Язык классической логики высказываний. Определение формулы (К.Л.В). Семантика К.Л.В

Элементарное высказывание - это такое высказывание, которое не содержит логических союзов.  
          Элементарным (простым) высказываниям естественного языка при переводе на язык логики высказываний соответствуют атомарные формулы.  
Сложным высказываниям соответствуют неатомарные формулы.  
Логическим союзам соответствуют логические константы: 
1. Конъюнкция («и, а, но, да») - &. Истинно тогда и только тогда, когда А и В истинны. 
Например: Платон мне друг, но истина дороже. 
p– Платон мне друг, 
q – истина дороже. 
Ответ: (p & q) 
2. Дизъюнкция («или») - \/, строгая дизъюнкция («или…, или…», «либо…, либо…»). Истинно тогда и только тогда, когда хотя бы одно из выражений А и В истинно.

Например: Утром я пью чай или кофе. 
p – утром я пью чай, 
q – утром я пью кофе. 
Ответ: (p \/ q) 
Например: 1. Быть или не быть – вот в чем вопрос! 
p – быть - вот в чем вопрос, 
q – не быть – вот в чем вопрос. 
Ответ: (p \º/ q) 
2. Либо я найду путь, либо проложу его! 
p – я найду путь, 
q – я проложу путь. 
Ответ: (p \º/ q) 
(Следует указать на то, что строгая дизъюнкция не предполагает равноценного существования двух вариантов, необходимо следует сделать выбор) 
3. Импликация («если..., то...») - É,

Импликацией высказывания А и В называется высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно. 
Например: Когда вода в море остывает, к берегу приплывают  
медузы. 
p – вода в море остывает, 
q – к берегу приплывают медузы  
Ответ: (p É q&r )).

Эквиваленцией высказывания А и В называется высказывание, обозначаемое выражением А↔В, которое истинно тогда и только тогда, когда логические значения А и В совпадают. Выражение А↔В читается: «А тогда и только тогда, когда В».

Например: «Монета падает орлом тогда и только тогда, когда она падает решкой» - ложно.  ’’Если число делится на 10 (р), то оно делится и на 5 (q)’’ – истинно.

Является ли формулой выражение (р¬q)? Переменные р и q являются формулами. Следовательно, данное выражение имеет вид (А¬В), где А и В – формулы. Но выражение вида (А¬В) не предусмотрены пп. 1-3, поэтому согласно п.4, они не являются формулами.

Формула, входящая в состав некоторой формулы, называется подформулой. Например, подформулами  (А   В), (А   В), (А   В)является р, q, r. ¬p, (q&r), а также сама (¬р→(q&r)) ведь, согласно определению подформулы, всякая формула является собственной подформулой.

В сложной формуле всегда можно выделить связку, которая называется ее главным знаком. В формулах вида ¬А главным знаком является вхождение символа ¬. В формулах видов  (А   В), (А   В), (А   В) главными знаками являются, соответственно, те вхождения символов  ,   ,  , которые стоят между подформулами А и В. Например, в формуле (¬р→(q&r)) главным является знак →.  В формуле (¬р→q)&r) – знак &, а в формуле ¬(р→(q&r)) знак¬.

Для того чтобы записи формул имели более компактный вид, примем соглашение об определении скобок: если первым знаком формулы является левая скобка, а последним – правая, то эту пару скобок договоримся опускать. Тогда формула ¬р→(q&r)) напишется так ¬p→(q&r).

Завершив построение формализованного языка, покажем, каким образом в нем выражается логическая форма высказываний  естественного языка.

Выразим в языке пропозициональной логики формулу сложного высказывания:

«Если спортсмен стал призером соревнований, но не выиграл их, он занял второе либо третье место».

Прежде всего необходимо выделить простые высказывания, входящие в состав сложного. В примере их четыре:

1. Спортсмен стал призером соревнований.
2. Спортсмен выиграл соревнования.
3. Спортсмен занял второе место.
4. Спортсмен занял третье место.

Каждому простому высказыванию сопоставляется собственная пропозициональная переменная, например, первому – р, второму – q, третьему – r, четвертому – s.

Далее выделяем логические термины, посредством которых простые высказывания сочленяются в сложные. «но», «не», «либо», «если..то». Теперь необходимо выяснить, какой смысл в данном высказывании выражает каждый логический термин, и составить этому термину связку формализованного языка, имеющую аналогичный смысл.  В данном случает термину «но» по смыслу соответствует конъюнкция (&), термину «не» - отрицание (¬), термину «либо» - дизъюнкция ( ). Что касается союза «если…то», то наиболее близкой по смыслу является материальная импликация →. Однако, как уже говорилось, данный союз выражает условную связь между положениями дел и не является истинно-функциональным. Поэтому, заменяя «если…то» связкой → необходимо помнить, что в указанных случаях она выражает лишь часть логического содержания условного высказывания.

В контексте естественного языка простые высказывания могут сочленяться с помощью таких союзов, которым не соответсвует никакая пропозициональная связка из алфавита построенного нами формализованного языка. Например, высказывание: 

«Ни днем, ни ночью пограничники не теряют бдительности»

Содержит союз «ни…ни», у которого нет смыслового аналога в системе связок.

Как же выявить формулу в данном случае? Необходимо переформулировать сложное высказывание таким образом, чтобы оно выражало то же самое утверждение, но содержало при этом только такие союзы, которым соответсвуют по смыслу какие-либо связки из алфавита. Например, приведенное выше высказывание можно, не изменяя его содержания, переформулировать так:

«Неверно, что днем пограничники теряют бдительность, и неверно, что ночью пограничники теряют бдительность».

Логическая форма данного высказывания имеет вид (¬р&¬q), где р поставленно вместо «Днем пограничники теряют бдительность», а q вместо “Ночью пограничники теряют бдительность”.

Пропозициональная связка, адекватная по смыслу союзу “ни…ни” естественного языка , может быть введена в язык классической пропозициональной логики посредством определения через исходные связки алфавита. Выражение вида “Ни А, ни В” содержит утверждение об отсуствии обеих ситуаций – описанной в А и описанной в В. Логическое содержание этого утверждения выразимо с помощью связок ¬ и &  cледующим образом: (¬А&¬B).