Экономическая теория использования пространства и классическая теория размещения производства

Чтобы получить представление об особенностях стиля  Лаунхардта, достаточно просто пересказать  его прелестное краткое резюме работы Тюнена, уместившееся на 6 страницах "Математического обоснования". Предположим, говорит он, что урожайность некоторого сельскохозяйственного продукта постоянна в пределах данного региона и равна величине "g" единиц продукта на единицу площади земельного участка. Если предположить, что потребление данного продукта будет сосредоточено в центральном городе региона, то район выращивания данного продукта будет представлять собой круг с радиусом z', а общий объем произведенного продукта составит Q = хpх2. Если р0 - средние издержки производства, постоянные для всех уровней производства, f - средняя стоимость перевозки на единицу расстояния, а р - рыночная цена доставленной на рынок продукции, тогда граница района выращивания продукта представляет собой окружность радиуса z', что удовлетворяет условиям равенства

p=p0 + fz' или 

z' = (p - p0)/f.

Чем больше площадь  выращивания, а значит, и предложения  продукта, тем выше должна быть цена его доставки и соответственно тем  ниже должен быть уровень спроса на него в центральном городе. Спрос и предложение уравновешиваются при какой-то определенной площади зон предложения г, на границе которой рента по местоположению равна нулю. По мере приближения к центральному городу, землевладелец получит за продукт ту же самую рыночную цену, но заплатит более низкие, транспортные издержки, таким образом, он получит в виде ренты f(z' - z) на единицу продукции или f(z' - z) на единицу земельной площади. Следовательно, рента достигает своего максимума на тех участках, которые расположены ближе всего к рынку и снижаются по мере удаления от него. Рост населения в центральном городе ведет к расширению площади рыночного предложения товара, к повышению рыночных цен и денежной ренты во всем регионе. Снижение транспортных издержек заставляет систему работать в обратном направлении, а также способствует стиранию различий в уровнях ренты, получаемой за счет эксплуатации земельных участков, расположенных в разных частях региона.

А теперь введем в анализ конкуренцию между разными  сельскохозяйственными продуктами. Тогда, как показал Тюнен, - пишет Лаунхардт, - скоропортящиеся тяжелые или громоздкие (относительно их ценности) продукты будут производиться вблизи центрального города, а другие, такие, как скот, для которых транспортные издержки на единицу продукции по сравнению с издержками производства на единицу земельной площади невелики, будут производиться на границе региона. В целом совокупная площадь предложения будет разделена на ряд кольцеобразных зон, производящих специализированную продукцию. В каждом кольце производится тот продукт, который дает максимальную чистую прибыль на единицу земельной площади, что позволяет землевладельцу получать самую высокую ренту. Другими словами, конкуренция между специализированными производителями сельскохозяйственной продукции ведет к формированию такой модели землепользования, в условиях которой максимизируется земельная рента. Ниже приводится диаграмма, на которой нанесены величины ренты при производстве четырех альтернативных сельскохозяйственных продуктов.

Так как на величину ренты не влияют издержки воспроизводства  и транспортировки, которые изменяются по мере удаления от центра, ось абсцисс  диаграммы представляет собой границу, на которой значения ренты равны  нулю. Линия нулевых значений ренты, как мог бы добавить, но не добавил Лаунхардт, является также и линией предельных издержек, а равновесная граница зоны сельскохозяйственного производства для "отрасли" (здесь не проводится различий между фермой и отраслью), при которой рента является, максимальной, проходит на расстоянии, на котором предельные значения ренты оказываются равными предельным издержкам производства, что соответствует современному решению задачи о вычислении объема производства в случае обычной монополии. Так или иначе, диаграмма Лаунхардта показывает цены на 4 вида сельскохозяйственной продукции в центральном городе, а также рентные платежи на единицу земельной площади в регионе, за вычетом транспортных издержек, являющихся линейной функцией от удаленности земельного участка от центра.

