Силовой расчет механизма

Соотношение (5.8) представляет собой зависимость  угла поворота колеса 2 от времени, в тоже время это соотношение является уравнением движения механизма, которое характеризует зависимость обобщённой координаты от времени. 

6. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ  ЗВЕНЬЕВ МЕХАНИЗМА.  ФОРМУЛЫ СКОРОСТЕЙ  И УСКОРЕНИЙ ЗВЕНЬЕВ 

     В предыдущем разделе получен закон  движения колеса 2 и формулы угловой скорости и углового ускорения этого тела: 
 

Используя кинематические соотношения (2.1)-(2.6), найдём зависимость от времени параметров движения колеса 1 и груза 3.

Колесо 1. 
 
 
 

Груз 3. 
 
 
 
 

7. ДИНАМИЧЕСКОЕ НАТЯЖЕНИЕ ТРОСА ПОДВЕСКИ ГРУЗА 

     Расчётная схема показана на рис.5. Внешними силами для груза являются сила тяжести  Р₃ и сила натяжения троса F. К грузу 3 применяется теорема о движении центра масс:

 
 
 
 
 
 
 

Проецируя равенство (7.1) на ось у, получим 

Подставляя  в (7.2) найденное выше выражение (6.9) для  ускорения груза, а также численные  значения массы и силы тяжести, найдём 

В момент времени  

8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ  СИЛЫ 

ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ  КОЛЕС 

Расчётная схема показана на рис.6. Внешними нагрузками для колеса 1 являются сила тяжести Р₁, сила взаимодействия колёс Q, реакции опор и активный момент М. К колесу 1 применяется теорема об изменении кинетического момента относительно оси вращения: 

Здесь K_A = J₁ω₁ - кинетический момент колеса 1 относительно оси вращения,

 

Значение J₁=     кгм было определено выше в разделе 3, выражение для ε₁ было получено в разделе 6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 Подставляя (8.2) и заданную формулу активного момента М=5900+30t в (8.1), найдём 
 
 

В момент времени t₁=3с 
 

9. РАСЧЁТ ДИНАМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ ОПОР И ДРУГИХ СИЛ С ПОМОЩЬЮ ПРИНЦИПА ДАЛАМБЕРА 

  Расчётная схема показана на рис.7. Конструкция рассекается на три части и рассматривается равновесие каждой части в отдельности. К внешним нагрузкам и силам в сечениях добавляются силы инерции, которые вычисляются через известные ускорения.

   Рассчитываются силы инерции.

Главный вектор сил инерции груза 3: 

в момент времени t₁=3с

Главный момент сил инерции колеса 1: 

в момент времени t₁=3с

Главный момент сил инерции колеса 2:  

в момент времени t₁=3с 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Уравнение кинетостатики груза: 

Из (9.4) вытекает, что натяжение троса подвески груза в момент времени t₁=3с с равно:

что совпадает со значением этой силы, найденным в разделе 7. Уравнения кинетостатики для колеса 2: 
 

Из (9.8) определяется сила взаимодействия колёс в момент времени t₁=3с:  
 

что совпадает со значением этой силы, найденным в разделе 8.

Из (9.6), (9.7) определяются реакции, действующие на колесо 2 в момент времени t₁=3с: 
 

Уравнения кинетостатики для колеса 1: 
 
 

      Из (9.9), (9.10) определяются реакции, действующие на колесо 1 в момент времени t₁=3с: 
 

Уравнение (9.11) служит для проверки расчётов: 

Это уравнение достаточно точно удовлетворяется.

10. ОПРЕДЕЛЕНИЯ МАКСИМАЛЬНОГО СТАТИЧЕСКОГО МОМЕНТА С ПОМОЩЬЮ ПРИНЦИПА ВОЗМОЖНЫХ

ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

      Расчётная схема механизма (механической системы) показана на рис.8 Связи, наложенные на данную механическую систему, являются стационарными и геометрическими. Механизм имеет одну степень свободы и его перемещения определяются обобщённой координатой φ₂ -углом поворота колеса 2 (тела приведения).

   Рассмотрим предельное статическое состояние равновесия механизма. Согласно принципу возможных перемещений для равновесия механической системы необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на нее сил при любом возможном перемещении системы была равна нулю.

