Пермский государственный технический  университет

      Строительный  факультет

      Кафедра строительной механики и вычислительных технологий

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      КУРСОВАЯ   РАБОТА

      по  дисциплине  

      ИНФОРМАТИКА 

      Тема: Вычисление площадей криволинейных эпюр изгибающих моментов с использованием численных методов 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      Работу  выполнил:

      студент I-го курса 
строительного факультета 
Лапшин А.М. 

      Работу  принял:

      старший преподаватель 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      Пермь 2009

      Решение нелинейного уравнения

      Решение некоторых строительных задач сводится к решению достаточно сложных нелинейных уравнений. Корни таких уравнений сравнительно редко удается найти точными методами. Следовательно, сама задача о точном определении корней теряет смысл и важное значении приобретают способы приближенного нахождения корней уравнения и оценки степени их точности.

      Любое нелинейное уравнение можно представить  в виде:

      

(1.1)

где функция  f(x) определена и непрерывна в некотором конечном или бесконечном интервале А<x<B.

      Всякое значение х*, обращающее уравнение (1.1) в тождество, называется корнем этого уравнения.

      Методы  решения нелинейных уравнений делятся  на прямые (точные) и итерационные (приближенные).

      Прямые  методы позволяют записать корни уравнений в аналитическом виде.

      Итерационные методы – методы последовательных приближений.

      Алгоритм  нахождения приближенных значений корней уравнения (1.1) складывается из двух этапов:

1. определение или локализация корней.
2. Уточнение приближенного корня до заданной степени точности.

Существуют следующие методы решения нелинейных уравнений:

1. метод половинного деления
2. метод хорд
3. метод Ньютона
4. модифицированный метод Ньютона

В данной работе я использовал метод хорд. Рассмотрим его поподробнее.

Сущность  метода хорд.

      Пусть функция y=f(x) на отрезке [a,b] имеет единственный корень х*.

      С геометрической точки зрения способ состоит в замене кривой y=f(x) хордой, проходящей через точки А[a,f(a)] и B₀[b,f(b)].

      Уравнение хорды АВ запишется, как 

      

  (1.2)

      

      Для построения итерационной последовательности рассмотрим два случая, каждый из которых определен видом графика функции y=f(x) на отрезке [a,b].

      Первый  случай. Полагаем f(a)>0, f(b)<0 и f``(x)>0 для x=[a.b].

1. В качестве нулевого приближения корня выбираем правый конец отрезка [a,b], т.е. x₀=b.
2. Проводим хорду АВ₀ и за первое  приближение х₁ принимаем абциссу точки пересечения хорды с осью ОХ.
3. Второе приближение х₂ получаем как абсциссу точки пересечения хорды АВ₁ с осью ОХ.
4. Аналогичным образом строим итерационную последовательность приближений:

  (1.3)

      Данная  итерационная последовательность сводится к корню х*.

      Второй  случай. Полагаем f(a)<0, f(b)>0 и f``(x)>0. В качестве нулевого приближения корня выбираем левый конец отрезка [a,b], x₀=a,  в качестве неподвижного конца х=b

      

      Аналогично  первому случаю строим последовательность приближений, сходящуюся к точному  х* уравнения (1.1).

Пример  решения нелинейного  уравнения

      Решим нелинейное уравнение

      

      Выберем отрезок, где есть единственное решение  уравнения (1.1): . Протабулируем данную функцию. Разобьем её на 10 частей, тогда шаг будет находиться по формуле: . Составим таблицу табулирования:

 

      

      Выбираем  начальное приближение. Из условия  f``(x)*f(x)<0 выбираем начальное приближение. В нашем случае f``(x)>0, а f(x)<0, данное условие выполняется в точке х₀=а=0,7

где f(x) это значение функции в данной точке, е – точность, которая равна: . Из таблицы видно, корнем уравнения будет х*=1,307456037. Корень найден с точностью 0,00268761 на 7-ой итерации.

      Построим  зависимость n(e), из которой будет видно количество итераций для каждого значения е.

        Построим график зависимости  n(e):

        
Вычисление  площадей криволинейных  фигур

      При решении достаточно большого круга  задач приходится сталкиваться с необходимостью вычисления определенного интеграла:

      

(2.1)

      Вычисление  площадей, ограниченных кривыми, работы, моментов инерции и т.д. сводится к вычислению определенного интеграла.

      Если  непрерывная на отрезке [a,b] функция y=f(x) имеет на этом отрезке первообразную F(x), то интеграл (2.1) может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница:

      

(2.2)

      Однако  только для узкого класса функций  y=f(x) первообразная F(x) может быть выражена в элементарных функциях. Кроме того, функция y=f(x) может задаваться графически или таблично. В этих случаях применяют различные формулы для приближенного вычисления интегралов. Такие формулы называют квадратурными формулами или формулами численного интегрирования.

      Идея  численного интегрирования заключается  в замене криволинейной трапеции фигурой, площадь которой вычисляется достаточно просто.

      Для этого отрезок интегрирования [a,b] разбивают на n равных элементарных отрезков [x_i;_xi+1] (i=0,1,2,…,n-1), с шагом . При этом криволинейная трапеция разобьется на n элементарных криволинейных трапеций с основаниями равными h

      

      Каждая элементарная криволинейная трапеция заменяется фигурой, площадь которой вычисляется довольно просто. Обозначим эту площадь S_i. Сумма всех этих площадей называется интегральной суммой и вычисляется по формуле:

      σ_n

  (2.3)

      Тогда приближённая формула вычисления интеграла (2.1) имеет вид

      

 σ_{n (2.4)}

      Точность  вычисления по формуле зависит от числа разбиений n. С увеличением n интегральная сумма σ_n приближается к точному значению интеграла

      

 σ_n (2.5)

      

      Существуют  различные формулы для оценки погрешности выражения (2.4), но, как  правило, они достаточно сложны. Будем  проводить оценку точности приближения (5.4) методом половинного шага. Для  этого циклически повторим следующую  последовательность действий:

1. Разбиваем отрезок интегрирования на n равных отрезков с шагом
2. Строим σ_n по формуле (2.3)
3. Повторяем пункты 1) и 2) для шага h/2, т.е. для 2n и строим σ_2n
4. Если два соседних приближения близки, т.е. | σ_n – σ_2n|<e (2.6), то σ_2n принимаем за приближённое значение интеграла (2.1) с заданной точностью е:

 

σ_{2n (2.7)}

5. Если условие (2.6) не выполняется, то надо вернуться на пункт 3).

Способы численного интегрирования

1. Квадратурные  формулы прямоугольников.
2. Квадратурная  формулы трапеций.
3. Квадратурная формула Симпсона.

      Рассмотрим  поподробнее способ квадратурных формул прямоугольников.