Основные  определения теории надежности. 

Общие положения

    Важнейшим эксплуатационным показателем качества системы является надежность. Недостаточно высокий уровень, которой приводит к снижению эффективности систем и ошибочным действиям в решении задач. Надежность систем взаимосвязана как с техническими, так и с экономическими требованиями. Надежность характеризует ожидаемое поведение системы в смысле отказа или кратковременная ошибка ее функционирования в заданном интервале времени. Отказ заключается в потере работоспособности, которая м.б. восстановлена только путем внешнего вмешательства.

    Случайная ошибка функционирования (сбой) проявляется  в кратковременном случайном  нарушении выполнения к.л. функции. Если нарушение носит систематический  характер, то имеет место устойчивый отказ.

    Для количественных оценок надежности используют различные характеристики и параметры, относящиеся к событиям как появление  отказа или случайной ошибки функционирования, что позволяет предупредить или  устранить их.

    Важнейшими  из характеристик являются:

    - среднее время наработки до  отказа;

    - готовность аппаратуры;

    - вероятность безотказной работы (в течении заданного времени и в заданном режиме);

    - частота отказов.

    Надежность  прибора или системы можно  прогнозировать рассчитав ее заранее  на этапе проектирования этих систем. Методика расчета основана на знании показателей надежности отдельных  компонентов с учетом структуры, принципа и условий эксплуатации системы.

    Полученные  оценки являются вероятностными, т.е. показатели надежности компонентов оцениваются  статистически по результатам их испытаний или эксплуатации.

Законы  распределения случайной  величины (СВ) и их события.

    СВ  – величина, которая в результате опыта может принимать то или  иное значение, причем заранее не известно какое именно. СВ м.б. дискретной и  непрерывной.

    Закон распределения СВ – соотношение, устанавливающее связь м/ значениями СВ и их вероятностями. Для характеристики СВ используется вероятность того, что СВ X меньше текущей переменной x.

    Функция распределения (ФР) СВ (интегральный закон  распределения)

    F(x) = p (X < x)

    Плотность распределения (ПР) непрерывной СВ (дифференциальный закон распределения) это производная  от ФР

    f(x) = dF(x) / dx. 
 

    Свойства  ПР:

    

     

    В теории надежности за СВ обычно принимают  время работы системы (это время  до возникновения отказа). В этом случае ФР:

    F(t) = P (t < t_зад) = Q(t).

    ПР: f(t) = dQ(t) / dt.

    Вероятность безотказной работы за время t:

    P(t) = 1 – Q(t).

    Интенсивность отказа (условная плотность вероятности  отказов) – это отношение ПР f(x) к вероятности безотказной работы P(t):

    l(t) = f(t) / P(t).

    В теории надежности наибольшее распространение  получили законы распределения СВ f(t):

    Для дискретной СВ – биноминальный, Пуассона.

    Для непрерывной СВ – экспоненциальный, нормальный, гамма, Вейбулла, хи квадрат, логарифмический.

    Случайное событие это событие, которое в результате опыта может произойти или не произойти. Для нас случайное событие это отказы, восстановления, заявки на обслуживание…образуют случайные потоки и случайные процессы. Поток событий это последовательность событий происходящих одно за другим в какие-то промежутки времени, например отказы восстанавливаемого производства образуют поток отказов. Под их действием, потов отказов и восстановлений, система может находится в различных состояниях: полного отказа, частичного отказа и работоспособном. Переход системы из одного состояния в другое представляет собой случайный процесс.

Законы  распределения, используемые в теории надежности.

 

    Биноминальный закон распределения числа n – появления события А в m – независимых опытах (испытаниях). Если вероятность появления события А в одном испытании есть р, тогда вероятность не появления события q = 1 – p.

    Если  независимое число испытаний = m, тогда вероятность появления n событий будет равна: - уравнение Бернулли.

     - число сочетаний из m по n. .

    Свойства:

1. число событий n это целое положительное число;
2. математическое ожидание (МО) числа событий М = m*p;
3. среднеквадратическое отклонение

 

    При увеличении числа испытаний биноминальное  распределение приближается к нормальному  со средним значением n/m и дисперсией p(1-p)/m. 