   Зададим механизму возможное перемещение путём вариации обобщённой координаты δφ₂. Колесо 1 и груз 3 получат при этом возможные перемещения δφ₁ и δs, которые выражаются через δφ₂ по формулам (2.1),(2.4):

Составим уравнение баланса работ всех сил, действующих на механизм, на заданных возможных перемещениях: 

Подставляя в (10.2) известные момент М_с, силу Р₃ и выражения (10.1), получим 

Из равенства (10.3), сокращая его на δφ₂, найдём 

Значение М_{макс.стат.} достаточно точно совпадает со значением этого же момента, определенного с помощью уравнений статики в разделе 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

11. ВЫВОД ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЗМА С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА 2-ГО РОДА.

   Используем расчётную схему механизма (механической системы) показанного на рис.8 Связи, наложенные на данную механическую систему, являются стационарными и геометрическими. Механизм имеет одну степень свободы и его перемещения определяются обобщённой координатой φ₂ -углом поворота колеса 2 (тела приведения).

Уравнения Лагранжа II-го рода для механической системы с одной степенью свободы имеет вид:

где q - обобщенная координата, q - обобщенная скорость, Q - обобщенная сила, Т - кинетическая энергия.

Для исследуемого механизма выбрано в качестве обобщенной координаты угловое перемещение колеса 2, то есть q= φ₂ , тогда q = ω₂. С учётом этих выражений уравнение (11.1) примет вид 

  Воспользуемся формулой (3.5) для кинетической энергии механизма Т= Вычислим производные: 
 

  Для определения обобщенной силы вычислим сумму элементарных работ всех сил на возможном перемещении механической системы. Так же как в разделе 10, зададим механизму возможное перемещение путём вариации обобщённой координаты δφ₂. Колесо 1 и груз 3 получат при этом возможные перемещения δφ₁ и δs, которые выражаются через δφ₂ по формулам (2.1),(2.4): 

Найдём сумму работ всех сил, действующих на механизм, на заданных возможных перемещениях: 
 

Подставляя в (11.5) известные момент М_с, силу Р₃ и выражения (11.4), получим 
 

Обобщенная сила Q равна коэффициенту в этом равенстве перед возможным перемещением δφ_2: 

Подставим (11.3) и (11.7) в (112): 

отсюда 

Выражение (11.8) является дифференциальным уравнением движения механизм, оно достаточно точно совпадает с уравнением (5.5), что говорит о правильности расчетов. 
 
 

выводы.

1. Методами статики исследовано предельное состояние равновесия подъемно- 
го механизма и установлены значения максимального активного момента 
М_{макс.стат.}=               Н, реакций опор R_bx=              Н, R_by =              Н, R_ax =               Н,

R_ax =           Н, сила натяжения троса подвески груза F = P₃ =          , силы взаимодействия колёс Q =          Н.

2. Исследована кинематика механизма и установлены зависимости между параметрами движения его звеньев:

 

3. Определена кинетическая энергия механизма как функция обобщённой скорости:
4. Определена суммарная мощность всех сил, действующих на механизм, как функция обобщённой скорости: N =
5. С помощью теоремы об изменении кинетической энергии получено дифференциальное уравнение движения механической системы 

после интегрирования которого получена формула обобщённой скорости и уравнение движения механизма:  
 

6. Установлены законы движения всех тел и получены формулы их скоростей и 
   ускорений:

 
 

7. Для определения силы натяжения троса подвески груза при движении меха- 
низма была применена теорема о движении центра масс груза 3. Установлен за- 
икой изменения этой силы F =                    и определено численное значение

для момента времени t= 3c F=           Н.

8. Для определения силы взаимодействия колёс при движении механизма была 
   применена теорема об изменении кинетического момента относительно оси 
   вращения колеса 1. Установлен закон изменения этой силы и определено чис- 
   ленное значение для момента времени t=lc:Q =

9. С помощью принципа Даламбера определены реакции опор колёс 
R_bx=              Н, R_by =              Н, R_ax =               Н, R_ax =              Н,

силы натяжения троса подвески груза и силы взаимодействия колёс в момент времени t=3с. F =             Н, Q =          Н.

10. С помощью принципа возможных перемещений вычислен максимальный 
статический активный момент на колесе 1: М_{макс.стат.} =                  Н.

11. Составлено дифференциальное уравнение движения механизма с помощью уравнений Лагранжа П-го рода: 

      Сравнение результатов расчетов, проведенных разными методами, позволяет сделать вывод о правильности этих расчетов.

   Таким образом, методами теоретической механики проведен полный анализ статики, кинематики и динамики подъемного механизма.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики: Учеб. для втузов.-12-е изд., стер.-М.; Высш.шк., 1998.-416с, ил.
2. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике. Учеб. пособие для втузов под редакцией А.А.Яблонского, 7-е издание, испр- М.: Интеграл-Пресс 2001.-384с.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

СОДЕРЖАНИЕ