Расширяя рамки  своего анализа, Лаунхардт сделал вывод  о том, что границы зон производства различных видов продукции лишь в небольшой степени зависят  от снижения транспортных издержек и  что дешевый импорт продукции  в изолированное государство  приведет к сдвигу вниз всей структуры цен продуктов, а также земельных рент в пределах региона.

Наш рис. 1 идентичен  рис. 14, приведенному Лаунхардтом в "Математическом обосновании", за исключением обозначения осей и  изображения в нижней части диаграммы. Эта диаграмма отражает то, что мы сейчас называем "рентной функцией". Она стала широко применяться для иллюстрации "теории выбора культур" Тюнена и постоянно воспроизводиться в современной литературе по городской и региональной экономике без какой бы то ни было ссылки на Лаунхардта4. Она характеризует весьма специфический для сельского хозяйства случай, так как "работает" только тогда, когда производственная функция линейно однородна; когда "выход" продукта с единицы сельскохозяйственной площади постоянен при всех уровнях производства, когда цены факторов производства повсеместно одинаковы и транспортные издержки находятся в строгой линейной зависимости от удаленности хозяйства от центра. Если какое-либо из этих четырех условий нарушается, то рентные функции на разные виды продукции могут быть криволинейными, и в этом случае возникает большая вероятность того, что две рентные функции пересекутся дважды так, что одна и та же культура окажется произведенной более, чем в одной зоне. Несмотря на это, нет никакого сомнения, что диаграмма поясняет теорию Тюнена более, чем все его собственные слова и арифметические таблицы. В то же время она демонстрирует нам элегантность, с которой Лаунхардт излагал экономические идеи.  

Примечание: в  нижней части диаграммы посредством  поворота оси удаленности вокруг точки начала координат линейные характеристики преобразуются в пространственные.

5. Теория размещения  промышленных предприятий

Что больше всего  смущает в книге Тюнена - неоспоримого "основателя" теории размещения, так это то, что он сосредоточил свое внимание не столько на проблеме размещения производственных предприятий, сколько на анализе такого явления, как рента, причем в контексте соотношения между физическими размерами и ценностью различных сельскохозяйственных продуктов.

Размещение производства является при этом ключевой переменной, но само по себе оно не попадает в  фокус анализа. В исследовании Тюнена "можно найти элементы" теории размещения промышленных предприятий, не они сильно напоминают анализ зон  предложения сельскохозяйственных продуктов: решения по размещению, согласно теории Тюнена, принимаются фермерами в пределах ограниченных территорий при выборе как самого продукта, так и способа его производства. Впервые обратился к проблеме оптимального размещения промышленных предприятий Лаунхардт. Он сделал это в своей часто цитируемой статье, озаглавленной "The Determination of the Practical Location of an Industrial Enterprise" - "Практика эффективного размещения предприятий".

В этой статье, написанной в 1882 г., содержится четкое изложение так называемой "проблемы трех точек" в классической теории размещения: как определить оптимальное место для размещения предприятия, которое производит один вид продукции, при постоянных удельных издержках производства, работает на данный, определенный рынок сбыта и располагает двумя источниками сырья и материалов. Оптимальным местом размещения будет то, где общие транспортные издержки на единицу производимой продукции будут минимальными. Далее анализ обобщается для четырех и более фиксированных точек, т. е. для случая с многими рынками сбыта и многими источниками сырья. Спустя 27 лет Альфред Вебер опубликовал свой классический труд "Theory of the Location of Industries" (1909) - "Теория размещения производства", в котором он и его соавтор - математик Джордж Пик пришли к тому же решению "проблемы трех точек", что и Лаунхардт, не будучи, однако, знакомыми с его работами (т.е. упомянутые три точки составляют: одна точка сбыта и два источника сырья. - Прим. ред.).

