Сто великих ученых

 

В конце двадцатых годов Ферма открыл методы нахождения экстремумов и касательных, которые, с современной точки зрения, сводятся к

отысканию производной. В 1636 году законченное изложение метода было

передано Мерсенну и с ним могли познакомиться все желающие.

 

В 1637—1638 годах по поводу «Метода отыскания максимумов и минимумов» у Ферма возникла бурная полемика с Декартом. Последний не

понял метода и подверг его резкой и несправедливой критике. В одном из

писем Декарт утверждал даже, что метод Ферма «содержит в себе паралогизм». В июне 1638 года Ферма послал Мерсенну для пересылки Декарту

новое, более подробное изложение своего метода. Письмо его сдержанно,

но не без внутренней иронии. Он пишет: «Таким образом, обнаруживается, что либо я плохо объяснил, либо г. Декарт плохо понял мое латинское

сочинение. Я все же пошлю ему то, что уже написал, и он, несомненно,

найдет там вещи, которые помогут ему отказаться от мнения, будто я

нашел этот метод случайно и его подлинные основания мне неизвестны».

ферма ни разу не изменяет своему спокойному тону. Он чувствует свое

глубокое превосходство как математика, поэтому не входит в мелочную

полемику, а терпеливо старается растолковать свой метод, как это сделал

бы учитель ученику.

 

До Ферма систематические методы вычисления площадей разработал

итальянский ученый Кавальғри. Но уже в 1642 году Ферма открыл метод

вычисления площадей, ограниченных любыми «параболами» и любыми

«гиперболами». Им было показано, что площадь неограниченной фигуры

может быть конечной.

 

Ферма одним из первых занялся задачей спрямления кривых, т. е.

вычислением длины их дуг. Он сумел свести эту задачу к вычислению

некоторых площадей.

 

Таким образом, понятие «площади» у Ферма приобретало уже весьма

абстрактный характер. К определению площадей сводились задачи на

спрямление кривых, вычисление сложных площадей он сводил с помощью подстановок к вычислению более простых площадей. Оставался только

шаг, чтобы перейти от площади к еще более абстрактному понятию «интеграл».

 

Дальнейший успех методов определения «площадей», с одной стороны, и «методов касательных и экстремумов» — с другой,состоял в установлении взаимной связи этих методов. Есть указания на то, что Ферма

Уже видел эту связь, знал, что «задачи на площади» и «задачи на касательные» являются взаимно обратными. Но он нигде не развил свое открытие

сколько-нибудь подробно. Поэтому честь его по праву приписывается

Барроу, Ньютону и Лейбницу, которым это открытие и позволило создать

Дифференциальное и интегральное исчисления.

 

70

 

Несмотря на отсутствие доказательств (из них дошло только одно),

трудно переоценить значение творчества Ферма в области теории чисел.

Ему одному удалось выделить из хаоса задач и частных вопросов, сразу же

возникающих перед исследователем при изучении свойств целых чисел,

основные проблемы, которые стали центральными для всей классической

теории чисел. Ему же принадлежит открытие мощного общего метода для

доказательства теоретико-числовых предложений — так называемого метода неопределенного или бесконечного спуска, о котором будет сказано

ниже. Поэтому Ферма по праву может считаться основоположником теории чисел.

 

В письме к де-Бесси от 18 октября 1640 года Ферма высказал следующее утверждение: если число а не делится на простое число р, то существует такой показатель к, что а—7 делится на р, причем к является делителем р—1. Это утверждение получило название малой теоремы Ферма.

Оно является основным во всей элементарной теории чисел. Эйлер дал

этой теореме несколько различных доказательств.

 

В задаче второй книги своей «Арифметики» Диофант поставил задачу

представить данный квадрат в виде суммы двух рациональных квадратов.

На полях, против этой задачи, Ферма написал:

 

«Наоборот, невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат

на два биквадрата и вообще ни в какую степень, большую квадрата, на две

степени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком узки». Это и есть знаменитая

Великая теорема.

 

Теорема эта имела удивительную судьбу. В прошлом веке ее исследования привели к построению наиболее тонких и прекрасных теорий, относящихся к арифметике алгебраических чисел. Без преувеличения можно сказать, что она сыграла в развитии теории чисел не меньшую роль,

чем задача решения уравнений в радикалах. С той только разницей, что

последняя уже решена Галуа, а Великая теорема до сих пор побуждает

математиков к исследованиям.

