Этапы компьютерного моделирования. Основы работы с MATLAB

Операции сложения и вычитания матриц (знакомые вам из линейной алгебры) обозначаются стандартными знаками + и -.

Задайте матрицы А и В и выполните операцию сложения матриц:

 

» A=[1 1 1; 2 2 2; 3 3 3]; B=[0 0 0; 7 7 7; 1 2 3];

» A+B

 

Если используются операнды разных размеров, выдается сообщение об ошибке, за исключением случая, когда один из операндов является скаляром.

При выполнении операции А + скаляр (А – матрица) система расширит скаляр до массива размера А, который и складывается далее поэлементно с А.

» A+5

ans = 6 6 6

7 7 7

8 8 8

 

Для поэлементного перемножения и поэлементного деления массивов одинаковых размеров, а также поэлементного возведения в степень массивов, применяются операции, обозначаемые комбинациями двух символов: .* , ./, и .^. Использование комбинаций символов объясняется тем, что символами * и / обозначены специальные операции линейной алгебры над векторами и матрицами.

Кроме операции ./, называемой операцией правого поэлементного деления, есть еще операция левого поэлементного деления .\. Объясним разницу между этими операциями. Выражение А ./ В приводит к матрице с элементами А (k, m) /В (k, m), а выражение А .\ В приводит к матрице с элементами В (k, m) /А (k, m).

Знак * закреплен за перемножением матриц и векторов в смысле линейной алгебры.

Знак \ закреплен в системе MATLAB за решением довольно сложной задачи линейной алгебры – нахождением корней системы линейных уравнений.

Например, если требуется решить систему линейных уравнений

 

Ay = b,

 

где А – заданная квадратная матрица размера N x N, b – заданный вектор столбец длины N, то для нахождения неизвестного вектор-столбца у достаточно вычислить выражение А \ b (это равносильно операции: 1 A B −⋅ ).

Типичные задачи аналитической геометрии в пространстве, связанные с нахождением длин векторов и углов между ними, с вычислением скалярного и векторного произведений, легко решаются разнообразными средствами системы MATLAB. Например, для нахождения векторного произведения векторов предназначена специальная функция cross, например:

 

» u=[1 2 3]; v=[3 2 1];

» cross(u,v)

ans =

-4 8 -4

 

Скалярное произведение векторов можно вычислить с помощью функции общего назначения sum, вычисляющей сумму всех элементов векторов (для матриц эта функция вычисляет суммы для всех столбцов). Скалярное произведение, как известно, равно сумме произведений соответствующих координат (элементов) векторов. Таким образом, выражение:

 

» sum(u.*v)

 

вычисляет скалярное произведение двух векторов u и v. Скалярное произведение можно также вычислить как: u*v′. Длина вектора вычисляется с помощью скалярного произведения и функции извлечения квадратного корня, например:

 

» sqrt(sum(u.*u))

 

Наконец, рассмотрим уникальную возможность М-языка системы MATLAB производить групповые вычисления над массивами, используя обычные математические функции, которые в традиционных языках программирования работают только со скалярными аргументами. В результате с помощью крайне компактных записей, удобных для ввода с клавиатуры в интерактивном режиме работы с командным окном системы MATLAB, удается произвести большой объем вычислений. Например, всего два коротких выражения

 

» x=0:0.01:pi/2; y=sin(x);

 

вычисляют значения функции sin сразу в 158 точках, формируя два вектора x и у со 158 элементами каждый.

 

3.5 Построение графиков функции

 

Графические возможности системы MATLAB являются мощными и разнообразными. Изучим наиболее простые в использовании возможности (высокоуровневую графику).

Сформируйте два вектора х и y:

 

» x=0:0.01:2; y=sin(x);

 

Вызовите функцию:

 

» plot(x,y)

 

и вы получите на экране график функции рисунок 3.1.

 

Рисунок 3.4.1 – График функции y=sin(x)

MATLAB показывает графические  объекты в специальных графических окнах, имеющих в заголовке слово Figure. Не убирая с экрана дисплея первое графическое окно, введите с клавиатуры выражения

 

» z=cos(x);

» plot(x,z)

 

и получите новый график функции в том же самом графическом окне (при этом старые оси координат и график пропадают – этого также можно добиться командой clf, командой cla удаляют только график с приведением осей координат к их стандартным диапазонам от 0 до 1).