6. Проблема трех  точек

Лаунхардт начинает свое исследование с заявления о том, что его решение проблемы оптимального размещения производства абстрагируется от различий в ценах земельных участков, наличия водных или трудовых ресурсов, а также ставки заработной платы. Далее он излагает проблему трех точек и решает ее тремя различными способами. Первый предполагает использование тригонометрии для построения вспомогательного "треугольника весов", стороны которого пропорциональны транспортным издержкам производителя на 1 милю перевозки грузов между тремя точками. Этот метод независимо от Лаунхардта вновь открыл спустя 27 лет Джордж Пик, однако он пришел к этому решению более простым способом. Второй способ предусматривает использование модели в духе теоретической механики XVIII в.: линии, исходящие из трех данных точек и ведущие в точку неизвестного оптимального местонахождения предприятия, уподобляются линиям приложения сил. Чтобы продемонстрировать модель в действии, нужно использовать связанные узлом веревки и металлические гирьки и найти точку, в которой физическая система обладает минимальной потенциальной энергией. Этот способ тоже был вторично открыт Джорджем Пиком. Третий подход предполагает построение геометрического "полюса" в точке потребления продукции в "треугольнике размещения". Это решение, соответствующее методу "трех окружностей" Пика, в настоящее время известно по работам современных авторов, работающих в области теории размещения; однако, не все подчас осознают тот факт, что эти авторы мало что добавили нового к оригинальному решению этой проблемы, предложенному Лаунхардтом.

Решение задачи путем использования метода "полюсной точки" трудно для понимания, поскольку  оно предполагает применение некоторых  положений неевклидовой геометрии. В сущности оно заключается в  прокладывании дуг, проходящих через две точки, обозначающие источники закупки сырья, независимо от положения точки потребления, но с учетом относительного размера транспортных издержек на 1 милю доставки продукции между всеми тремя точками. Пересечение дуг определяет положение "полюса". Если воображаемый полюс заменить точкой потребления, можно описать окружность вокруг трех новообразованных точек, а также провести прямую, соединяющую полюс с точкой потребления. Оптимальное место расположения предприятия будет лежать в точке пересечения прямой с описанной окружностью. Так как это решение не зависит от точного положения точки потребления, Лаунхардт расширяет свои доводы на случай отыскания точки оптимального расположения предприятия для любого местонахождения точки потребления по отношению к двум заданным точкам, обозначающим источники сырья. Также он делает попытку распространить полученное решение проблемы трех точек на п точек путем последовательного построения полюсной конструкции для каждых трех точек. Эта процедура, как неоднократно было показано, некорректна, а если бы она и была корректной, то ее применимость ограничивалась бы случаем линейных функций транспортных издержек, когда транспортные издержки на 1 милю доставки груза строго пропорциональны весу перевозимых товаров. Это ограничивает использование как метода "треугольника весов", так и метода, предполагающего построение "полюсной модели". Вплоть до наших дней единственным общим методом решения проблемы п точек служит механическая модель, хотя на практике эта проблема обычно решается компьютерами, которые разрабатывают соответствующие алгоритмы.

В статье 1882 г. можно  найти еще ряд проблем, представляющих интерес. На ее последних страницах  поднимается проблема, как с наименьшими  затратами достичь существующей транспортной сети в условиях, когда все маршруты представляют собой прямые линии, а функция транспортных издержек линейна. Количество отдельных оригинальных идей в этой короткой статье ошеломляет: впервые поставлена проблема минимизации затрат в результате рационального размещения промышленного предприятия при данном, фиксированном рынке сбыта; впервые перечислены экономические силы (помимо транспортных тарифов), которые оказывают влияние на выбор наиболее рационального размещения производства; представлены все три метода решения "проблемы трех точек", которые были известны еще до изобретения линейного программирования в наше время; впервые получено решение простой (классической) транспортной задачи применительно к железнодорожному транспорту. Впечатление от статьи лишь частично снижается из-за ошибочного заявления Лаунхардта о том, что он к тому же решил "проблему п точек" в теории размещения, из-за того, что все его решения относятся лишь к линейной функции транспортных издержек, а также из-за того, что он совсем не затронул вопрос о том, где размещать промышленные предприятия, когда и потребители, и поставщики сырья рассредоточены в пространстве, а не сконцентрированы в одной точке.

