Вычисление площадей криволинейных эпюр изгибающих моментов с использованием численных методов

      Если  аналитическое выражение функции f(x) неизвестно или весьма сложно, то возникает задача найти функцию y= φ(x), значения которой при x=x_i мало отличались бы от опытных данных. Таким образом исследуемая зависимость аппроксимируюется функцией y= φ(x) на отрезке [x_i,x_n]:

      

φ(x) (3.1)

      Аппроксимирующая  функция y=f(x) называется эмпирической формулой или уравнением регрессии.

      Для чего нужна эта  зависимость?

Если  приближение (3.1) найдено, то можно:

• просчитать значение y для любого значения аргумента;
• сделать прогноз о поведении функции вне исследуемого отрезка;
• выбрать оптимальное направление развития исследуемого процесса.

      Уравнение регрессии может иметь различный  вид и различный уровень сложности  в зависимости от особенностей исследуемого объекта и необходимости точности представления.

      Геометрически задача построения уравнения регрессии состоит в проведении кривой L: y=f(x) «возможно ближе» примыкающей к экспериментальных точек.

      

      Построение  уравнения регрессии состоит  из 2 этапов:

1. выбор общего вида уравнения регрессии,
2. определения его параметров.

      Часто в качестве уравнения регрессии  выбирают полином

      φ(x)

(3.2)

      Вторая  задача решается методом наименьших квадратов.

Метод наименьших квадратов

      Допустим, что результаты эксперимента предоставлены  в таблице, представленной выше. И  уравнение регрессии записывается в виде (3.2), т.е. зависимость от (m+1) параметра a₀, a₁, a₂,…a_n:

      

(3.3)

      Эти параметры и определяют расположение графика эмпирической формулы относительно экспериментальных точек. Однако эти  параметры определяются не однозначно. Требуется подобрать параметры так, чтобы график уравнения регрессии был расположен как можно ближе к системе экспериментальных точек.

      Введем  понятие отклонения значения уравнения регрессии (3.3) от табличного значения y_i для x_i:

      

(3.4)

      Рассмотрим сумму квадратов отклонений

      

(3.5)

      Согласно  МНК наилучшими коэффициентами a_i являются те, которые минимизируют функцию S (3.5)

      Используя необходимые условия экстремума функции нескольких переменных, получим нормальную систему для определения коэффициентов a₀, a₁, a₂,…,a_m:

      

; ;…; . (3.6)

      Для аппроксимирующей функции (3.3) система (3.6) является системой линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных  a₀, a₁, a₂,…,a_m.

      Если  , то существует бесконечно много многочленов (3.3), минимизирующих функцию (3.5). Если , то существует только один многочлен (3.3), минимизирующий функцию (3.5). Будем считать, что .

      Чем меньше m, тем проще тем проще эмпирическая формула, но это не всегда лучше.

Эмпирические  формулы с двумя  параметрами. 
Метод выравнивания

      Для описания многих технологических процессов  используются эмпирические формулы, содержащие 2 параметра:

      

(3.7)

      Пусть заранее известно, что экспериментальные  точки не лежат на одной прямой, для нахождения a, b используется метод выравнивания.

      Идея  метода. Вводятся новые переменные

      

(3.8)

так, чтобы  преобразованные точки могли быть аппроксимированы линейной зависимостью

(3.9)

Здесь ;

      Параметры А и В находятся методом наименьших квадратов.

Аппроксимация экспериментальной  зависимость уравнением регрессии 3-го порядка

      Поставим  задачу аппроксимировать полученную ранее  экспериментальную зависимость  n(e) уравнением регрессии 3-го порядка, использую надстройку «Поиск решения».

 

      Т.е. мы получим функцию вида:

      

(3.10)

      В качестве начальных приближений  примем a=b=c=d=1. Формируем таблицу:

 

где, квадрат  отклонения находится по формуле:

(3.11)

      Теперь  нашей задачей является минимизация  суммы квадратов отклонений. Мы можем  это сделать путем изменения  коэффициентов a, b, c, d. Для поиска оптимальных значений выполним команду:

      Меню  Сервис\Поиск решения

      После этого значения a, b, c, d изменятся на: a=4,261463435, b=41,97251008, c=-1192,303823, d=4643,463328.

      Тогда получаем следующую таблицу измененных значений:

 

      Найдем  среднее квадратичное отклонение по формуле:

      

(3.12)

      В нашем случае

      Построим  графики обеих функций:

      

Аппроксимация эмпирической функцией с двумя параметрами 

      Нам заранее известно, что экспериментальные точки не лежат на одной прямой. А эмпирическая формула имеет вид:

         (3.13)

    Прологарифмируем  выражение (3.13)

    

и введем новые переменные:

(3.14)

Обозначив A=lna; B=b, получим вид эмпирической функции в новой системе координат

      Составим  таблицу значений для этой функции:

 

      Неизвестные параметры А, В находим, используя МНК и строим нормальную систему

      

(3.15)

      Подставив численные значения получаем:

      

      Решаем  данную систему методом Крамера:

      

      

      

      

      

      Из (3.14) и b=B. Подставим найденные значения в (3.13) и получим: