Трехфазный цепи

3.11 Трехфазные цепи.

Трехфазные цепи являются частным случаем многофазных систем, под которыми понимают совокупность нескольких нагрузок и источников питания, имеющих одинаковую частоту и смещенных по фазе на некоторый угол друг относительно друга. Каждая пара источник-нагрузка может рассматриваться как отдельная цепь и называется фазой системы.

Если отдельные фазы системы не соединены между собой электрически (рис. 1 а)), то такую систему называют несвязанной. Несвязанная система не обладает никакими особыми свойствами, и если между фазами отсутствует и магнитная связь, то такая совокупность цепей вообще не может рассматриваться как многофазная.

Соединение фаз  системы между собой (рис. 1б)) придает  ей особые качества, благодаря которым  многофазные системы ( в особенности трехфазные) получили исключительное распространение в области передачи и преобразования электрической энергии. Одним из очевидных преимуществ связанной системы (рис. 1) является сокращение с шести до четырех числа проводников, соединяющих источники с нагрузкой. При благоприятных обстоятельствах это число может быть уменьшено до трех. В дальнейшем мы отметим целый ряд других преимуществ, которым обладают связанные системы.

Любая многофазная  система может быть симметричной и несимметричной. Симметрия системы  определяется симметрией ЭДС, напряжений и токов. Под симметричной многофазной системой ЭДС, напряжений или токов понимают совокупность соответствующих величин, имеющих одинаковые амплитуды и смещенных по фазе на угол 2p /m по отношению друг к другу, где m - число фаз системы. Если для обозначения фаз трехфазной системы использовать первые буквы латинского алфавита, то симметричную систему ЭДС можно записать в виде

Аналогичные выражения  можно написать и для токов  и падений напряжения в симметричной трехфазной системе.

Основное  свойство симметричных многофазных систем заключается в том, что сумма мгновенных значений величин образующих систему в каждый момент времени равна нулю. Для изображений величин образующих систему это свойство означает равенство нулю суммы фазных векторов. В справедливости этого утверждения легко убедиться на примере трехфазной системы, если в области изображений сложить числа в скобках в правой части выражений (1).

Многофазная система  симметрична только тогда, когда  в ней симметричны ЭДС, токи и  напряжения. Если принять равными  нулю внутренние сопротивления источников питания или включить их значения в сопротивления нагрузки, то условие  симметрии системы сводится к  симметрии ЭДС и равенству  комплексных сопротивлений нагрузки. Это условие для трехфазной системы  записывается в виде

В дальнейшем мы будем считать, что источники  питания являются источниками ЭДС  и использовать условия симметрии  системы в виде выражений (1) и (2). 

В многофазные  системы объединяют источники ЭДС  и нагрузки. Для обеспечения правильного  соотношения сдвига фаз при соединения или связывании системы в общем случае необходимо определить выводы элементов, по отношению к которым выполняются условия (1). Они называются начало и конец фазы источника или нагрузки. Для источников многофазной системы принято за положительное направление действия ЭДС от начала к концу.

На электрических  схемах, если это необходимо, начало и конец обозначают буквами латинского алфавита. На рис. 1 а) начала элементов соответствуют индексам XYZ, а концы - ABC. В дальнейшем мы будем использовать строчные буквы для нагрузки, а прописные для источников ЭДС.

Существуют два способа связывания элементов в многофазную систему - соединение звездой и соединение многоугольником. Звезда это такое соединение, в котором начала всех элементов объединены в один узел, называемый нейтральной точкой. Подключение к системе при этом осуществляется концами элементов (рис. 2 а)). Многоугольник это соединение, в котором все элементы объединены в замкнутый контур так, что у соседних элементов соединены между собой начало и конец. С системой многоугольник соединяется в точках соединения элементов. Частным случаем многоугольника является треугольник рис. 2 б).

Источники питания  и нагрузки в многофазных системах в общем случае могут быть связаны  разными способами.

При анализе  многофазных систем вводится ряд  понятий, необходимых для описания процессов. Проводники, соединяющие  между собой источники и нагрузку, называются линейными проводами, а проводник соединяющий нейтральные точки источников и нагрузки - нейтральным проводом.

Электродвижущие силы источников многофазной системы (e_A, E_A, E_A, e_B, E_B, E_B, e_C, E_C, E_C), напряжения на их выводах (u_A, U_A, U_A, u_B, U_B, U_B, u_C, U_C, U_C) и протекающие по ним токи (i_A, I_A, I_A, i_B, I_B, I_B, i_C, I_C, I_C) называются фазными. Напряжения между линейными проводами (U_AB, U_AB, U_BC, U_ac, U_CA, U_CA) называются линейными.

