Квадратурные  формулы прямоугольников

      Отрезок интегрирования [a,b] разбиваем на n равных отрезков и получаем n+1  равноудаленных точек: x₀=a, x_n=b, x_i+1=x_i+h, i=(0,1,…,n-1), где h шаг разбивки. При этом обозначим .

      Площадь каждой элементарной криволинейной  трапеции заменим площадью прямоугольника с основанием h и высотой , где i=0,1,2,…,n-1

      

      В зависимости от выбора m_i существует несколько формул прямоугольников.

• Формула «левых» (входящих) прямоугольников, когда m_i=x_i:

  (2.8)

• Формула «правых» (выходящих) прямоугольников, когда m_i=x_i-1

(2.9)

• Формула «средних» прямоугольников, когда m_i=x_i+h/2

  (2.10)

Пример  нахождения площади  криволинейной трапеции

      Найдем  площадь криволинейной трапеции методом «левых» (входящих) прямоугольников.

      

      Из  графика видно, что искомая площадь  будет состоять из 2-х площадей:

      

(2.11)

      В моем случае a=0,7, b=4, x* - решение нелинейного уравнения (найденное ранее). х*=1,307456037.

Найдем  S_1. Для этого, как говорилось ранее, разобьем отрезок от a до x* для начала на 5 частей. Шаг вычислим по формуле . В нашем случае h=0,121491207. Составим таблицу вида: 

 

где x`=x+h, y`=y(x`), т.к. функция до корня x* лежит в отрицательной области, то формула для метода входящих прямоугольников будет выглядеть:

      Получаем, что I=0,075380714. Теперь уменьшаем шаг в 2 раза, т.е. увеличиваем количество разбиений в 2 раза, тогда получаем  h=0,060745604.

 

       Получаем  значение интеграла: I=0,08468228, определим е по формуле (2.6).  В нашем случае e=0,023936676.

      Опять уменьшаем шаг в 2 раза и получаем 20 разбиений с h=0,030372802.

 

      I=0,089359684. е=0,004677404, что удовлетворяет заданной точности. Тогда получаем, что

      Аналогично  рассмотрим участок от x* до b. Т.к. функция лежит в положительной области, то вычисляем интеграл по формуле (2.8). Разбиваем участок на 5 частей, тогда h=0,538508793

 

      Получаем, что I=3,449351066

Уменьшаем шаг в 2 раза, значит увеличиваем  число разбиений до 10. получаем шаг h=0,269254396

 

      Получаем, что I= 3,14028797, e=0,309063096.

Точность  не удовлетворяет заданной, поэтому  увеличиваем число разбиений  до 10. h= 0,134627198.

 

      Получаем, что I=2,987378894, е=0,152909076. Данная точность не удовлетворяет заданную, поэтому продолжаем разбиение.

Увеличиваем число разбиений до 40. h=0,134627198

 

      Получаем  I=2,911333086, e=0,076045808 что удовлетворяет заданной точности. Значит:

      Тогда можем найти искомую площадь, которая будет находиться по формуле:

      

 

S=3,000692769.

      Вывод: полученная площадь вычислена с точность e=0,1, при этом количество разбиений до корня равно 10, а полсе корня – 40.

 

       Аппроксимация

Задачи  и способы аппроксимации

      Большинство численных методов основаны на замене одной функции f(x) другой функцией φ(x). Как правило φ(x) обладает «хорошими» свойствами и является «удобной» при аналитических и вычислительных операциях. Такую замену называют аппроксимацией.

      Таким образом, задача аппроксимации функции  f(x) функций φ(x).состоит в построении функции φ(x) близкой к функции f(x) на некотором отрезке [a,b].

      Для решения этой задачи необходимо ответить на ряд вопросов, а именно:

1. что известно о функции f(x). Задана она аналитически или таблицей своих значений, какова степень её гладкости.
2. какую функцию φ(x) выбрать в качестве аппроксимирующей функции.
3. что понимать под близостью между f(x) и φ(x), т.е. какова степень приближения.

      Термин  близости двух функций понимается по-разному в зависимости от обстоятельств. При этом мы получаем различные задачи теории приближения, из которых рассмотрим интерполирование и среднеквадратичное отклонение.

Среднеквадратичное  приближение

      Исходные  данные для построения тех или иных измерений имеют заведомо приближенный характер. Эти данные содержат погрешности измерительной аппаратуры, погрешности условий эксперимента, случайные ошибки и пр.

      Предположим, что при обработке результатов  какого-либо эксперимента обнаружена некая функциональная зависимость y=f(x). Эта зависимость представлена в таблице зачтений y_i, полученных в ходе эксперимента y_i