После перемножения матриц получим корреляционную матрицу ошибок длин сторон :

Определение средней квадратической ошибки единицы веса.

      

    Имея  заданную точность определения дирекционных углов и длин сторон сети, а также корреляционные матрицы их ошибок и можно подобрать такое максимальное значение m, которое доставит определяемым величинам заданную точность. Для этого в корреляционных матрицах и выбираются максимальные диагональные элементы. Заметим, что диагональные элементы этих матриц равны обратным весам оцениваемых дирекционных углов и длин сторон сети.

        По формулам:

  ;

вычисляются значения средней квадратической ошибки единицы веса.

    Из  двух значений m выбирается наименьшее значение. В этих формулах и означают требуемые точности определения дирекционных углов и длин сторон сети.

     

Для данной сети имеем: 

=6,77˝              =6,78˝

    для средней квадратической ошибки единицы веса необходимо установить значение равное 6,78". Оно является максимально возможным из всех, которые могут доставить дирекционным углам и длинам сторон проектируемой сети требуемую точность.

Определение случайной и систематической

средних квадратических ошибок измерений.

        За единицу веса принят вес  измерения направлений. Известно, что угловые измерения сопровождаются случайными и систематическими ошибками. Поэтому среднюю квадратическую ошибку единицы веса представим в виде:

,

где m_D - средняя квадратическая случайная ошибка измерения направлений;

m_d - средняя квадратическая систематическая ошибка измерения направлений.

    Влияние случайных ошибок ослабляется путем  увеличения числа приемов. По экономическим  соображениям число приемов ограничивается и доводится до определенного  минимума, который позволяет свести случайные ошибки к пренебрегаемым величинам. Если , то влияние случайных ошибок на результаты измерений будет незначительным по сравнению с влиянием систематических ошибок. Определим случайную составляющую средней квадратической ошибки единицы веса. Для этого примем . Тогда:

.

    Отсюда  находим:

.

    В развиваемой  сети случайная составляющая средней  квадратической ошибки единицы веса должна быть равной:

=2,14

 
 
 
 

    Влияние систематических ошибок на точность измерений горизонтальных направлений  в рассматриваемой сети не должно превосходить:

Требования  к точности прибора  и числу приемов.

Величина  определяет, с какой средней квадратической случайной ошибкой должны быть получены в результате многократных измерений элементы геодезической сети. Она позволяет установить для них предельные ошибки . Для установления значения обычно назначают вероятности выполнения неравенства

равными:

где — случайная ошибка среднего арифметического значения измеряемой величины. 

    Тогда предельные ошибки будут равны:

    Предельные  ошибки при проектировании измерений, как правило, определяются по формуле:

 

.

    Проектируемая сеть является сетью триангуляции. Значения горизонтальных направлений  на пунктах триангуляции могут быть получены в результате измерения горизонтальных углов способом круговых приемов (способ Струве) и способом во всех комбинациях (способ Шрейбера). Предельные ошибки значений горизонтальных углов, полученных в результате многократных измерений будут равны:

 

,

где — проектное значение средней квадратической случайной ошибки измерения горизонтальных углов.

    Горизонтальные  углы являются функциями равноточных  направлений. Поэтому для рассматриваемой  сети будем иметь:

  

 
    

=5,07

 
 
 

    предельная ошибка измерения горизонтальных углов составит: 

=4,53

 
 
 

    Для обоснования  требований к точности прибора и  числу приемов  рассмотрим величину:

,

где m — средняя квадратическая случайная ошибка измерений одним приемом, вычисляемая по результатам измерений (по формуле Бесселя).

     Величина  T является случайной. Она имеет распределение Стьюдента. Функция распределения по закону Стьюдента выражает вероятность того, что случайная величина T принимает по абсолютной величине значения меньшие заданного

.

    Распределение Стьюдента зависит от числа степеней свободы r. Для измеряемых величин число степеней свободы определяется по формуле:

r = n – 1 ,

где n — количество приемов.  

    Приняв  определенное значение g  и задавая степень свободы r по таблице Стьюдента можно найти . Ему должна соответствовать величина:

                                                    .

Отсюда следует:

.

      Степень свободы подбирается  такой, чтобы точность измерения  одним приемом   m и число приемов n = r + 1  были приемлемы при производстве наблюдений на пунктах сети.