    Закон Пуассона.

    

    вероятность возникновения случайного события  n раз за время t. l - интенсивность случайного события.

    Свойства:

1. МО числа событий за время t: М = l*t.
2. среднеквадратическое отклонение числа событий , для данного распределения М = D.

    Распределение Пуассона получается из биноминального, если число испытаний m неограниченно возрастает, а МО числа событий остается постоянным.

    Закон Пуассона используется в том случае когда необходимо определить вероятность  того что за данное время произойдет 1,2,3…отказов. 

    Экспоненциальный  закон.

    

    где P(x) это вероятность того что СВ X имеет значение большее x.

    В частном случае, когда за СВ принимается  время работы системы t вероятность т ого что система на протяжении времени t будет находится в работоспособном состоянии будем равно: .

    где  l - интенсивность отказов системы. l – const.

    Это выражение можно получить из закона Пуассона, если число отказов n = 0.

    Вероятность отказа за время t м.б. записана

    Q(t) = 1 – P(t) = 1 -

    Плотность вероятности отказов

    F(t) = dQ / dt = l

    Среднее время работы до возникновения отказа

    

    Дисперсия – это время работы до возникновения  отказа

    D(t) =

    Среднеквадратичное  отклонение

    

    Равенство и Т₁ является характерным признаком экспоненциального распределения. 
 
 
 

    g распределение.

    Если  отказ устройства возникает тогда  когда произойдет не менее k отказов его элементов, а отказы элементов подчинены экспоненциальному закону с параметром l₀. Плотность вероятности отказа устройства:  

где l₀ исходная интенсивность отказов (ИО) элементов устройства, отказ которого вызывается отказом его элементов. Этому распределению подчиняется время работы резервных устройств и систем.

    Вероятность k и более отказов, т.е. вероятность отказа устройства:

    

    Плотность вероятности отказа системы за время  t:

    

    Среднее время работы системы до отказа:  

    ИО  устройства:

    

    Вероятность безотказного состояния системы:

    

    При k = 1 g распределение совпадает с экспоненциальным.

    Распределение Вейбула.

    Плотность вероятности:  

    Вероятность отсутствия отказа за время t:  

    ИО:   

a и l₀ - параметры распределения, при a = 1 функция Вейбула совпадает c экспоненциальным распределением. При a < 1 ИО будет монотонно убывающей функцией, если a > 1 – монотонно возрастающей.

    Распределение Вейбула применяется для отказов  устройства состоящего из последовательно  соединенных дублированных элементов.

    Нормальное  распределение (НР).

    СВ X возникает тогда когда x зависит от большого числа однородных по своему влиянию случайных факторов, причем влияние каждого из факторов по сравнению с влиянием совокупности остальных незначительно.

    Плотность вероятности отказа НР:

    

    Вероятность отказа за время t:

    

    Для удобства определения F(t) составлены таблицы. Значение функции распределения определяется формулой: F(t) = 0.5 + Ф(u) = Q(t)

                                              U = (t – T)/

    Вероятность отсутствия отказа за время t:

    P(t) = 1 – Q(t) = 1 – (0.5 + Ф(u)) = 0.5 - Ф(u)

    ИО  монотонно возрастает и постепенно начинает приближаться к асимптоте:

    y = (t – T)/

    c² – распределение.

    Если  CB t распределена по НЗ с Т = 0 и = 1, то параметр X = будет являться СВ с плотностью распределения:

    

где k- число степеней свободы; Г(k/2) – это g функция.

С увеличением  k c² распределение приближается в НР.

g функция от k/2 это

    НР  находит широкое применение в  теории надежности. Например установлено, что описание удвоенного значения наработки  изделия, отнесенное к среднему времени  безотказной работы имеет c² распределение, если время до отказа - СВ с экспоненциальным распределением. 
 
 

Показатели  готовности аппаратуры

    характеризуют ее ожидаемую работоспособность и подготовленность к эксплуатации. Эти показатели являются комплексными, учитывающие в том числе требовательное обслуживание со стороны пользователя. В их число входят готовность к решению задачи V_A, коэффициент использования аппаратуры V_N и продолжительность состояния готовности.