Контрольная работа по "Эконометрике"

Вариант №3.

Задача  №1. 

 По территориям Южного федерального округа приводятся статистические данные за 2000 год:

                                                                                                                               Таблица №1 

  Задание: 

1. Расположите территории по возрастанию фактора X. Сформулируйте рабочую гипотезу о возможной связи Y и X.

2. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о возможной форме и направлении связи.

3. Рассчитайте параметры а₁ и а₀ парной линейной функции и линейно-логарифмической функции

4. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции  (r_yx  и η_ylnx) и детерминации (r²_yx и η²_ylnx), проанализируйте их значения.

5. Надёжность уравнений в целом оцените через F -критерий Фишера для уровня значимости a=0,05.

6. На основе оценочных характеристик выберите лучшее уравнение регрессии и поясните свой выбор.

7. По лучшему уравнению регрессии рассчитайте теоретические значения результата ( ), по ним постройте теоретическую линию регрессии и определите среднюю ошибку аппроксимации - ε'_ср., оцените её величину.

8. Рассчитайте прогнозное значение результата , если прогнозное значение фактора ( ) составит 1,023 от среднего уровня ( ).

9. Рассчитайте интегральную и предельную ошибки прогноза (для a=0,05), определите доверительный интервал прогноза ( ; ), а также диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала ( ), оцените точность выполненного прогноза. 

           Решение: 

1.Предварительный анализ исходных данных выявил наличие одной территории(Краснодарский край) с аномальными значениями признаков. Эта территория исключена из дальнейшего анализа. Расположим территории по возрастанию фактора X.

 
Территория федерального округа Среднегодовая  численность занятых в экономике, млн. чел., X факт. Валовой региональный продукт, млрд. руб., Y

                                                                                                                                       Таблица №2

2. Обычно моделирование начинается в построения уравнения прямой: , отражающей линейную форму зависимости результата Y от фактора X.

 
3. Расчёт неизвестных параметров уравнения выполним методом наименьших квадратов (МНК), построив систему нормальных уравнений и решая её, относительно неизвестных а0 и а1. Для расчёта используем значения определителей второго порядка Δ, Δа0 и Δа1. Расчётные процедуры представим в разработочной таблице, в которую, кроме значений Y и X, войдут X2, X*Y, а также их итоговые значения, средние, сигмы и дисперсии для Y и X. ( см. табл.3) 

                                                                                                                                                                                                    Таблица №3

Расчёт определителя системы выполним по формуле: 
11*6,559 –6,124*6,124 = 34,650; 
Расчёт определителя свободного члена уравнения выполним по формуле: 
225,900*6,559 – 250,397*6,124 = -51,654. 
Расчёт определителя коэффициента регрессии выполним по формуле: 
11*250,397 – 225,900*6,124 = 1370,950.

 
4. Расчёт параметров уравнения регрессии даёт следующие результаты:

           ;     .

В конечном счёте, получаем теоретическое уравнение  регрессии следующего вида:

В уравнении коэффициент  регрессии а1 = 39,565 означает, что при  увеличении среднегодовой численности занятых в экономике на 1 млн. чел. (от своей средней) валовой региональный продукт возрастёт на 39,565 млрд. руб. (от своей средней). 
Свободный член уравнения а₀ = -1,491 оценивает влияние прочих факторов, оказывающих воздействие на валовой региональный продукт. 
Относительную оценку силы связи даёт общий (средний) коэффициент эластичности: 
 
 
 
 

5. Относительную оценку силы связи даёт общий (средний) коэффициент эластичности:                                                     

                                                                           
В нашем случае, когда рассматривается линейная зависимость, расчётная формула преобразуется к виду:                                                             

 Это означает, что при изменении среднегодовой численности занятых в экономике на 1% от своей средней валовой региональный продукт увеличивается на 1,073 процента от своей средней.

 
6. Для оценки тесноты связи рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

Коэффициент корреляции, равный 0,9687, показывает, что выявлена весьма тесная зависимость  между среднегодовой  численностью занятых  в экономике и  валовым региональным продуктом. Коэффициент детерминации, равный 0,9384, устанавливает, что вариация валового регионального продукта на 93,84% из 100% предопределена вариацией среднегодовой численности занятых в экономике; роль прочих факторов, влияющих на розничный товарооборот, определяется в 6,16%, что является сравнительно небольшой величиной.