Связь линейных напряжений с фазными можно установить через разность потенциалов линейных проводов рис. 1 б) как u_AB = u_AN + u_NB = u_AN - u_BN = u_A - u_B или в символической форме

Построим векторную  диаграмму для симметричной трехфазной системы фазных и линейных напряжений (рис. 3). В теории трехфазных цепей  принято направлять вещественную ось  координатной системы вертикально  вверх.

Каждый из векторов линейных напряжений представляет собой  сумму одинаковых по модулю векторов фазных напряжений (U_ф = U_A = U_B =U_C), смещенных на угол 60° . Поэтому линейные напряжения также образуют симметричную систему и модули их векторов (U_л = U_AB = U_BC =U_CA) можно определить как .

Выражения (3) справедливы  как для симметричной системы, так  и для несимметричной. Из них следует, что векторы линейных напряжений соединяют между собой концы фазных (вектор U_CA рис. 3). Следовательно, при любых фазных напряжениях они образуют замкнутый треугольник и их сумма всегда равна нулю. Это легко подтвердить аналитически сложением выражений (3) - U_AB + U_BC + U_CA = U_A - U_B + U_B - U_C + U_C - U_A = 0.

Тот факт, что  геометрически векторы линейных напряжений соединяют концы векторов фазных, позволяет сделать заключение о том, что любой произвольной системе линейных напряжений соответствует бесчисленное множество фазных. Это подтверждается тем, что для создания фазной системы векторов при заданной линейной, достаточно произвольно указать на комплексной плоскости нейтральную точку и из нее провести фазные векторы в точки соединения многоугольника линейных векторов.

Из уравнений  Кирхгофа для узлов a, b и c нагрузки соединенной треугольником (рис. 2 б)) можно представить комплексные линейные токи через фазные в виде

В случае симметрии  токов I_A = I_B = I_C = I_л и I_ab = I_bc = I_ca = I_ф, поэтому для них будет справедливо такое же соотношение, как для линейных и фазных напряжений в симметричной системе при соединении звездой, т.е . Кроме того, их сумма в каждый момент времени будет равна нулю, что непосредственно следует из суммирования выражений (4). 

Перейдем теперь к рассмотрению конкретных соединений трехфазных цепей.

Пусть фазы источника и нагрузки соединены звездой с нейтральным  проводом (рис. 4а)). При таком соединении нагрузка подключена к фазам источника и U_A = U_a , U_B = U_b и U_C = U_c., а I_A = I_a , I_B = I_b и I_C = I_c. Отсюда по закону Ома токи в фазах нагрузки равны

Ток в нейтральном  проводе можно определить по закону Кирхгофа для нейтральной точки  нагрузки. Он равен

Выражения (5) и (6) справедливы всегда, но в симметричной системе Z_a = Z_b = Z_c= Z, поэтомуI_N =I_a +I_b +I_c= U_A/Z_a+U_B/Z_b+U_C/Z_c = (U_A+U_B+U_C)/Z = 0, т.к. по условию симметрии U_A+U_B+U_C=0. Следовательно, в симметричной системе ток нейтрального провода равен нулю и сам провод может отсутствовать. В этом случае связанная трехфазная система будет передавать по трем проводам такую же мощность, как несвязанная по шести. На практике нейтральный провод в системах передачи электроэнергии сохраняют, т.к. его наличие позволяет получать у потребителя два значения напряжения - фазное и линейное (127/220 В, 220/380 В и т.д.). Однако сечение нейтрального провода обычно существенно меньше, чем у линейных проводов, т.к. по нему протекает только ток, создаваемый асимметрией системы.

При симметричной нагрузке токи во всех фазах одинаковы  и смещены по отношению друг к  другу на 120° . Их модули или действующие значения можно определить как I = U_ф/Z.

Векторные диаграммы  для симметричной и несимметричной нагрузки в системе с нейтральным  проводом приведены на рис. 4 б) и  в). 

При отсутствии нейтрального провода  сумма токов в фазах нагрузки равна нулю I_a+I_b+I_c =0. В случае симметричной нагрузки режим работы системы не отличается от режима в системе с нейтральным проводом.

При несимметричной нагрузке между нейтральными точками  источника и нагрузки возникает  падение напряжения. Его можно определить по методу двух узлов, перестроив для наглядности схему рис. 5 а). В традиционном для теории электрических цепей начертании она будет иметь вид рис. 5 б). Отсюда

где Y_a=1/Z_a, Y_b=1/Z_b, Y_c=1/Z_c - комплексные проводимости фаз нагрузки.