1 ;

                               u t = ε t − r1ε ⋅ ε t −1 ; a ′ = a (1 − r1ε ).

Здесь rε1 – коэффициент автокорреляции первого порядка.

Поскольку ut, – случайная ошибка, то для оценки параметров преобразованного уравнения можно применять обычный МНК.

Итак, если остатки по исходному уравнению регрессии содержат автокор-

реляцию, то для оценки параметров уравнения  используют обобщенный МНК.

Его реализация разбивается на следующие этапы:

    1. Перейти от исходных переменных  уt и хt к переменным у’t и  х’t по фор-

мулам.

    2. Применив обычный МНК к уравнению, определить оценки пара-

метров  а’ и b.