Если нужно второй график провести «поверх первого графика», то перед вторичным вызовом графической функции plot нужно выполнить команду hold on, которая предназначена для удержания текущего графического окна:

 

» x=0:0.01:2; y=sin(x);

» plot(x,y)

» z=cos(x);

» hold on

» plot(x,z)

Практически тоже самое получится рисунок 3.2, если набрать:

 

» x=0:0.01:2; y=sin(x); z=cos(x);

» plot(x,y,x,z)

 

 

Рисунок 3.4.2 – Графики функций y=sin(x), z=cos(x), построенные в одном графическом окне

 

Если нужно одновременно визуализировать несколько графиков так, чтобы они не мешали друг другу, то это можно сделать двумя способами. Первым решением является построение их в разных графических окнах. Для этого перед вторичным вызовом функции plot следует набрать команду figure, которая создает новое графическое окно и заставляет все последующие за ней функции построения графиков выводить их туда.

Вторым решением показа нескольких графиков без конфликта диапазоновосей координат является использование функции subplot. Эта функция позволяет разбить область вывода графической информации на несколько подобластей, в каждую из которых можно вывести графики различных функций.

Например, для ранее выполненных вычислений с функциями sin и cos постройте графики этих двух функций в первой подобласти, а график функции exp(х) – во второй подобласти одного и того же графического окна. Рисунок 3.2:

» w=exp(x);

» subplot(1,2,1); plot(x,y,x,z)

» subplot(1,2,2); plot(x,w)

 

 

Рисунок 3.4.3 – Графики функций y=sin(x), z=cos(x) и w=exp(x), построенные в двух подобластях одного графического окна

 

Диапазоны изменения переменных на осях координат этих подобластей независимы друг от друга. Функция subplot принимает три числовых аргумента, первый из которых равен числу рядов подобластей, второй равен числу колонок подобластей, а третий аргумент – номеру подобласти (номер отсчитывается вдоль рядов с переходом на новый ряд по исчерпании). Снять действие функции subplot можно командой:

 

» subplot(1,1,1)

 

Если для одиночного графика диапазоны изменения переменных вдоль одной или обеих осей координат слишком велик, то можно воспользоваться функциями построения графиков в логарифмических масштабах. Для этого предназначены функции semilogx, semilogy и loglog

 

Возможности отображения трехмерных графических объектов в системе MATLAB весьма обширны. Мы сосредоточимся на изображении пространственных линий и на построении графиков функций двух вещественных переменных, которые представляют поверхности в пространстве.

Каждая точка в пространстве характеризуется тремя координатами. Набор точек, принадлежащих некоторой линии в пространстве, нужно задать в виде трех векторов, первый из которых содержит первые координаты этих точек, второй вектор – вторые их координаты, ну а третий вектор - третьи координаты. После чего эти три вектора можно подать на вход функции plot3, которая и осуществит проектирование соответствующей трехмерной линии на плоскость и построит результирующее изображение рисунок 3.4.4.

Введите с клавиатуры:

 

» t=0:pi/50:10*pi;

» x=sin(t);

» y=cos(t); plot3(x,y,t); grid on

 

Убедитесь, что получилась винтовая линия.

 

Рисунок 3.4.4 – График винтовой линии, построенный с помощью функции plot3

 

Эту же функцию plot3 можно применить и для изображения поверхностей в пространстве, если, конечно, провести не одну линию, а много. Наберите с клавиатуры:

 

» u=-2:0.1:2; v=-1:0.1:1;

» [X,Y]=meshgrid(u,v);

» z=exp(-X.^2-Y.^2);

» plot3(X,Y,z)

 

Получите трехмерное изображение графика функции рисунок 3.4.5.

Функция plot3 строит график в виде набора линий в пространстве, каждая из которых является сечением трехмерной поверхности плоскостями, параллельными плоскости yOz. Помимо этой простейшей функции система MATLAB располагает еще рядом функций, позволяющих добиваться большей реалистичности в изображении трехмерных графиков.

 

 

Рисунок 3.4.5 – График поверхности в пространстве, построенный с помощью функции plot3

 

5. Сценарии и m-файлы

 

Для простых операций удобен интерактивный режим, но если вычисления нужно многократно выполнять или необходимо реализовывать сложные алгоритмы, то следует использовать m-файлы MATLAB (расширение файла состоит из одной буквы m). Познакомимся со script-m-файлами (или сценариями) – текстовыми файлами, содержащими инструкции на языке MATLAB, подлежащими исполнению в автоматическом пакетном режиме. Создать такой файл удобнее с помощью редактора системы MATLAB. Он вызывается из командного окна системы MATLAB командой меню File/New/M-file (или самой левой кнопкой на полосе инструментов, на которой изображен чистый белый лист бумаги). Записанные в script-файлы команды будут выполнены, если в командной строке ввести имя script-файла (без расширения). Переменные, определяемые в командном окне и переменные, определяемые в сценариях, составляют единое рабочее пространство системы MATLAB, причем переменные, определяемые в сценариях, являются глобальными, их значения заместят значения таких же переменных, которые были использованы до вызова данного script-файла.