      По величине m определяется класс прибора, обеспечивающий данную точность измерений одним приемом:

m_п <  m ,

где m_п — паспортное значение средней квадратической ошибки измерения одним приемом.

      Значение g должно назначаться примерно равным единице. Если взять, например, g = 0,9 — то в десяти случаях из ста могут оказаться незамеченными измерения, для которых случайная ошибка среднего арифметического значения будет больше предельной, т.е. 10% некачественных измерений будут приняты в обработку. При g = 0,99 только 1% некачественных измерений будет незамеченным. Обычно g принимается равным 0,995; 0,997; 0,999.

         Примем g  = 0,999. По таблице распределения Стьюдента для r = 2 находим = 31.6. Из выражения r = n – 1 определяем число приемов

n = r + 1 = 3.

Среднюю квадратическую ошибку измерения угла одним приемом вычислим по формуле

.

Таким образом, чтобы  получить значения горизонтальных углов  с точностью  =3,03", необходимо выполнить два приема. Причем точность измерения в приеме должна быть равной m = 0,42" . Средняя квадратическая ошибка измерения углов одним приемом теодолитом Т1 равна 1"; теодолитом Т2 — 2". Как видим, технические возможности приборов не могут обеспечить необходимую точность измерений.

Для  r = 3  будем иметь

n = r + 1 = 4;

.

требуемую точность измерений может обеспечить теодолит Т1.

        Следовательно, значения горизонтальных  углов с точностью  можно получить в результате измерений теодолитом Т1, выполняя измерения в 4-ре приема.

Для  r = 5  будем иметь

n = r + 1 = 6;

.

требуемую точность измерений может обеспечить теодолит Т2.

Следовательно, значения горизонтальных углов с точностью  можно получить в результате измерений теодолитом Т2 выполняя измерения   

шестью приемами.

 

Установление  допуска на разброс  измеренных значений. 

    При известном  числе наблюдений n и известной средней квадратической ошибке измерения одним приемом m_п допустимое расхождение между приемами определяется равенством:

.

        В проектируемой сети триангуляции  измерение горизонтальных углов  может выполняться как круговыми  приемами, так и во всех комбинациях.  Число круговых приемов при  измерении теодолитами Т-05 и Т-1(ОТ-02М) должно быть 4 и 6 соответственно. Определим допустимое расхождение между приемами при измерении теодолитом Т05.

        При надежности g  = 0,999 и числе приемов n = 4 из таблицы (приложение 3) имеем t_0.999,4= 5,31 Величина размаха R_p.n будет равна:

 

m_T-05= 0.8"

t_0.999,4= 4,57

R_0.999,4= t_0.999,4 ∙ m_T-05= 3,746" 

    Это значит, что при измерении горизонтальных углов теодолитом    Т-05 четырьмя приемами в 99 случаях из 100 расхождение  между приемами не должно превзойти 2,655".

    При надежности g = 0,999 и числе приемов n = 6 по таблице (приложение 3) находим t_0.999,6= 5.62. Для теодолита Т-1(ОТ-02М) получим:

m_T-1= 2.0"

t_0.999,6= 4.54

R_0.999,6= t_0.999,6 ∙ m_T-1= 6,44"

    Следовательно, при измерении теодолитом Т-1(ОТ-02М) горизонтальных углов круговыми  приемами в сети триангуляции расхождение  между приемами не должно превосходить более 5.6".

    Установим допуск для не замыкания горизонта  при измерении углов круговыми  приемами. При надежности g  = 0,999 и n=2 из таблицы (приложение 3) находим t_0.999,2=4,65. Средние квадратические ошибки измерения углов в полу приемах теодолитами Т-05 и Т-1(ОТ-02М) соответственно равны:

,

                                    .

Тогда:

    Таким образом, при измерении горизонтальных углов теодолитами Т-05 и Т-1(ОТ-02М) расхождение значений результатов наблюдений начального направления в начале и конце полприема не должно превышать  3.30" и 6.56" соответственно.

    Горизонтальные  углы с требуемой точностью могут  измеряться и способом Шрейбера. Однако число приемов будет отличаться от числа круговых приемов. Установим допустимое расхождение между приемами при измерении горизонтальных углов во всех комбинациях. Сначала определим число приемов.