|
Задача
№18 |
|
Текущий курс акции
равен 80,00 и может в будущем либо
увеличится |
| до
100,00 с вероятностью 0,6, либо понизится
до 60,00 с вероятностью |
| 0,4.
Цена исполнения опциона "колл"
равна 80,00. |
| Определите
ожидаемую стоимость
опциона "колл".
Определите |
|
коэффициент
хеджирования и постройте
безрисковый портфель. |
| S=80,00 |
uS=100,00 |
dS=60,00 |
|
|
|
| K=80,00 |
u=1,25 |
d=0,75 |
|
|
|
|
| rf=0,05 |
r=1+rf= |
1,05 |
|
|
|
|
|
Используем
биномиальную модель |
|
Попробуем построить
модель цены опционов с одним периодом
для случая, когда цена акции в
следующем периоде может принимать
только два значения. В следующем периоде
акция, которая сейчас продается по цене
S, будет продаваться либо по цене uS,
либо по цене dS, причем, uS >dS. Величины
u и d — это коэффициенты изменения
цены акции. |
| Имеется
возможность выпустить или купить
облигации на сумму В под процент
rf, причем r
определяется как r = 1 + rf |
| rf
- безрисковая %-я ставка, примем
rf = |
5,00% |
r = |
105,00% |
|
u>r>d, опцион
покупателя с ценой исполнения К=80,00,
срок которого истекает через один период.
Пусть С — стоимость опциона в момент
0. |
| Сu
— стоимость опциона к концу
срока, если цена акции достигнет
uS=100,00: |
|
Cu
= max(uS – K, 0) |
|
|
|
|
|
Сd — стоимость
опциона к концу срока, если цена
снизится до dS=60,00: |
|
Cd
= max (dS - К,0). |
|
|
|
|
|
Доходы от опциона
покупателя, за один период до окончания
срока, можно в точности промоделировать
доходами от соответствующим образом
выбранного портфеля акций и облигаций,
который называется хеджированным
портфелем. Так как опцион покупателя
полностью эквивалентен портфелю, их стоимости
должны быть одинаковы. Стоимость хеджированного
портфеля можно определить, зная рыночные
цены акций и облигаций, из которых он
составлен. |
| |
|
|
|
|
|
|
| Формирование
хеджированного портфеля |
|
Представим себе
инвестора, который в момент 0 хочет
сформировать такой хеджированный
портфель, чтобы в момент 1 доходы от него
были равны доходам от опциона покупателя.
Инвестор |
| 1.
купит D обыкновенных акций по
цене S за каждую; |
| 2.
купит облигации на сумму
В рублей. Стоимость облигаций через
один период будет равна rВ. Ставка
процента равна r —1. |
|
Мы хотим найти
такие В и D , чтобы доход от портфеля
был таким же, как и от опциона покупателя
(рис.1). Доходы от опциона зависят от цены
акций. Если доходы от хеджированного
портфеля и от опциона одинаковы, а цена
акции растет, будет выполняться следующее
равенство: D uS + rB = Cu (1) |
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
| Рис.
1. Денежные потоки от
инвестиций в акции
и облигации и
от покупки опциона |
| |
|
|
|
|
|
|
|
Если доходы от
хеджированного портфеля и от опциона
одинаковы, а цена акции падает, будет
выполняться равенство: D dS + rB = Cd (2) |
| Значения
Сu и Cd в момент
1, когда закончится срок опциона, известны,
так как известны характеристики опциона
и стоимость обыкновенной акции. Таким
образом, имеем два уравнения с двумя неизвестными.
Вычитая выражение (2) из (1), получим решение
относительно D : |
| D
S(u - d) = Cu - Cd |
|
20-0 |
|
|
| Преобразуя,
получим: |
80(1,25-0,75) |
D=1/2 |
| |
|
|
|
| Величина
D называется коэффициентом
хеджирования, она определяет, сколько
обыкновенных акций нужно купить, чтобы
получить такой же денежный доход, как
и от покупки одного опциона. |
| Решаем
уравнения (1) и (2) относительно В: |
|
|
|
|
|
-0,75*20 |
|
|
|
|
| |
(4) |
(1,25-0,75)*1,05 |
B= |
-28,57 |
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
Портфель, состоящий
из одного опциона покупателя, в любом
случае принесет такой же доход, что и
портфель из В облигаций и D обыкновенных
акций. Поэтому в состоянии равновесия
первоначальная стоимость обоих портфелей
должна быть одинаковой. Для этого должно
выполняться равенство: |
| C
= D S + B (5) |
- безрисковый
портфель |
|
|
| C
= |
1/2*80+(-28,57)= |
11,429 |
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|