7. Районы продаж

Однако последний  недостаток был исправлен Лаунхардтом  в работе "Математическое обоснование", которая в значительной степени посвящена проблеме определения оптимальных районов продаж для конкурирующих между собой производителей, сосредоточенных в одной точке и обслуживающих потребителей, равномерно рассредоточенных в экономическом пространстве; в ней также отводится много места поиску решения проблемы, обратной сформулированной Тюненом: определению оптимального района снабжения для конкурирующих между собой потребителей, сосредоточенных в одной точке, но покупающих товары у производителей, рассредоточенных в экономическом пространстве. Лаунхардт определяет цену доставки продукции потребителям как функцию от постоянной цены в месте ее производства и транспортных издержек, которые изменяются прямо пропорционально расстоянию (до рынка. - Прим. ред.). Величина спроса на определенное количество продукта, предъявляемого в любом месте, таким образом, линейно зависит от местной цены доставки, и, допуская возможность равномерного распределения потребителей на единицу площади, Лаунхардт делает вывод о том, что общее число проданных продуктов одного производителя прямо пропорционально кубу транспортных издержек на доставку единицы продукции от предприятия до окружности границы района, в котором расположен рынок, и обратно пропорционально квадрату транспортных тарифов. Далее, он рассматривает районы продаж двух идентичных товаров, изготовленных с разными издержками в двух разных местах и находит геометрическое место точек, в которых цена франко-завод, т. е. после вычета транспортных издержек, оказывается одинаковой для двух товаров. На своей знаменитой диаграмме (см. рис. 14-2) он показывает, что это место точек представляет собой замкнутый овал четвертой степени или, как назвал его Декарт, "эллипс второго рода", где находится район продаж "худшего" товара, т. е. товара, более тяжелого на единицу ценности, или, как бы мы сказали сейчас, товара, у которого угол наклона функции транспортных издержек больше.  

Примечание. А  и В - места расположения двух предприятий, производящих конкурирующие между  собой продукты. Овальная граница  отделяет район продаж предприятия  В от района продаж предприятия А, где товар В является "худшим", х и у - соответствующие расстояния двух предприятий от точки Е, в которой цены франко-завод для двух товаров равны.

Лаунхардт отмечает, что если издержки производства двух товаров равны, какими бы ни были транспортные издержки, то картезианский овал превращается в идеальный круг. И напротив, если транспортные издержки двух товаров равны, а издержки их производства отличны друг от друга, то граница рынка преображается из замкнутой кривой в гиперболу, вогнутую в сторону предприятия с более высокими издержками, потому что гипербола представляет собой кривую, у которой разница между расстояниями до двух фиксированных точек всегда постоянна. И наконец, если равны как издержки производства, так и транспортные издержки, то граница рынка превращается в перпендикуляр, делящий пополам отрезок, соединяющий два места расположения предприятий. В общем случае, если какой-либо товар должен конкурировать с большим числом других товаров, происходящих из окружающих областей, его область продаж принимает форму многоугольника, стороны которого должны быть прямыми, так, чтобы экономическое пространство было непрерывным. Здесь в двух словах описаны все элементы, которые входят в известный "закон о районах продаж", сформулированный Маршаллом в 1890 г. (и ошибочно приписываемый Тюиену), вновь открытый Джорджем Пиком в 1909 г. и еще раз Франком Феттером в 1924 г., - все это без малейшего признания заслуг как Лаунхардта, так и друг друга5. Здесь же мы видим истоки концепции шестигранных районов продаж, приписываемой Кристаллеру (Christaller) и Лёшу (Losch), творившим в 30-е годы XX в.