 

С другой стороны, простота формулировки этой теоремы и загадочные слова о «чудесном доказательстве» ее привели к широкой популярности теоремы среди не математиков и к образованию целой корпорации

«ферматистов», у которых, по словам Дэвенпорта, «смелость значительно

превосходит их математические способности». Поэтому Великая теорема

стоит на первом месте по числу данных ей неверных доказательств.

 

Сам Ферма оставил доказательство Великой теоремы для четвертых степеней. Здесь он применил «метод неопределенного или бесконечного спуска», который он описывал в своем письме к Каркави (август 1659 года)

следующим образом:

 

«Если бы существовал некоторый прямоугольный треугольник в целых числах, который имел бы площадь, равную квадрату, то существовал

 

ПЬЕР ФЕРМА 71

 

бы ДРУ1'0" треугольник, меньший этого, который обладал бы тем же свойством. Если бы существовал второй, меньший первого, который имел бы

,го же свойство, то существовал бы в силу  подобного рассуждения третий,

меньший второго, который имел бы то же свойство, и, наконец, четвертый, пятый, спускаясь до бесконечности. Но если задано число, то не

существует бесконечности по спуску меньших его (я все время подразумеваю целые числа). Откуда заключают, что не существует никакого прямоугольного треугольника с квадратной площадью». Именно этим методом

были доказаны многие предложения теории чисел, и, в частности, с его

помощью Эйлер доказал Великую теорему для п=4 (способом, несколько

отличным от способа Ферма), а спустя 20 лет и для п=3

 

В прошлом веке Куммер, занимаясь Великой теоремой Ферма, построил арифметику для целых алгебраических чисел определенного вида. Это

позволило ему доказать Великую теорему для некоторого класса простых

показателей п. В настоящее время справедливость Великой теоремы проверена для всех показателей п меньше 5500.

 

Отметим также, что Великая теорема связана не только с алгебраической теорией чисел, но и с алгебраической геометрией, которая сейчас

интенсивно развивается.

 

У Ферма есть много других достижений Он первым пришел к идее

координат и создал аналитическую геометрию. Он занимался также задачами теории вероятностей. Но Ферма не ограничивался одной только

математикой, он занимался и физикой, где ему принадлежит открытие

закона распространения света в средах. Ферма исходил из предположения, что свет пробегает путь от какой-либо точки в одной среде до некоторой точки в другой среде в наикратчайшее время. Применив свой метод

максимумов и минимумов, он нашел путь света и установил, в частности,

закон преломления света. При этом Ферма высказал следующий общий

принцип: «Природа всегда действует наиболее короткими путями», который может считать предвосхищением принципа наименьшего действия

Мопертюи — Эйлера.

 

Одно из последних писем ученого к Каркави получило название «завещание Ферма». Вот его заключительные строки:

 

«Быть может, потомство будет признательно мне за то, что я показал

ему, что древние не все знали, и это может проникнуть в сознание тех,

которые придут после меня для передачи факела сыновьям, как говорит

великий канцлер Англии, следуя чувствам которого, я добавлю: «Многие

будут приходить и уходить, а наука обогащается».

 

Пьер Ферма скончался 12 января 1665 года во время одной из деловых

поездок.

 

БЛЕЗ ПАСКАЛЬ

 

(1623—1662)

 

 

 

 

Блез Паскаль, сын Этьена Паскаля и Антуанетты, урожденной Бегон,

родился в Клермоне 19 июня 1623 года. Вся семья Паскалей отличалась

выдающимися способностями. Что касается самого Блеза, он с раннего

детства обнаруживал признаки необыкновенного умственного развития.

 

В 1631 году, когда маленькому Паскалю было восемь лет, его отец

переселился со всеми детьми в Париж, продав по тогдашнему обычаю

свою должность и вложив значительную часть своего небольшого капитала в Отель де-Билль.

 

Имея много свободного времени, Этьен Паскаль специально занялся

умственным воспитанием сына. Он сам много занимался математикой и

любил собирать у себя в доме математиков. Но, составив план занятий

сына, он отложил математику до тех пор, пока сын не усовершенствуется

в латыни. Юный Паскаль просил отца объяснить, по крайней мере, что за

наука геометрия? «Геометрия, — ответил отец, — есть наука, дающая средство правильно чертить фигуры и находить отношения, существующие

между этими фигурами».

