Контрольная работа по "Эконометрике"

 

4. При выполнении прогнозов на 2002 и 2003 годы подставим в уравнение прогнозные значения фактора, 10, 11, что позволяет получить прогнозные значения о среднем размере земельного участка крестьянского (фермерского) хозяйства: 24,38га, 23,36га.

 

Рассчитаем ошибки прогноза, доверительный интервал прогноза и оценим его точность.

Рассчитаем интегральную ошибку прогноза - , которая формируется как сумма двух ошибок: из ошибки прогноза как результата отклонения прогноза от уравнения регрессии - и ошибки прогноза положения регрессии - .

Ошибка положения регрессии составит: = 0,267(га). 
Интегральная ошибка прогноза составит: =3,428 (га). 
Предельная ошибка прогноза, которая не будет превышена в 95% возможных реализаций прогноза, составит: = 2,37*3,428 = 8,124 ≈ 8,0 (га). Табличное значение t-критерия для уровня значимости α=0,05 и для степеней свободы n-k-1 = 9-1-1=7 составит 2,37. Следовательно, ошибка большинства реализаций прогноза не превысит га. 
Это означает, что фактическая реализация прогноза будет находиться в доверительном интервале .

Верхняя граница  доверительного интервала составит: 
= 78,033 + 8,0 = 86,033(га). 
Нижняя граница доверительного интервала составит:

= 78,033 - 8,0 = 70,033(га).                                                                                           Относительная величина различий значений верхней и нижней границ составит: =1,23 раза. Это означает, что верхняя граница в 1,23 раза больше нижней границы, то есть точность выполненного прогноза достаточно велика и его надёжность на уровне 95% оценивается как высокая. 

Задача  №7. 

Данные о стоимости  экспорта ( ) и импорта ( ) Испании, млрд. $, приводятся за период с 1991 по 2000 г.

В уровнях рядов  выявлены линейные тренды:

для экспорта - , а для импорта –

По указанным  трендам произведено выравнивание каждого ряда, то есть рассчитаны теоретические значения их уровней: и  

 
 
 
 
 
 
 
 

Предварительная обработка исходной информации привела  к следующим результатам: 

 

    Задание: 

1. Для изучения связи рядов рассчитайте отклонения фактических значений каждого ряда от теоретических ( и );

2. Для оценки тесноты связи рассчитайте:

    - линейный коэффициент парной корреляции отклонений от линии тренда: ;

    - уровней рядов: и

    - коэффициент частной корреляции уровней: ; поясните их значения, укажите причины различий значений парных коэффициентов корреляции (пп. 1 и 2) и схожести коэффициентов парной корреляции отклонений и частной корреляции уровней (пп.1 и 3);

3. Постройте уравнение множественной регрессии с участием временной составляющей:

4. Проанализируйте полученные результаты. 

    Решение. 

1. Изучение связи рядов выполним двумя способами, сравним их результаты и выберем из них правильный. Для оценки тесноты связи рядов через величины отклонений от оптимального тренда рассчитаем значения отклонений: и (см. табл. 1)

 
 

Выполним  расчёт коэффициента корреляции отклонений от трендов через коэффициент  регрессии  отклонений с₁,  и .  Но для этого предварительно рассчитаем определители второго порядка по уравнению регрессии отклонений: .

В силу того, что свободный член уравнения  регрессии отклонений равен нулю, вид уравнения будет отличаться от традиционного: . С изменением отлонений импорта от своего тренда  на единицу отклонения экспорта от своего тренда изменятся в том же направлении на -0,02 часть своей единицы. В дальнейшем коэффициент с₁ используется для расчёта показателей тесноты связи двух рядов отклонений:

 

Выявлена  тесная связь отклонений от трендов, которая означает, что на 58% вариация размеров отклонений по импорту детерминирует изменения по экспорту, а на 42% вариация размеров отклонений происходит под влиянием прочих факторов.

Второй  вариант оценки связи двух рядов  основан на традиционной оценке корреляции их уровней:

Данный подход к решению задачи предполагает традиционный расчёт определителей уравнения  регрессии уровней, нахождение коэффициента регрессии а₁ и далее с помощью и расчёт коэффициента корреляции. Информация для расчёта представлена в табл. 2.

Расчёт определителей  дал следующие результаты:

Значения параметров регрессии: ;  , а уравнение имеет вид:

.

Коэффициенты  тесноты связи уровней составят: ; . Это значит, что в уровнях существует весьма тесная связь, при которой вариации импорта предопределяет 28,8% вариации экспорта.  
 
 
 

 

2. Однако, делать подобный вывод было бы глубоко ошибочно потому, что в уровнях и одного, и другого рядов выявлены устойчивые, статистически значимые линейные тренды. В подобных условиях выявленное взаимодействие уровней не является причинной зависимостью, а представляет собой ложную связь, вызванную наличием трендов схожей линейной формы. В силу того, что оба тренда сформированы под влиянием разного комплекса факторов, схожесть их формы могут создавать иллюзию связи рядов. Подобные соображения позволяют отказаться от результатов изучения связи уровней, содержащих тренд. В подобной ситуации пристального внимания заслуживает связь случайных отклонений от трендов. Именно этот подход позволяет выявить и количественно оценить истинную связь рядов.

В действительности связь рядов существует, оценивается  она как тесная; то есть, в ней экспорт на 58% детерминирован вариацией импорта. Фактический F-критерий равен 0,050. Это больше табличного (F _табл.=5,32), что доказывает надёжность и значимость истинной связи рядов.

3. Для формализованного представления подобных зависимостей и использования моделей связи динамических рядов в прогнозных расчётах предлагается построить множественную регрессионную модель связи рядов, включая в неё в качестве обязательной составляющей фактор времени t. Речь идёт о построении модели следующего вида: .  В данной задаче в уровнях обоих рядов присутствует линейный тренд. Поэтому включение в модель фактора времени позволит через коэффициент а₂   отразить наличие линейного тренда в уровнях обоих рядов.  Если в уровнях рядов представлены тренды иной, более сложной формы, тогда уравнение множественной регрессии должно через фактор времени отразить эту более сложную форму трендов.

Истинную  силу и направление связи рядов  отразит коэффициент регрессии  а₁  , а тесноту их связи оценит частный коэффициент корреляции: .

Используем  для расчёта параметров множественной  регрессии матрицу парных коэффициентов корреляции, представленную в исходных данных.

Для построения уравнения в стандартизованном  масштабе: рассчитаем значения -коэффициентов:

Получено следующее  уравнение: .