После создания текста сценария его надо сохранить на диске в удобном для вас каталоге. Путь к этому каталогу обязательно должен быть известен системе MATLAB. Командой File/Set Path вызывается диалоговое окно просмотрщика путей доступа к каталогам. Для добавления нового каталога в список путей доступа необходимо выполнить далее команду меню Path/Add to path.

 

4. Решение задачи в системе MATLAB

 

Пример для диодной структуры

Рассмотрим кратко основные этапы решения задачи в PDE Toolbox на примере расчета распределения электрического потенциала в автоэмиссионной диодной ячейке см. рисунок 4.1.

 

 
Рисунок 4.1 – Диодная структура

 

Ячейка представляет собой двухэлектродную структуру, содержащую катод со скругленным на конце выступом и расположенный над ним анод. Будем полагать, что объемный заряд в межэлектродном пространстве отсутствует и распределение потенциала φ(x,y) подчиняется уравнению Лапласа

 

∂² φ(x,y) / ∂x² + ∂² φ(x,y) / ∂y² = 0

 

На первом этапе необходимо сформировать исходную геометрию задачи в графическом окне интерфейса PDETool см. рисунок 4.2.

 

 
Рисунок 4.2 – Подготовка изображения двухэлектродной структуры в окне PDETool

 

Показанная на рисунке 4.2 геометрия структуры составлена из набора геометрических фигур - прямоугольника R1, окружности E1 и многоугольника P1.

Изображения электродов формируются с помощью команд пункта Draw (Рисовать) главного меню: Draw Mode - переключение в режим ввода (прорисовки) геометрии; Rectangle/square - ввод прямоугольника или квадрата с помощью мыши начиная от его верхней левой вершины; Rectangle/square (centered) - ввод прямоугольника или квадрата с помощью мыши начиная от его центра; Ellipse/circle - ввод эллипса или круга с помощью мыши начиная от верхней левой точки; Ellipse/circle (centered) - ввод эллипса или круга с помощью мыши начиная от центра; Polygon - прорисовка многоугольника отрезками ломаной линии, пока она не станет замкнутой; Rotate - поворот выделенных объектов вокруг некоторой точки; Export Geometry Description, Set Formula, Labels… - экспорт в базовую рабочую область MATLAB переменных описания геометрии. Быстрый вызов некоторых из этих команд обеспечивают элементы инструментальной панели и - прямоугольник (квадрат), и - эллипс (круг), - многоугольник.

Для получения изображений произвольной формы служит строка "Set formula", располагающаяся под инструментальной панелью. В ней можно задать слияние нескольких фигур или "вычесть" их друг из друга используя. В данном случае используется формула R1-P1-E1, где R1 - прямоугольник (квадрат), P1 - многоугольник, E1 - эллипс (круг).

Команды для редактирования изображения и настройки графического окна содержатся в следующих пунктах главного меню. Edit (Правка) содержит команды: Undo - отмена последнего действия; Cut - вырезать выделенный геометрический объект и поместить его в буфер; Copy - копировать выделенный объект в буфер; Paste - вставить геометрический объект из буфера; Clear - удалить выделенный объект; Select All - выделить все геометрические объекты.

Options (Опции) содержит команды: Grid - показать / скрыть координатную  сетку; Grid Spacing - установить пределы  и шаг сетки; Snap - округлять координаты  указателя мыши; Axes Limits - установить  пределы координатных осей; Axes Equal - установить одинаковый масштаб  по осям x и y; Turn Off Toolbar Help - выключить  подсказки по инструментальной  панели; Zoom - показать с увеличением  выделенную часть модели; Application - переключение вида задачи; Refresh - обновить изображение модели.

Второй этап включает ввод граничных условий на граничных сегментах см. рисунок 4.3 и параметров уравнения. Определить условие на любом из сегментов можно, выделив его двойным щелчком левой кнопки мыши. Соответствующие команды располагаются в разделах Boundary и PDE главного меню.