 

Каково же было удивление отца, когда он нашел сына, самостоятельно пытающегося доказать свойства треугольника. Отец дал Блезу Евклидовы «Начала», позволив читать их в часы отдыха. Мальчик прочел Евклидову «Геометрию» сам, ни разу не попросив объяснения.

 

Собрания, проходившие у отца Паскаля и у некоторых из его приятелей, имели характер настоящих ученых заседаний. Раз в неделю математики, примыкавшие к кружку Этьена Паскаля, собирались, чтобы читать

сочинения членов кружка, предлагать разные вопросы и задачи. Иногда

читались также присланные заграничными учеными записки. Деятель

 

і^ІБЗ ПАСКАЛЬ

 

73

 

ность этого скромного частного общества или, скорее, приятельского кружка стала началом будущей славной Парижской академии.

 

С шестнадцатилетнего возраста молодой Паскаль также стал принимать деятельное участие в занятиях кружка. Он был уже настолько силен

в математике, что овладел почти всеми известными в то время методами,

и среди членов, наиболее часто представлявших новые сообщения, он был

одним из первых. Очень часто из Италии и Германии присылались задачи

и теоремы, и если в присланном была какая-либо ошибка, Паскаль одним

 

из первых замечал ее.

 

Шестнадцати лет Паскаль написал весьма примечательный трактат о

конических сечениях, то есть о кривых линиях, получающихся при пересечении конуса плоскостью, — таковы эллипс, парабола и гипербола. От

этого трактата, к сожалению, уцелел лишь отрывок. Родственники и приятели Паскаля утверждали, что «со времен Архимеда в области геометрии

не было сделано подобных умственных усилий» — отзыв преувеличенный, но вызванный удивлением к необычайной молодости автора.

 

Однако усиленные занятия вскоре подорвали и без того слабое здоровье Паскаля. В восемнадцать лет он уже постоянно жаловался на головную боль, на что первоначально не обращали особого внимания. Но окончательно расстроилось здоровье Паскаля во время чрезмерных работ над

изобретенной им арифметической машиной.

 

Придуманная Паскалем машина была довольно сложна по устройству, и вычисление с ее помощью требовало значительного навыка. Этим

и объясняется, почему она осталась механической диковинкой, возбуждавшей удивление современников, но не вошедшей в практическое употребление.

 

Со времени изобретения Паскалем арифметической машины имя его

 

стало известным не только во Франции, но и за ее пределами.

 

В 1643 году один из способнейших учеников Галилея, Торричелли,

исполнил желание своего учителя и предпринял опыты по подъему различных жидкостей в трубках и насосах. Торричелли вывел, что причиною

подъема как воды, так и ртути является вес столба воздуха, давящего на

открытую поверхность жидкости. Таким образом, был изобретен барометр и явилось очевидное доказательство весомости воздуха.

 

 

Эти эксперименты заинтересовали Паскаля. Опыты Торричелли, сообщенные ему Мерсенном, убедили молодого ученого в том, что есть

возможность получить пустоту, если не абсолютную, то, по крайней мере,

такую, в которой нет ни воздуха, ни паров воды. Отлично зная, что возДУХ имеет вес, Паскаль напал на мысль объяснить явления, наблюдаемые в насосах и в трубках, действием этого веса. Главная трудность,

однако, состояла в том, чтобы объяснить способ передачи давления возДУха. Блез, напав на мысль о влиянии веса воздуха, рассуждал так: если

Давление воздуха действительно служит причиной рассматриваемых яв

74

 

 

 

лений, то из этого следует, что чем меньше или ниже, при прочих рав|

ных условиях, столб воздуха, давящий на ртуть, тем ниже будет стол|

ртути в барометрической трубке. Стало быть, если мы поднимемся н|

высокую гору, барометр должен опуститься, так как мы стали ближ|

прежнего к крайним слоям атмосферы и находящийся над нами стол<Э

воздуха уменьшился.      |

 

Паскалю тотчас же пришла мысль проверить это положение опытом!

и он вспомнил о находящейся подле Клермона горе Пюи-де-Дом. 15 но|

ября 1647 года Паскаль провел первый эксперимент. По мере подъема н|

Пюи-де-Дом ртуть понижалась в трубке — и так значительно, что разни-*

ца на вершине горы и у ее подошвы составила более трех дюймов. Этот и

другие опыты окончательно убедили Паскаля в том, что явление подъема

жидкостей в насосах и трубках обусловлено весом воздуха. Оставалось

объяснить способ передачи давления воздуха.